\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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%TCIDATA{Created=Sunday, April 18, 2004 12:00:01}
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\lhead{PHEC1}
\chead{devoir surveillé 5}
\rhead{2002-2003}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{abdellah bechata}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\noindent \textbf{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invité%
s à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs
calculs.\medskip }
\noindent \textbf{Ils ne doivent faire usage d'aucun document ni d'AUCUNE
DISCUSSION sous peine d'annulation de leurs copies; seule l'utilisation
d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de
tout matériel électronique est interdite. Les téléphones portables doivent ê%
tre éteints.\medskip }
\noindent \textbf{Le devoir est composé de \pageref{fin} pages et de quatre
exercices indépendants qui peuvent être traités dans l'ordre souhaité par le
candidat. Il y a un exercice par page.}
\noindent \textbf{Durée du devoir : 4h}
\begin{center}
\textbf{\ Bonne chance}
\end{center}
\noindent \hrulefill
\newpage
\section*{Exercice 1 (Edhec 2002)}
\noindent On note $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_{+}$ par $:\left\{
\begin{array}{ll}
f(x)=\dfrac{-x\ln x}{1+x^{2}} & \forall x>0, \\
f(0)=0. &
\end{array}%
\right. $
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ est continue sur $\mathbb{R}_{+}.$
\item Etudier le signe de $f(x).$
\end{enumerate}
\item Montrer que l'on définit bien une fonction $F$ sur $\mathbb{R}_{+}$ en
posant :%
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}_{+},\quad F(x)=\int\limits_{0}^{x}f(t)dt.
\end{equation*}
\item Pour tout $x$ de $\mathbb{R}_{+},$ on pose $g(x)=F(x)-x.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}_{+}$ et que, pour $x>0,$
on peut écrire $g^{\prime }(x)$ sous la forme $g^{\prime }(x)=\dfrac{-xh(x)}{%
1+x^{2}}.$
\item Etudier les variations de $h,$ puis en déduire son signe (on donne $%
\ln \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\simeq -0,48).$
\item En déduire le signe de $g(x).$
\end{enumerate}
\item On définit la suite $(u_{n})$ par la donnée de son premier terme $%
u_{0}=1$ et la relation de récurrence, valable pour tout $n$ de $\mathbb{N}%
:u_{n+1}=F(u_{n}).$
\begin{enumerate}
\item Etablir par récurrence que $:\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n}\in
\lbrack 0;1].$
\item Montrer, en utilisant le résultat de la troisième question, que $%
(u_{n})$ est décroissante.
\item En déduire que la suite $(u_{n})$ converge et donner $\underset{%
n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 2 (EML 2001)}
\noindent On considère l'application $f\ :[0;+\infty \lbrack \longrightarrow
\mathbb{R}$, définie, pour tout $x$ de $[0;+\infty \lbrack $, par :
\begin{equation*}
f(x)=\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{x}{e^{x}-1} & \text{si }x>0 \\
1 & \text{si }x=0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue sur $[0;+\infty \lbrack $.
\item Montrer que $f$ est de classe $C^{1}$ sur $]0;+\infty \lbrack $. Pour
tout $x\in ]0,+\infty \lbrack $, calculer $f^{\prime }(x)$.
\item Montrer que $f^{\prime }(x)$ tend vers $-\dfrac{1}{2}$ lorsque $x$
tend vers $0$.
\item En déduire que $f$ est $C^{1}$ sur $[0;+\infty \lbrack $.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est de classe $C^{2}$ sur $]0;+\infty \lbrack $ et
que:
\begin{equation*}
\forall x\in ]0;+\infty \lbrack ,\quad f^{\prime \prime }(x)=\dfrac{e^{x}}{%
(e^{x}-1)^{3}}(xe^{x}-2e^{x}+x+2)
\end{equation*}
\item Etudier les variations de la fonction $g\ :[0;+\infty \lbrack
\longrightarrow \mathbb{R}$, définie, pour tout $x$ de $[0;+\infty \lbrack $%
, par:
\begin{equation*}
g(x)=xe^{x}-2e^{x}+x+2
\end{equation*}%
En déduire : \qquad $\forall x\in ]0;+\infty \lbrack ,\quad f^{\prime \prime
}(x)>0$.
\item En déduire le sens de variation de $f$. On précisera la limite de $f$
en $+\infty $. Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}
\item[\textbf{3.}] On considère la suite $(u_{n})_{n\geq 0}$ définie par $%
u_{0}=0$ et : $\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n+1}=f(u_{n})$.
\begin{enumerate}
\item Montrer :
\begin{equation*}
\forall x\in \lbrack 0;+\infty \lbrack ,\quad |f^{\prime }(x)|\leq \dfrac{1}{%
2}\quad \text{et}\quad 0\leq f(x)\leq 1
\end{equation*}
\item Résoudre l'équation $f(x)=x$, d'inconnue $x\in ]0;+\infty \lbrack $.
\item Montrer :
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N}\quad |u_{n+1}-\ln 2|\leq \dfrac{1}{2}|u_{n}-\ln 2|
\end{equation*}
\item Etablir que la suite $(u_{n})_{n\geq 0}$ converge et déterminer sa
limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 3 (ESC 1999)}
\subsection*{Partie A : analyse}
On considère deux suites $a$ et $b$ telles que $a_{0}=1,b_{0}=0$ et $\forall
n\geqslant 0,$
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{n+1}=\dfrac{5}{6}a_{n}+\dfrac{1}{6}b_{n}\medskip \\
b_{n+1}=\dfrac{1}{6}a_{n}+\dfrac{5}{6}b_{n}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer $a_{1}$ et $b_{1}.$
\item Montrer que la suite $a$ satisfait à la relation de récurrence
\begin{equation*}
(E):u_{n+2}-\dfrac{5}{3}u_{n+1}+\dfrac{2}{3}u_{n}=0,\quad \forall n\geqslant
0.
\end{equation*}%
\textbf{On admet que }$b$\textbf{\ satisfait à la même relation de récurrence%
}.
\item Déterminer la forme des suites $(u_{n})_{n\geqslant 0}$ solutions de l'%
équation $(E).$
\item En déduire l'expression de $a_{n}.($resp. $b_{n})$ en fonction de $n.$
\end{enumerate}
\subsection*{Partie B : probabilités}
\noindent On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ ainsi que d'une pièce
de monnaie non truquée.\newline
Initialement, l'urne $U_{1}$ contient une boule blanche et deux boules
noires et l'urne $U_{2}$ contient deux boules noires.\newline
On considère l'épreuve $\mathcal{E}$ suivante:
\begin{itemize}
\item on lance la pièce
\item si l'on obtient pile, on tire une boule de $U_1$, sinon on tire une
boule de $U_2$
\item si la boule tirée est noire, elle est remise dans la même urne, sinon
elle est remise dans l'autre urne.
\end{itemize}
\noindent Pour $n$ entier naturel non nul, on désigne par $X_{n}$ la
variable aléatoire égale au numéro de l'urne dans laquelle se trouve la
boule blanche à l'issue de $n$ répétitions de $\mathcal{E}$.
\subsubsection*{I) Dans cette question, on effectue une seule fois $E$.}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] La notation $PB_1$ signifiant: ``la pièce a donné pile et
on a tiré la boule blanche de $U_1$" (on l'a donc remise dans $U_2$),
calculer la probabilité de l'événement $\{PB_1\}$.
\item[\textbf{2.}] En utilisant la même notation, décrire les résultats
possibles de $\mathcal{E}$.
\item[\textbf{3.}] Déterminer la loi de la variable aléatoire $X_1$.
\item[\textbf{4.}] Calculer $E(X_1)$ et $V(X_1)$.
\end{enumerate}
\subsubsection*{II) On répète maintenant l'épreuve $E$.}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}]
\begin{enumerate}
\item Vérifier que : \quad $P(X_{n+1}=1|X_{n}=1)=\dfrac{5}{6}$ et $%
P(X_{n+1}=1|X_{n}=2)=\dfrac{1}{6}$ \newline
(On n'hésitera pas à faire un schéma)
\item Calculer également $P(X_{n+1}=2|X_{n}=i)$ pour $i=1$ et pour $i=2$.
\item En déduire $P(X_{n+1}=1)$ puis $P(X_{n+1}=2)$ en fonction de $%
P(X_{n}=1)$ et $P(X_{n}=2)$.
\end{enumerate}
\item[\textbf{2.}] On pose $p_{n}=P(X_{n}=1)$ et $q_{n}=P(X_{n}=2)$. \newline
A l'aide de la \textbf{Partie A}, en déduire la loi de $X_{n}$.
\item[\textbf{3.}] Calculer $E(X_{n})$ ainsi que sa limite quand $n$ tend
vers $+\infty $.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 4 (ESC 1999)}
\noindent Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $I_{n}=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{%
x^{2n+1}}{1+x^{2}}\ dx$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_{0}$.
\item Calculer $I_{0}+I_{1}$. En déduire $I_{1}$.
\begin{enumerate}
\item Quel est le signe de $I_{n}$ ?
\item Montrer que : \quad $I_{n}+I_{n+1}=\dfrac{1}{2n+2}$
\item En déduire que : \quad $I_{n}\leq \dfrac{1}{2n+2}$.
\item Montrer que la suite $(I_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ est convergente et
calculer sa limite.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que:
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N}^{\times }\qquad 2(-1)^{n-1}I_{n}=\sum_{k=1}^{n}%
\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}-\ln 2
\end{equation*}
\item En déduire $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\sum\limits_{k=1}^{n}%
\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}$
\end{enumerate}
\item[\textbf{2.}]
\begin{enumerate}
\item A l'aide d'une intégration par parties, montrer que:
\begin{equation*}
I_{n}=\dfrac{1}{4(n+1)}+\dfrac{1}{n+1}\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^{2n+3}}{%
(1+x^{2})^{2}}\ dx
\end{equation*}
\item Etablir les inégalités : \quad $0\leq \int\limits_{0}^{1}\dfrac{%
x^{2n+3}}{(1+x^{2})^{2}}\ dx\leq \dfrac{1}{2n+4}$
\item En déduire $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }nI_{n}$.
\end{enumerate}
\item[\textbf{3.}] A l'aide des questions précédentes, donner un équivalent
de
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}-\ln 2
\end{equation*}%
quand $n$ tend vers $+\infty $.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}