\documentclass[a4paper,french,landscape]{article}
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\lhead{PHEC1}
\chead{Correction devoir 1}
\rhead{2004-2005}
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\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{abdellah bechata}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Prérequis}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithme}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiome}
\newtheorem{case}[theorem]{Cas}
\newtheorem{claim}[theorem]{Affirmation}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Critèrion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Définition}
\newtheorem{example}[theorem]{Exemple}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problème}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Sommaire}
\newenvironment{proof}[1][Preuve]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
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\begin{document}
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%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion
\begin{exercise}
\begin{tabular}{cccccc}
a) faux & b) vrai & c) faux & d) faux & e) vrai & f) faux \\
g) faux & h) vrai & i) faux & j) vrai & k) faux & l) faux%
\end{tabular}
\end{exercise}
\begin{exercise}
$(E_{1})$ : les valeurs interdites sont $\{-2,-1,0\}$. D'autre part, en
remarquant que le dénominateur commun aux trois fractions est $x(x+1)(x+2),$
on a%
\begin{gather*}
(E_{1})\Leftrightarrow \dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{2x-2}{x+2}%
=0\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}(x+1)+(x+1)^{2}(x+2)-x(2x-2)(x+1)}{x(x+1)(x+2)}%
=0 \\
\Leftrightarrow x^{2}(x+1)+(x+1)^{2}(x+2)-x(2x-2)(x+1)=0\Leftrightarrow
5x^{2}+7x+2=0\Leftrightarrow x\in \{-1,-\dfrac{2}{5}\}
\end{gather*}%
\newline
Aucune valeur interdite étant solution, on en déduit que les seules
solutions de $(E_{1})$ sont $-1$ et $-\dfrac{2}{5}$\newline
$(E_{2})$ : les valeurs interdites sont $e^{x}=1\Leftrightarrow x=0$ et $%
e^{x}=2\Leftrightarrow x=\ln 2$ ($e^{x}$ ne s'annulant jamais sur $\mathbb{R}%
).$ Comme l'énoncé nous le propose, on pose $X=-e^{x}$ donc%
\begin{eqnarray*}
\dfrac{e^{x}}{e^{x}-1}+\dfrac{e^{x}-1}{e^{x}} &=&\dfrac{2e^{x}+2}{e^{x}-2}%
\Leftrightarrow \dfrac{-X}{-X-1}+\dfrac{-X-1}{-X}=\dfrac{-2X+2}{-X-2} \\
&\Leftrightarrow &\dfrac{X}{X+1}+\dfrac{X+1}{X}=\dfrac{2X-2}{X+2}
\end{eqnarray*}%
Par conséquent, $x$ est solution de $(E_{2})$ ssi $X=-e^{x}$ est solution de
$(E_{1}).$ Par conséquent, nous en déduisons que
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
X=-1 \\
\text{ou} \\
X=-\dfrac{2}{5}%
\end{array}%
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{c}
-e^{x}=-1 \\
\text{ou} \\
-e^{x}=-\dfrac{2}{5}%
\end{array}%
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{c}
e^{x}=1 \\
\text{ou} \\
e^{x}=\dfrac{2}{5}%
\end{array}%
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{c}
x=0 \\
\text{ou} \\
x=\ln \left( \dfrac{2}{5}\right)
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
La valeur $x=0$ étant la seule solution qui soit également une valeur
interdite, nous obtenons que $(E_{2})$ admet une unique solution $x=\ln
\left( \dfrac{2}{5}\right) $
\end{exercise}
\begin{exercise}
\thinspace
\begin{enumerate}
\item Le dénominateur commun de l'expression à simplifier est $%
(x+1)(x^{2}-x+1)$ donc%
\begin{eqnarray*}
&&3x+\dfrac{14}{x+1}+\dfrac{22x}{x^{2}-x+1}-2 \\
&=&\dfrac{3x(x+1)(x^{2}-x+1)+14(x^{2}-x+1)+22x(x+1)-2(x+1)(x^{2}-x+1)}{%
(x+1)(x^{2}-x+1)} \\
&=&\dfrac{3x^{4}-2x^{3}+36x^{2}+11x+12}{(x+1)(x^{2}-x+1)}
\end{eqnarray*}
\item Il suffit de développer le membre de gauche de l'égalité souhaitée, de
regrouper les mêmes puissances de $x$ puis d'appliquer le principe
d'identification%
\begin{equation*}
(ax^{2}+bx+c)(3x^{2}+x+1)=3ax^{4}+x^{3}\left( a+3b\right) +x^{2}\left(
a+b+3c\right) +x\left( b+c\right) +c.
\end{equation*}%
On en déduit les égalités suivantes%
\begin{equation*}
\left[ 3a=3,a+3b=-2,a+b+3c=36,b+c=11,c=12\right] \Leftrightarrow \left[
a=1,b=-1,c=12\right]
\end{equation*}%
Nous venons donc de montrer que
\begin{equation*}
\left( x^{2}-x+12\right) (3x^{2}+x+1)=3x^{4}-2x^{3}+36x^{2}+11x+12
\end{equation*}
\item Comme d'habitude, on explicite en premier lieu les valeurs interdites.
Le trinôme $x^{2}-x+1$ admet comme discriminant $-3$ donc il ne s'annule pas
sur $\mathbb{R}$ et change pas de signe sur $\mathbb{R}$. En outre, son
coefficient dominant (celui associé au plus haut degré) étant positif (égal à
$1),$ nous sommes donc assurés que $\forall x\in \mathbb{R},\quad
x^{2}-x+1>0.$ Quant au facteur $x-1$, il s'annule uniquement pour $x=-1.$
Par conséquent, $x=-1$ est l'unique valeur interdite de $(E)$ et il est aisé
d'obtenir les équivalences suivantes%
\begin{equation*}
(E)\Leftrightarrow 3x+\dfrac{14}{x+1}+\dfrac{22x}{x^{2}-x+1}-2\leqslant
0\Leftrightarrow \dfrac{\left( x^{2}-x+12\right) (3x^{2}+x+1)}{%
(x+1)(x^{2}-x+1)}\leqslant 0
\end{equation*}%
Je laisse le soin au lecteur de vérifier que chaque trinôme intervenant au
numérateur ne s'annule pas et sur $\mathbb{R}$ et est de signe positif. Le
signe de la fraction étant donc celui de $(x+1),$ il est immédiat que
\begin{equation*}
(E)\Leftrightarrow \dfrac{\left( x^{2}-x+12\right) (3x^{2}+x+1)}{%
(x+1)(x^{2}-x+1)}\leqslant 0\Leftrightarrow x<-1
\end{equation*}%
Tous les nombres réels strictement moindre que $-1$ sont les solutions de
l'inéquation $(E)$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\thinspace
\begin{enumerate}
\item On introduit la fonction $f(x)=(x-1)e^{x}+\dfrac{x^{2}e^{x}}{2}+1$,
dont la dérivée est
\begin{equation*}
f^{\prime }(x)=e^{x}+e^{x}\left( x-1\right) +xe^{x}++\dfrac{1}{2}x^{2}e^{x}=%
\dfrac{xe^{x}(x+4)}{2}
\end{equation*}%
qui est clairement positive sur $[0,+\infty \lbrack .$ La fonction $f$ est
donc croissante et, puisque $f(0)=0,$ on en déduit que
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}_{+},\quad f(x)\geqslant 0\Leftrightarrow \forall
x\in \mathbb{R}_{+},\quad (x-1)e^{x}+\dfrac{x^{2}e^{x}}{2}+1\geqslant 0
\end{equation*}
\item On pose $g(x)=e^{x}-\left( 1+x+\dfrac{x^{2}}{2}e^{x}\right) $ dont la d%
érivée est
\begin{equation*}
g^{\prime }(x)=e^{x}-1-xe^{x}-\dfrac{x^{2}}{2}e^{x}=(1-x)e^{x}-1-\dfrac{x^{2}%
}{2}e^{x}=-f(x)
\end{equation*}%
La question précédente montrer que $f$ est positive sur $\mathbb{R}_{+}$
donc $g^{\prime }$ est négative sur $\mathbb{R}_{+},$ ce qui implique que $g$
est décroissante sur $\mathbb{R}_{+}.$ Puisque $g(0)=0,$ on peut affirmer
que
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}_{+},\quad g(x)\leqslant 0\Leftrightarrow \forall
x\in \mathbb{R}_{+},\quad e^{x}\leqslant 1+x+\dfrac{x^{2}}{2}e^{x}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\thinspace
\begin{enumerate}
\item Il s'agit bien entendu d'une suite arithmético-géométrique définie par
$u_{n+1}=\dfrac{1}{3}(1-2u_{n})$\newline
Recherche de la constante $L:L=\dfrac{1}{3}(1-2L)\Leftrightarrow L=\dfrac{1}{%
5}$\newline
On pose $v_{n}=u_{n}-\dfrac{1}{5}$ (donc $u_{n}=v_{n}+\dfrac{1}{5})$. Nous
allons montrer que $v$ est une suite géométrique.
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\quad v_{n+1}=u_{n+1}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{3}-%
\dfrac{2}{3}u_{n}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{15}-\dfrac{2}{3}\left( v_{n}+\dfrac{%
1}{5}\right) =-\dfrac{2}{3}v_{n}
\end{equation*}%
La suite $v$ étant géométrique de raison $-\dfrac{2}{3},$ on a donc pour
tout entier naturel $n$
\begin{equation*}
v_{n}=\left( -\dfrac{2}{3}\right) ^{n}v_{0}\Leftrightarrow u_{n}-\dfrac{1}{5}%
=\left( -\dfrac{2}{3}\right) ^{n}\left( u_{0}-\dfrac{1}{5}\right)
\Leftrightarrow u_{n}=\dfrac{1}{5}+\left( -\dfrac{2}{3}\right) ^{n}\left(
u_{0}-\dfrac{1}{5}\right)
\end{equation*}
\item $u_{2}=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{5}+\left( -\dfrac{2}{3}\right)
^{2}\left( u_{0}-\dfrac{1}{5}\right) =1\Leftrightarrow \dfrac{4}{9}u_{0}-%
\dfrac{4}{45}=\dfrac{4}{5}\underset{\times 45}{\Leftrightarrow }%
20u_{0}-4=36\Leftrightarrow u_{0}=2$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\thinspace
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item L'équation admet une unique valeur interdite $x=-\dfrac{1}{2}.$%
\begin{eqnarray*}
x &=&1+\dfrac{2}{2x+1}\Leftrightarrow x-1=\dfrac{2}{2x+1}\Leftrightarrow
(2x+1)(x-1)=2 \\
&\Leftrightarrow &2x^{2}-x-3=0\Leftrightarrow x=-1\text{ ou }x=\dfrac{3}{2}
\end{eqnarray*}%
Puisqu'aucune valeur interdite, les solutions de l'équation proposée sont $%
x=-1$ et $x=\dfrac{3}{2}.$
\item On résoud, relativement à la variable $a$ $(b$ étant considéré comme
constant) l'équation
\begin{eqnarray*}
b &=&1+\dfrac{2}{2a+1}\Leftrightarrow b-1=\dfrac{2}{(2a+1)}\Leftrightarrow
(2a+1)(b-1)=2 \\
&\Leftrightarrow &2a(b-1)+b-1=2\Leftrightarrow 2a(b-1)=3-b\Leftrightarrow a=%
\dfrac{3-b}{2(b-1)}=\dfrac{3-b}{2b-2}
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item
\begin{eqnarray*}
w_{n+1} &=&\dfrac{u_{n+1}-\dfrac{3}{2}}{u_{n+1}+1}=\dfrac{1+\dfrac{2}{%
2u_{n}+1}-\dfrac{3}{2}}{1+\dfrac{2}{2u_{n}+1}+1}=\dfrac{\dfrac{4-(2u_{n}+1)}{%
2(2u_{n}+1)}}{\dfrac{4+2(2u_{n}+1)}{2u_{n}+1}}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{%
4-(2u_{n}+1)}{4+2(2u_{n}+1)} \\
&=&\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3-2u_{n}}{4u_{n}+4}=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1%
}{2}\times \dfrac{3-2u_{n}}{u_{n}+1}=-\dfrac{1}{4}\dfrac{u_{n}-\dfrac{3}{2}}{%
u_{n}+1}=-\dfrac{1}{4}w_{n}
\end{eqnarray*}
\item $\forall n\in \mathbb{N},\quad w_{n}=\left( -\dfrac{1}{4}\right)
^{n}w_{0}.$
\item Puisque $u_{0}=0,$ on a $w_{0}=\dfrac{u_{0}-\dfrac{3}{2}}{u_{0}+1}=-%
\dfrac{3}{2}$ et en remplaçant $w_{n}$ par son expression en fonction de $%
u_{n},$ on obtient
\begin{eqnarray*}
\dfrac{u_{n}-\dfrac{3}{2}}{u_{n}+1} &=&-\dfrac{3}{2}\left( -\dfrac{1}{4}%
\right) ^{n}\Leftrightarrow u_{n}-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{2}\left( -\dfrac{1%
}{4}\right) ^{n}(u_{n}+1) \\
&\Leftrightarrow &u_{n}-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{2}\left( -\dfrac{1}{4}%
\right) ^{n}u_{n}-\dfrac{3}{2}\left( -\dfrac{1}{4}\right) ^{n} \\
&\Leftrightarrow &u_{n}\left[ 1+\dfrac{3}{2}\left( -\dfrac{1}{4}\right) ^{n}%
\right] =\dfrac{3}{2}\left[ 1-\left( -\dfrac{1}{4}\right) ^{n}\right]
\Leftrightarrow u=\dfrac{3}{2}\times \dfrac{1-\left( -\dfrac{1}{4}\right)
^{n}}{1+\dfrac{3}{2}\left( -\dfrac{1}{4}\right) ^{n}}
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\label{fin}%
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\end{multicols}%
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