\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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%TCIDATA{Created=Thursday, April 27, 2006 15:15:34}
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\lhead{PHEC1}
\chead{devoir surveillé n°5}
\rhead{2005-2006}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{\href{http://abdellah.bechata.free.fr}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{abdellah bechata}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\noindent \textbf{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invité%
s à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs
calculs.\medskip }
\noindent \textbf{Ils ne doivent faire usage d'aucun document ni d'AUCUNE
DISCUSSION sous peine d'annulation de leurs copies; seule l'utilisation
d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de
tout matériel électronique est interdite. Les téléphones portables doivent ê%
tre éteints.\medskip }
\noindent \textbf{Le devoir est composé de \pageref{fin} pages et de cinq
exercices indépendants qui peuvent être traités dans l'ordre souhaité par le
candidat.}
\noindent \textbf{Durée du devoir : 4h \hfill Bonne chance}
\noindent \hrulefill \medskip
\section*{EXERCICE\ 1}
Une urne contient $8$ boules rouges, $4$ boules noires et $2$ boules vertes.
Un joueur effectue dans cette urne des tirages d'une boule, avec remise de
la boule tirée avant de tirer la suivante, jusqu'à ce qu'il obtienne soit
une boule rouge, auquel cas il a gagné et le jeu s'arrête, soit une boule
verte, auquel cas il a perdu et le jeu s'arrête également. \newline
On désigne par
\begin{itemize}
\item $X$ le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule
rouge
\item $Y$ le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule
verte.
\item $Z$ le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule
noire.
\item $R$ le nombre de tirages nécessaires pour que le joueur gagne.
\item $S$ le nombre de tirages nécessaires pour que le joueur perde.
\end{itemize}
On considère également les trois évènements \newline
A : «le joueur gagne», B :«le joueur perd», C :«le jeu ne s'arrête jamais»
(i.e. le joueur ne perd jamais et ne gagne jamais)
\begin{enumerate}
\item Donner la loi des variables $X,Y$ et $Z$ ainsi que leurs espérances et
variances respectives.
\item Calculer la probabilité que le joueur gagne en au plus 4 tirages.
\item Calculer la probabilité que le joueur perde en au plus 4 tirages.
\item Calculer la probabilité que le joueur n'a ni gagné, ni perdu à l'issue
des 4 premiers tirages.
\item Donner la loi de $R$ et donner son espérance.
\item Donner la loi de $S$ et donner son espérance.
\item Calculer la probabilité $p(A)$ que le joueur gagne (en un nombre
quelconque de tirages)
\item Calculer la probabilité $p(B)$ que le joueur perde (en un nombre
quelconque de tirages)
\item Calculer la probabilité $p(C)$ que le jeu ne s'arrête jamais.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{EXERCICE\ 2}
On note $\mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $ l'ensemble des matrices
carrées réelles d'ordre trois et on considère les matrices suivantes de $%
\mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $ :
\begin{equation*}
I=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{pmatrix}%
\qquad A=%
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0%
\end{pmatrix}%
\qquad P=%
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2 \\
1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 1%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\subsection*{I. Première partie}
\begin{enumerate}
\item Calculer $A^{2}$ et $A^{3}$, puis vérifier : $A^{3}=A^{2}+2A$.
\item La matrice $A$ est-elle inversible ? Si oui, expliciter son inverse.
\item Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, il existe
un couple unique $\left( {a_{n},b_{n}}\right) $ de nombres réels tel que : $%
A^{n}=a_{n}A+b_{n}A^{2}$, et exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $%
a_{n}$ et $b_{n}$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 : $%
a_{n+2}=a_{n+1}+2a_{n}$
\item En déduire $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier $n$
supérieur ou égal à $1$.
\item Donner l'expression de $A^{n}$ en fonction de $A$, $A^{2}$ et $n$,
pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{II. Seconde partie}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Résoudre successivement les trois équations
\begin{equation*}
AX=-X,\quad AX=0_{3,1},\quad AX=2X
\end{equation*}%
où $X\in \mathfrak{M}_{3,1}(\mathbb{R}).$
\item Justifier que la matrice $P$ est inversible et donner son inverse.
\end{enumerate}
\item Déterminer une matrice diagonale $D$ telle que $A=PDP^{-1}$ (\emph{on
donnera ses coefficients})
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 3}
On considère, pout tout entier $n$ tel que $n\geqslant 1$, l'application $%
h_{n}:\left] 0;+\infty \right[ \longrightarrow \mathbb{R}$ définie par :
\begin{equation*}
\forall x\in \left] 0;+\infty \right[ ,\quad h_{n}\left( x\right) =\dfrac{%
xe^{-x}}{x^{n}}-x^{n}
\end{equation*}%
et l'application $\varphi _{n}:\left] 0;+\infty \right[ \longrightarrow
\mathbb{R}$ définie par :
\begin{equation*}
\forall x\in \left] 0;+\infty \right[ ,\quad \varphi _{n}\left( x\right)
=e^{-x}-x^{2n-1}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$ :
\begin{equation*}
\forall x\in \left] 0;+\infty \right[ ,\quad h_{n}\left( x\right)
=0\Longleftrightarrow \varphi _{n}\left( x\right) =0
\end{equation*}
\item En déduire que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, l'é%
quation $h_{n}\left( x\right) =0$, d'inconnue $x\in \left] 0;+\infty \right[
$, admet une solution et une seule, notée $u_{n}$, et que :
\begin{equation*}
0