\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
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%TCIDATA{Created=Wednesday, November 03, 2004 11:32:05}
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\pagestyle{fancy}
\lhead{PHEC1}
\chead{devoir surveillé 2 }
\rhead{2004-2005}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{abdellah bechata}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\noindent \textbf{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invité%
s à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs
calculs.\medskip }
\noindent \textbf{Ils ne doivent faire usage d'aucun document ni d'AUCUNE
DISCUSSION sous peine d'annulation de leurs copies; seule l'utilisation
d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de
tout matériel électronique est interdite. Les téléphones portables doivent ê%
tre éteints.\medskip }
\noindent \textbf{Le devoir est composé de \pageref{fin} pages et de 7
exercices indépendants qui peuvent être traités dans l'ordre souhaité par le
candidat.}
\noindent \textbf{Durée du devoir : 4h}
\begin{center}
\textbf{\ Bonne chance}
\end{center}
\noindent \hrulefill \medskip
\section*{Exercice 1}
Soit $x$ un réel différent de $1.$ Montrer que récurrence que
\begin{equation*}
\forall n\geqslant 1,\quad \sum\limits_{k=1}^{n}kx^{k}=\dfrac{%
nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(1-x)^{2}}
\end{equation*}
\section*{Exercice 2}
Soit $S_{n}$ la suite définie par $\forall n\geqslant 1,\quad
S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^{2}}.$
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\forall n\geqslant 1,\quad \dfrac{1}{(n+1)^{2}}%
\leqslant \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}.$
\item En déduire que $\forall n\geqslant 1,\quad S_{n}\leqslant 2-\dfrac{1}{n%
}.$
\item La suite $(S_{n})_{n\geqslant 1}$ est-elle majorée ? Montrer qu'elle
converge.
\end{enumerate}
\section*{Exercice 3}
On considére le fonction $f$ définie pour tout réel $x$ positif ou nul par $%
f(x)=1-e^{-x}$.
\begin{enumerate}
\item \underline{Etude de $f$}
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Montrer que : $\forall x\in \mathbb{R}^{+},\quad f(x)\leqslant x$ puis
montrer que l'égalité a lieu si et seulement si $x=0$.
\end{enumerate}
\item \underline{Etude d'une suite}\newline
On considére la suite $(u_{n})$ définie par son premier terme $u_{0}=1$ et
par la relation :
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\qquad u_{n+1}=f(u_{n})=1-e^{-u_{n}}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que : $\forall n\in \mathbb{N},\quad 00$ puis déterminer les
limites possibles de la suite $u.$
\item Montrer que $\forall n\geqslant 0,\quad u_{n}=\dfrac{v_{n}}{w_{n}}.$
\item On introduit les suites $t$ et $z$ définies par
\begin{equation*}
\forall n\geqslant 0,\quad t_{n}=v_{n}+w_{n},\quad \text{et}\quad
z_{n}=v_{n}-w_{n}.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que les suites $t$ et $z$ sont géométriques.
\item Exprimer $t_{n}$ et $z_{n}$ en fonction de $n$ puis $v_{n}$ et $w_{n}$
en fonction de $n.$
\end{enumerate}
\item En déduire des questions précédentes que $\forall n\geqslant 0,\quad
u_{n}=\dfrac{(c+1)+(-\dfrac{1}{2})^{n}(c-1)}{(c+1)-(-\dfrac{1}{2})^{n}(c-1)}$
\item Justifier la convergence de la suite $\left( u_{n}\right) _{n}$
converge et calculer sa limite.
\end{enumerate}
\section*{Exercice 5}
Soit $a$ un réel tel que \fbox{$0