\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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%TCIDATA{Created=Wednesday, April 27, 2005 09:39:00}
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\lhead{PHEC1}
\chead{devoir surveillé 6}
\rhead{2004-2005}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{abdellah bechata}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\noindent \textbf{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invité%
s à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs
calculs.\medskip }
\noindent \textbf{Ils ne doivent faire usage d'aucun document ni d'AUCUNE
DISCUSSION sous peine d'annulation de leurs copies; seule l'utilisation
d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de
tout matériel électronique est interdite. Les téléphones portables doivent ê%
tre éteints.\medskip }
\noindent \textbf{Le devoir est composé de \pageref{fin} pages et de quatre
exercices indépendants qui peuvent être traités dans l'ordre souhaité par le
candidat.}
\noindent \textbf{Durée du devoir : 4h}
\begin{center}
\textbf{\ Bonne chance}
\end{center}
\noindent \hrulefill \medskip
\section*{EXERCICE 1 (Extrait EM Lyon 1987)}
On considère la fonction définie sur $[0,1]$ par $f(x)=\dfrac{e^{x}}{x+10}.$
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Calculer $f^{\prime }$. Etudier les variations de la fonction $f$.
\item Calculer $f^{\prime \prime }.$ Démontrer que, $\forall x\in \left[ 0,1%
\right] \quad 0,09\leqslant f^{\prime }\left( x\right) \leqslant 0,225$. $%
\medskip $\newline
\textbf{Données numériques} : $0.224\leqslant \dfrac{10e}{121}\leqslant
0.225.\medskip $
\item Démontrer que l'équation $f\left( x\right) =x$ admet une solution
unique dans $\left[ 0,1\right] $, qui sera notée $\alpha $.$\medskip $%
\newline
\textbf{Données numériques} $\dfrac{e}{11}\simeq 0.25\pm 10^{-2}\medskip $
\item Montrer que $f(x)-x\geqslant 0$ sur $[0,\alpha ]$
\end{enumerate}
\item On considère la suite définie par $u_{0}=0$ et $u_{n+1}=f\left(
u_{n}\right) $.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall n\in \mathbb{N},\quad 0\leqslant u_{n}\leqslant
\alpha .$
\item Montrer que $\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n+1}-u_{n}\geqslant 0$.
En déduire que la suite $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ est
croissante.
\item Justifier que la suite $u$ converge vers $\alpha .$
\item Etablir que, pour $n\in \mathbb{N},\quad \left\vert u_{n+1}-\alpha
\right\vert \leqslant 0.225\left\vert u_{n}-\alpha \right\vert $.
\item Comment choisir $n$ pour que $\left\vert u_{n}-\alpha \right\vert
\leqslant 10^{-3}$ ?\medskip \newline
\textbf{Données numériques} : $\dfrac{-3\ln 10}{\ln (0.225)}\simeq 4.\,63\pm
10^{-2}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\section*{EXERCICE\ 2 (Extrait Ecricome 2001)}
Le but de la première partie est de calculer les puissances successives de
la matrice :
\begin{equation*}
M(a)=%
\begin{pmatrix}
1-2a & a & a \\
a & 1-2a & a \\
a & a & 1-2a%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}%
où $a$ représente un nombre réel.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tous réels $a$, $b$, on a : $M(a).M(b)=M(a+b-3ab)$.
\item En déduire les valeurs de $a$ pour lesquelles la matrice $M(a)$ est
inversible et exprimer son inverse.
\item Déterminer le réel $a_{0}$ \textbf{non nul}, tel que : $\left[ M(a_{0})%
\right] ^{2}=M(a_{0})$
\item On considère les matrices : $P=M(a_{0})\quad $et$\quad Q=I_{3}-P$.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un réel $\alpha $, que l'on exprimera en fonction
de $a$, tel que : $M(a)=P+\alpha Q$
\item Calculer $P^{2}$, $QP$, $PQ$, $Q^{2}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, non nul, montrer que $\left[ M(a)\right]
^{n}=P+\alpha ^{n}Q$.\newline
Expliciter alors la matrice $\left[ M(a)\right] ^{n}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 3 (Extrait ESSEC 2002)}
Soient $a$ un réel positif et $N$ en entier naturel non nul.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Etude de l'équation }$x^{N}+x^{N-1}+\cdots +x^{2}+x-a=0$%
\newline
On note $f_{N}$ la fonction polynôme définie par $f_{N}\left( x\right)
=x^{N}+x^{N-1}+\cdots +x^{2}+x-a.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f_{N}\left( x\right) =0$ possède une racine
strictement positive $x_{N}$ et une seule, puis montrer que celle-ci
appartient à $]0,1[$ lorsque $N>a$
\item Montrer la relation $\left( \ast \right) :\left( x-1\right)
f_{N}\left( x\right) =x^{N+1}-\left( a+1\right) x+a$
\end{enumerate}
\item \textbf{Racine positive de l'équation }$x^{N}+x^{N-1}+\cdots
+x^{2}+x-a=0$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f_{N+1}\left( x_{N}\right) >f_{N}\left( x_{N}\right) $ et
en déduire que la suite $\left( x_{N}\right) $ est strictement décroissante.%
\newline
En déduire que la suite $\left( x_{N}\right) $ converge vers un nombre $%
x^{\ast }$ appartenant à $[0,1[$
\item Montrer que $0n.$
\item Montrer, pour tout couple d'entiers naturels $(k,n)$ :
\begin{itemize}
\item si $0\leqslant k\leqslant n\leqslant N$ alors $P\left( X=k\text{ et }%
Z=n\right) =\binom{n}{k}\binom{N}{n}\,p^{k}\left( 1-p\right) ^{n-k}\left(
\dfrac{5}{6}\right) ^{N-n}$ $\left( \dfrac{1}{6}\right) ^{n}$
\item si $n>N$ ou $k>n$ alors $P\left( X=k\text{ et }Z=n\right) =0$
\end{itemize}
\item Calculer la probabilité $P(X=0)$
\item Montrer pour tout couple d'entiers naturels $(k,n)$ tel que $%
0\leqslant k\leqslant n\leqslant N:\binom{n}{k}\binom{N}{n}=\binom{N}{k}%
\binom{N-k}{n-k}$
\item Montrer que pour tout couple d'entiers naturels $(k,n)$ tel que $%
0\leqslant k\leqslant n\leqslant N$
\begin{equation*}
\sum\limits_{n=k}^{N}\binom{N-k}{n-k}\left( \dfrac{1-p}{5}\right)
^{n}=\left( \dfrac{1-p}{5}\right) ^{k}\sum\limits_{n=0}^{N-k}\binom{N-k}{n}%
\left( \dfrac{1-p}{5}\right) ^{n}=\left( \dfrac{1-p}{5}\right) ^{k}\left(
\dfrac{6-p}{5}\right) ^{N-k}
\end{equation*}
\item Justifier que, pour $k\in \lbrack \hspace{-0.15em}[0,N]\hspace{-0.13em}%
],\quad P(X=k)=\sum\limits_{n=k}^{N}P(X=k$ et $Z=n)$\newline
puis montrer que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramè%
tre $(N,\dfrac{p}{6})$.\newline
En déduire son espérance et sa variance. Quelle est l'espérance de $Y$ ?
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}