\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
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%TCIDATA{Created=Tuesday, January 06, 2004 19:34:15}
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\lhead{PHEC1}
\chead{devoir surveillé 4}
\rhead{2003-2004}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{abdellah bechata}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\noindent \textbf{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invité%
s à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs
calculs.\medskip }
\noindent \textbf{Ils ne doivent faire usage d'aucun document ni d'AUCUNE
DISCUSSION sous peine d'annulation de leurs copies; seule l'utilisation
d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de
tout matériel électronique est interdite. Les téléphones portables doivent ê%
tre éteints.\medskip }
\noindent \textbf{Le devoir est composé de \pageref{fin} pages, de deux
exercices indépendants et d'un problème qui peuvent être traités dans
l'ordre souhaité par le candidat.}
\noindent \textbf{Durée du devoir : 4h}
\begin{center}
\textbf{\ Bonne chance}
\end{center}
\noindent \hrulefill \medskip
\section*{Exercice 1}
\noindent Soient $a,b,c$ trois reels tous non nuls, et $M$ la matrice carrée
d'ordre 3 suivante : $M=\left(
\begin{array}{lll}
0 & \dfrac{a}{b} & \dfrac{a}{c}\smallskip \\
\dfrac{b}{a} & 0 & \dfrac{b}{c}\smallskip \\
\dfrac{c}{a} & \dfrac{c}{b} & 0%
\end{array}%
\right) $
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $M^{2}=2I_{3}+M.$ La matrice $M$ est-elle inversible ? Si
oui, calculer son inverse$.$
\item On note :
\begin{equation*}
P=\left(
\begin{array}{ccc}
a & a & a \\
b & -b & 0 \\
c & 0 & -c%
\end{array}%
\right) \;D=\left(
\begin{array}{lll}
2 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1%
\end{array}%
\right) \;Q=\left(
\begin{array}{ccc}
\dfrac{1}{a} & \dfrac{1}{b} & \dfrac{1}{c}\smallskip \\
\dfrac{1}{a} & -\dfrac{2}{b} & \dfrac{1}{c}\smallskip \\
\dfrac{1}{a} & \dfrac{1}{b} & -\dfrac{2}{c}%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer $PQ$. Montrer que $P$ est inversible. Quel est son inverse ?
\item Vérifier $:M=PDP^{-1}$
\end{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des matrices $Y$ de $\mathfrak{M}_{3}\left(
\mathbb{R}\right) $ telles que $DY-YD=3Y.$
\item Soit $X$ une matrice de $\mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $.
On pose $X^{\prime }=P^{-1}XP.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que la matrice $X$ vérifie l'équation $MX-XM=3X$ ssi la
matrice $X^{\prime }$ vérifie l'équation $DX^{\prime }-X^{\prime
}D=3X^{\prime }.$
\item En déduire toutes les matrices $X$ solutions de l'équation $MX-XM=3X.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 2}
On pose $A=\left(
\begin{array}{lll}
1 & 0 & 2 \\
\dfrac{3}{2}\smallskip & -2 & 6 \\
\dfrac{1}{2} & -1 & \dfrac{5}{2}\smallskip%
\end{array}%
\right) $ et $B=\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z%
\end{array}%
\right) $où $x,\;y$ et $z$ sont des nombres réels.\newline
On définit alors une suite de matrices colonnes $\left( X_{n}\right) _{n\in
\mathbb{N}}$ de la manière suivante :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
X_{0}\in \mathfrak{M}_{3,1}\left( \mathbb{R}\right) \\
\forall n\in \mathbb{N},\quad \mathbb{\;}X_{n+1}=AX_{n}+B%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
On pose pour finir
\begin{equation*}
U=%
\begin{pmatrix}
1 \\
-\dfrac{3}{4}\smallskip \\
-\dfrac{1}{2}\smallskip%
\end{pmatrix}%
,\quad V=%
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
-\dfrac{1}{4}\smallskip%
\end{pmatrix}%
,\quad W=%
\begin{pmatrix}
1 \\
\dfrac{1}{2}\smallskip \\
0%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer tous les réels $\lambda $ tels que la matrice $A-\lambda
I_{3}$ soit inversible.
\item Justifier qu'il existe un unique triplet $\left( \alpha ,\beta ,\gamma
\right) $ de $\mathbb{R}^{3}$ tel que :
\begin{equation*}
B=\alpha U+\beta V+\gamma W
\end{equation*}
\item Calculer $AU$ (resp. $AV,$ resp. $AW)$ en fonction de $U$ (resp. $V,$
resp. $W)$
\item Montrer que pour tout entier naturel $n,$ il existe un triplet $\left(
\alpha _{n},\beta _{n},\gamma _{n}\right) $ de $\mathbb{R}^{3}$ tel que :
\begin{equation*}
X_{n}=\alpha _{n}U+\beta _{n}V+\gamma _{n}W
\end{equation*}
\item Etablir par récurrence que
\begin{equation*}
n\in \mathbb{N}^{\times }\;\;\left\{
\begin{array}{l}
\alpha _{n}=\alpha \\
\beta _{n}=\left( \dfrac{1}{2}\right) ^{n}\left( \beta _{0}-2\beta \right)
+2\beta \\
\gamma _{n}=\gamma _{0}+n\gamma%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Problème}
\QTP{Corps du Texte}
\noindent On dispose de deux jetons $A$ et $B$ que l'on peut placer dans
deux cases $C_{0}$ et $C_{1},$ et d'un dispositif permettant de tirer au
hasard et de manière équiprobable, l'une des lettre $a$, $b$ ou $c$. Au dé%
but de l'expérience, les deux jetons sont placés dans $C_{0}.$ On procède
alors à une série de tirages indépendants de l'une des trois lettres $a$, $b$
ou $c$.
\QTP{Corps du Texte}
\noindent A la suite de chaque tirage, on effectue l'opération suivante:
\begin{itemize}
\item si la lettre $a$ est tirée, on change le jeton $A$ de case,
\item si la lettre $b$ est tirée, on change le jeton $B$ de case,
\item si la lettre $c$ est tirée, on ne change pas le placement des jetons.
\end{itemize}
\QTP{Corps du Texte}
\noindent Soit $n$ un entier positif. On définit la variable aléatoire discrè%
te $X_{n}$ décrivant les positions de $A$ en posant :
\begin{itemize}
\item si $n=0,\quad X_{0}=0$,
\item si $n\geqslant 1,\quad X_{n}=0$ si à l'issue de la $n^{i\grave{e}me}$
opération, le jeton $A$ se trouve dans $C_{0}$ et $X_{n}=1$ s'il setrouve
dans $C_{1}$;
\end{itemize}
\subsection*{I Préliminaire}
Montrer que $\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{n-k}C_{n}^{k}4^{k-1}=\dfrac{%
3^{n}-(-1)^{n}}{4}$
\subsection*{II Simulation}
\begin{enumerate}
\item Soit n un entier strictement positif. Déterminer la probabilité que, à
l'issue de la $n^{i\grave{e}me}$ opération, le jeton $A$ n'ait jamais quitté
$C_{0}.$
\item Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à 2, on s'interresse à
l'événement $D_{k}:$ à l'issue de la $k^{i\grave{e}me}$ opération, le jeton $%
A$ revient pour la première fois dans $C_{0}.$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $p\left( D_{2}\right) $ et $p(D_{3}).$
\item Calculer $p(D_{k})$ pour tout entier $k\geqslant 2.$
\end{enumerate}
\item On considère les trois matrices
\begin{equation*}
M=\left(
\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 2%
\end{array}%
\right) ,\quad P=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & 1%
\end{array}%
\right) \quad \text{et}\quad D=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 3%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer rapidement que $P$ est inversible, exhiber son inverse et vé%
rifier que $M=PDP^{-1}$
\item En déduire que $M^{n}=PD^{n}P^{-1}$ pour tout entier $n$ strictement
positif.
\end{enumerate}
\item Etude de la variable $X_{n}.$
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités $p\left( X_{1}=0\right) $ et $p\left(
X_{1}=1\right) .$
\item Déterminer une matrice $Q$ telle que, pour tout entier naturel $n,$ on
ait l'égalité matricielle:
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{l}
p(X_{n+1}=0) \\
p(X_{n+1}=1)%
\end{array}%
\right) =Q\left(
\begin{array}{l}
p(X_{n}=0) \\
p(X_{n}=1)%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item Exprimer $Q$ en fonction de $M.$ En déduire la matrice $Q^{n}$ puis la
loi de la variable $X_{n}$ (on remarquera que $\left(
\begin{array}{l}
p(X_{n}=0) \\
p(X_{n}=1)%
\end{array}%
\right) =Q^{n}\left(
\begin{array}{l}
p(X_{0}=0) \\
p(X_{0}=1)%
\end{array}%
\right) )$
\item Donner l'espérance et la variance de $X_{n}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{III Etude d'un mouvement du couple de jetons $(A,B)$}
\QTP{Corps du Texte}
Pour tout entier $n,$ on définit la variable aléatoire $W$, à valeurs dans $%
\left\{ 0,1,2,3\right\} $, décrivant les positions des deux jetons $A$ et $%
B, $ en posant:
\begin{itemize}
\item $W_{0}=0,$ et pour tout entier naturel $n$ non nul,
\item $W_{n}=0,$ si à l'issue de la $n^{i\grave{e}me}$ opération, $A$ et $B$
se trouvent tous les deux dans $C_{0},$
\item $W_{n}=1,$ si à l'issue de la $n^{i\grave{e}me}$ opération, $A$ se
trouve dans $C_{0},$et $B$ dans $C_{1},$
\item $W_{n}=2,$ si à l'issue de la $n^{i\grave{e}me}$ opération, $A$ se
trouve dans $C_{1},$et $B$ dans $C_{0},$
\item $W_{n}=3,$ si à l'issue de la $n^{i\grave{e}me}$ opération, les deux
jetons $A$ et $B$ se trouvent dans $C_{1}.$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $p(W_{1}=i)$ pour $i$ égal à $0,1,2$ et $3$.
\item Déterminer soigneusement la matrice $R$ telle que, pour tout entier
naturel $n,$ on ait l'égalité matricielle:
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{l}
p\left( W_{n+1}=0\right) \\
p\left( W_{n+1}=1\right) \\
p\left( W_{n+1}=2\right) \\
p\left( W_{n+1}=3\right)%
\end{array}%
\right) =R\left(
\begin{array}{l}
p\left( W_{n}=0\right) \\
p\left( W_{n}=1\right) \\
p\left( W_{n}=2\right) \\
p\left( W_{n}=3\right)%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item On considère les matrices:
\begin{equation*}
I=\left(
\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0%
\end{array}
\right) ,U=\left(
\begin{array}{llll}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1%
\end{array}
\right) ,V=\left(
\begin{array}{llll}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0%
\end{array}
\right)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer les matrices $UV,$ $VU,$ $U^{2},$ $V^{2}.$
\item Montrer que pour tout entier $k\geqslant 1,$ $U^{k}V=U^{k}.$
\item Soit $k$ un entier, non nul, fixé. Montrer que pour tout entier $%
r\geqslant 0,$ $U^{k}V^{r}=U^{k}$
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $U^{n}=4^{n-1}U.$
\item Montrer, sans utiliser de récurrence, que pour tout entier $n,\quad
V^{2n}=I_{4}$ et $V^{2n+1}=V.$
\item Etablir, pour tout entier naturel non nul $n,$ l'égalité
\begin{equation*}
\left( U-V\right) ^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\left( -1\right)
^{n-k}C_{n}^{k}U^{k}V^{n-k}
\end{equation*}
où par convention on pose: $U^{0}=V^{0}=I.$
\item A l'aide de la question précédente et du résultat préliminaire I, en dé%
duire, pour tout entier naturel non nul $n,$ l'égalité
\begin{equation*}
\left( U-V\right) ^{n}=\dfrac{1}{4}\left[ 3^{n}-\left( -1\right) ^{n}\right]
U+(-1)^{n}V^{n}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item Loi de $W_{n}.$
\begin{enumerate}
\item Exprimer $R$ en fonction de $U-V.$ En déduire l'expression de la
matrice $R^{2n}$ et de la matrice $R^{2n+1}$
\item Donner la loi de la variable $W_{2n}$ puis la loi de la variable $%
W_{2n+1}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}