\documentclass[a4paper,french]{article}
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%TCIDATA{Created=Sunday, March 05, 2006 09:48:45}
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\lhead{PHEC1}
\chead{devoir surveillé n°4}
\rhead{2005-2006}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{\href{http://abdellah.bechata.free.fr}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{abdellah bechata}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\noindent \textbf{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invité%
s à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs
calculs.\medskip }
\noindent \textbf{Ils ne doivent faire usage d'aucun document ni d'AUCUNE
DISCUSSION sous peine d'annulation de leurs copies; seule l'utilisation
d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de
tout matériel électronique est interdite. Les téléphones portables doivent ê%
tre éteints.\medskip }
\noindent \textbf{Le devoir est composé de \pageref{fin} pages et de sept
exercices indépendants qui peuvent être traités dans l'ordre souhaité par le
candidat.}
\noindent \textbf{Durée du devoir : 4h}
\begin{center}
\textbf{\ Bonne chance}
\end{center}
\noindent \hrulefill \medskip
\section*{EXERCICE 1 (ECRICOME 2005, extrait)}
On considère, pour tout entier naturel $n$, l'intégrale : $%
I_{n}=\int\limits_{0}^{1}(1-x)^{n}e^{-2x}dx$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_{0}$ et $I_{1}$.
\item Étudier la monotonie de la suite $(I_{n})_{n\in \mathbb{N}}$.
\item Déterminer le signe de $I_{n}$ pour tout entier naturel $n$.
\item Qu'en déduit-on pour la suite $(I_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ ?
\item Majorer la fonction $g:x\mapsto e^{-2x}$ sur $[0;1]$.
\item En déduire que : $\forall n\in \mathbb{N}^{\times },\quad 0\leqslant
I_{n}\leqslant \dfrac{1}{n+1}.$
\item Déterminer la limite de la suite $(I_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ lorsque $%
n $ tend vers l'infini.
\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\forall n\in
\mathbb{N},\quad 2I_{n+1}=1-(n+1)I_{n}.$
\item Calculer la limite de la suite $((n+1)I_{n})_{n\in \mathbb{N}}$
lorsque $n$ tend vers l'infini.
\item Déterminer la limite de la suite $((n+2)\left[ 1-(n+1)I_{n}\right]
)_{n\in \mathbb{N}}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 2 (EML 1989, extrait)}
Soit $f$ définie sur $[0,2[$ par $f(x)=\sqrt{\dfrac{x}{2-x}}$.
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Déterminer la monotonie de la fonction $x\mapsto \dfrac{x}{2-x}$ sur $%
[0,2[.$ En déduire celle de $f$ sur $[0,2[.$
\item Résoudre l'équation $f(x)=x.$
\item Démontrer : $\forall x\in \lbrack 0,2[,\quad f(x)\geqslant x$ (\emph{%
indication : résoudre algébriquement cette inéquation}).
\end{enumerate}
\item On considère la suite $u$ définie par $u_{n+1}=f(u_{n})$ et $u_{0}\in
\lbrack 0,1].$
\begin{enumerate}
\item Montrer : $\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n}\in \lbrack 0,1]$.
\item Prouver que $u$ est croissante.
\item Démontrer que $u$ converge et calculer sa limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\section*{EXERCICE 3 (ECRICOME 2005, extrait)}
On considère la fonction $\varphi $ définie par : $\forall x\in \mathbb{R}%
_{+}^{\times },\quad \varphi (x)=\dfrac{2}{x}+\ln (x)$\newline
On définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{0}=\dfrac{3}{2}$ et $\forall n\in
\mathbb{N},\quad u_{n+1}=\varphi (u_{n})$
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $\varphi $ sur $\mathbb{R}_{+}^{\times }$.
\item On donne $\varphi \left( \dfrac{3}{2}\right) \simeq 1,73$ et $\varphi
(2)\simeq 1,69$. Montrer que $\varphi \left( \left[ \dfrac{3}{2};2\right]
\right) \subset \left[ \dfrac{3}{2};2\right] $.
\item En étudiant les variations de $\varphi ^{\prime }$, montrer que : $%
\forall x\in \left[ \dfrac{3}{2};2\right] ,\quad \left\vert \varphi ^{\prime
}(x)\right\vert \leqslant \dfrac{2}{9}$.
\item Montrer l'équation $\varphi (x)=x$ admet une et une seule solution sur
$\mathbb{R}_{+}^{\times }.$ \newline
On note $x_{1}$ cette solution. A l'aide des données numériques de la
question 2, montrer que $x_{1}\in \left[ \dfrac{3}{2};2\right] .$
\item Montrer successivement que pour tout entier $n$ :%
\begin{equation*}
\dfrac{3}{2}\leqslant u_{n}\leqslant 2\quad ;\quad \left\vert
u_{n+1}-x_{1}\right\vert \leqslant \dfrac{2}{9}\left\vert
u_{n}-x_{1}\right\vert \quad ;\quad \left\vert u_{n}-x_{1}\right\vert
\leqslant \left( \dfrac{2}{9}\right) ^{n}.
\end{equation*}
\item En déduire la limite de la suite $(u_{n})$.
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 4 (EML 1992, modifié)}
Une urne contient une boule blanche, une boule verte et $3$ boules rouges.
Ces boules sont indiscernables au toucher.\newline
On tire successivement les $5$ boules sans remettre les boules tirées dans
l'urne.\newline
On note $X_{1}$ la variable aléatoire égale au rang du tirage de la boule
blanche et $X_{2}$ la variable aléatoire égale au rang du tirage de la boule
verte.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les lois des variables aléatoires $X_{1}$ et $X_{2}$.%
\newline
Calculer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X_{1}$.\newline
Est-ce que les variables aléatoires $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes ?
\item On note $X$ la variable aléatoire égale au rang du tirage où l'on
obtient pour la première fois soit la boule blanche soit la boule verte.%
\newline
On note $Y$ la variable aléatoire égale au rang du tirage à partir duquel on
a obtenu la boule blanche et la boule verte.\newline
Remarque : en fait $X=\inf \left( X_{1},X_{2}\right) $ et $Y=\sup \left(
X_{1},X_{2}\right) $\newline
Par exemple, si on a tiré rouge, rouge, verte, rouge, blanche, alors $%
X_{1}=5 $ et $X_{2}=3$ et $X=3$ et $Y=5$\newline
Déterminer les lois des variables aléatoires $X$ et $Y$.\newline
Calculer les espérances des variables aléatoires $X$ et $Y$.
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 5}
Une urne contient $n$ boules vertes et $n$ boules rouges. On pioche $p$
boules simultanément $(1\leqslant p\leqslant 2n)$\newline
On désigne par $V_{n,p}$ le nombre de boules rouges obtenues
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi et l'espérance de $V_{4,2}.$ On donnera les
probabilités sous la forme de fractions irréductibles.
\item Déterminer la loi de $V_{n,p}$ lorsque $p\leqslant n.$
\item Expliciter la loi de $V_{n,n}.$ Montrer que $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k%
}$ et en déduire que $\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}=\binom{2n}{n}.$
\item Déterminer la loi $V_{4,5}$. On donnera les probabilités sous la forme
de fractions irréductibles.
\item Déterminer la loi de $V_{n,p}$ lorsque $p>n.$
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 6 (EML 1997, modifié)}
On dispose d'un dé équilibré à 6 faces et d'une pièce truquée telle que la
probabilité d'apparition de \textquotedblright pile\textquotedblright\ soit é%
gale à $p\;,\;p\in \left] 0;1\right[ $.\newline
On pourra noter $q=1-p$ .\newline
Soit $N$ un entier naturel non nul fixé.\newline
On effectue $N$ lancers du dé ; si $n$ est le nombre de " 6" obtenus, on
lance alors $n$ fois la pièce.\newline
On définit deux variables aléatoires $X,\;Z$ de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $Z$ indique le nombre de ''6'' obtenus aux lancers du dé,
\item $X$ indique le nombre de \textquotedblright piles\textquotedblright\
obtenus aux lancers de la pièce,
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Donner la loi de $Z$ ainsi que son son espérance et sa variance.
\item On suppose ici que $N=1.$ Donner la loi de $X$
\item On suppose ici que $N=2.$ Donner la loi de $X$.
\item On revient au cas général où $N$ est un entier quelconque.
\begin{enumerate}
\item Pour $k\in \mathbb{N}$ , $n\in \mathbb{N}$, déterminer la probabilité
conditionnelle $P_{(Z=n)}(X=k)$ lorsque $k\leqslant n$ puis lorsque $k>n.$
\item Montrer, pour tout couple d'entiers naturels $(k,n)$ :
\begin{itemize}
\item si $0\leqslant k\leqslant n\leqslant N$ alors $P\left( X=k\text{ et }%
Z=n\right) =\dbinom{n}{k}\dbinom{N}{n}\cdot p^{k}\left( 1-p\right)
^{n-k}\left( \dfrac{5}{6}\right) ^{N-n}$ $\left( \dfrac{1}{6}\right) ^{n}$
\item si $n>N$ ou $k>n$ alors $P\left( X=k\text{ et }Z=n\right) =0$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 7}
Une machine fabrique des pièces dont la probabilité de chacune d'être dé%
fectueuse est égale à $0,02$. On suppose que les défauts affectant les piè%
ces sont mutuellement indépendants. On compare deux stratégies pour dépister
les pièces défectueuses d'un lot de $n$ pièces.
\begin{itemize}
\item La première consiste à tester les pièces une à une donc on procède à $%
n $ tests;
\item la seconde consiste à effectuer un test global sur un échantillon
(c'est-à-dire si aucune pièce de l'échantillon n'est défectueuse alors tout
le lot est composé de pièces non défectueuses) puis, si celui-ci s'avère
positif, à tester toutes les pièces une à une.
\end{itemize}
\noindent On note $Y_{n}$ la variable aléatoire égale au nombre de tests
effectués en suivant la seconde stratégie.
\begin{enumerate}
\item Déterminer soigneusement $Y_{n}(\Omega )$ puis déterminer la loi de $%
Y_{n}$.
\item Calculer $E(Y_{n})$ et montrer que $E(Y_{n})-n=1-n(0,98)^{n}$
\item Etudier les variations de la fonction $f(x)=1-x(0,98)^{x}=1-x\exp
(x\ln \left( 0,98\right) )$ sur l'intervalle $[2;+\infty \lbrack .$\newline
\textbf{Données numériques} :
\begin{equation*}
f(2)\simeq -0,92,\quad -\dfrac{1}{\ln (0.98)}\simeq 49,5,\quad f\left( -%
\dfrac{1}{\ln (0.98)}\right) \simeq -17,20\quad f(278)\simeq -1,1\times
10^{-2}\quad f(279)\simeq 5.10^{-3}
\end{equation*}%
En déduire l'existence d'un unique réel $\alpha >0$ tel que $f(x)<0$ sur $%
]0,\alpha \lbrack $ et $f(x)>0$ sur $]\alpha ,+\infty \lbrack $.\newline
Donner un encadrement de $\alpha .$
\item Discuter suivant les valeurs de $n$ la stratégie la plus intéressante.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}