\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
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%TCIDATA{Created=Wednesday, October 05, 2005 04:38:03}
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\lhead{PHEC1}
\chead{devoir surveillé n°1}
\rhead{2005-2006}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{abdellah bechata}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\noindent \textbf{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invité%
s à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs
calculs.\medskip }
\noindent \textbf{Ils ne doivent faire usage d'aucun document ni d'AUCUNE
DISCUSSION sous peine d'annulation de leurs copies; seule l'utilisation
d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de
tout matériel électronique est interdite. Les téléphones portables doivent ê%
tre éteints.\medskip }
\noindent \textbf{Le devoir est composé de \pageref{fin} page et de quatre
exercices indépendants qui peuvent être traités dans l'ordre souhaité par le
candidat.}
\noindent \textbf{Durée du devoir : 3h }
\begin{center}
\textbf{Bonne chance}
\end{center}
\noindent \hrulefill
\begin{exercise}[ECRICOME\ 1995]
Pour $x\in \mathbb{R},$ on pose $:f(x)=x^{3}+5x-1$
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}.$
\item Montrer que l'équation $x^{3}+5x-1=0$ admet une unique solution $%
\alpha $ dans $\mathbb{R}.$
\item Etablir que $0<\alpha <\dfrac{1}{2}.$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[ECRICOME\ 1999]
On note $U$ l'ouvert de $\mathbb{R}^{2}$ défini par $U=\left] \dfrac{1}{3},{%
\dfrac{2}{3}}\right[ \times ]0,1[$ et $f$ l'application définie sur $U$ par :%
\begin{equation*}
f:(x,y)\rightarrow f(x,y)=x^{2}-x+xy^{2}-xy
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer les dérivées partielles du premier ordre et du second ordre.
\item Expliciter les points critiques de $f$ sur l'ouvert $U.$
\item Montrer que $f$ admet un unique extremum sur $U$ et que celui-ci est
un minimum dont on donnera la valeur.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[EDHEC 2004]
On note $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_{+}$ par : $f(x)=x\exp
\left( -\dfrac{1}{x}\right) $ si $x>0$ et $f(0)=0$.
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue en 0.
\item Montrer que $f$ est dérivable en 0 et donner la valeur de $f^{\prime
}(0)$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est dérivable sur $]0,+\infty \lbrack $. \newline
Pour tout réel $x$ non nul, calculer $f^{\prime }(x)$ puis étudier son signe.
\item Calculer la limite de $f$ en $+\infty $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[EML 1997]
\thinspace
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g:x\mapsto
\dfrac{1+x}{1+e^{x}}-x.$
\begin{enumerate}
\item Justifier que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et expliciter sa dériv%
ée sous la forme $g^{\prime }(x)=\dfrac{h(x)}{(1+e^{x})^{2}}.$
\item Après avoir écrit $g(x)$ sous la forme d'un quotient, déterminer les
asymptotes en $-\infty $ et $+\infty $ de la courbe représentative de $g.$
\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $\dfrac{1+x}{1+e^{x}}=x$ admet une solution et
une seule sur $\mathbb{R}_{+}.$On note $x_{0}$ cette solution.
\item Justifier que $0