\documentclass[a4paper,french]{article}
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\lhead{PHEC1} \chead{devoir à la maison 2}
\rhead{2003-2004}
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\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
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\newtheorem{theorem}{Théorème}
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\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
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\begin{document}
\section*{Exercice 1}
Deux pi\`{e}ces $A$ et $B$ sont reli\'{e}es entre elles par une porte
ouverte. Seule la pi\`{e}ce $B$ poss\`{e}de une issue vers l'ext\'{e}rieur.
Une gu\^{e}pe initialement dans la pi\`{e}ce $A$ voudrait sortir \`{a} l'air
libre. Son trajet ob\'{e}it aux r\`{e}gles suivantes :
\begin{itemize}
\item Lorsqu'elle est en $A$ au temps $t=n$, alors, au temps $t=n+1$, elle
reste en $A$ avec une probabilit\'{e} \'{e}gale \`{a} $\dfrac{1}{3}$, ou
elle passe en $B$ avec une probabilit\'{e} \'{e}gale \`{a} $\dfrac{2}{3}$
\item Lorsqu'elle est en $B$ au temps $t=n$, alors, au temps $t=n+1$, elle
retourne en $A$ avec une probabilit\'{e} \'{e}gale \`{a} $\dfrac{1}{4}$, ou
elle reste en $B$ avec une probabilit\'{e} \'{e}gale \`{a} $\dfrac{1}{2}$,
ou elle sort \`{a} l'air libre avec une probabilit\'{e} \'{e}gale \`{a} $%
\dfrac{1}{4}$.
\item Au temps $t=0$, la gu\^{e}pe est en $A$. Lorsqu'elle est sortie, elle
ne revient plus.\newline
On note $A_{n}$ (resp. $B_{n}$, resp. $S_{n}$) les \'{e}v\'{e}nements :
\textquotedblleft \`{a} l'instant $t=n$, elle est en $A$ (resp. en $B$,
resp. elle sort), et $a_{n},$ $b_{n},$ $s_{n}$ leurs probabilit\'{e}s
respectives.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer $a_{0},$ $b_{0},$ $s_{0},a_{1},$ $b_{1},$ $s_{1}.$
\end{enumerate}
\item Sachant qu'au temps $t=2$ elle est en $A$, quelle est la probabilit%
\'{e} qu'elle ait \'{e}t\'{e} en $B$ au temps $t=1$ ?
\item Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n},b_{n}$ et $s_{n}.$ M\^{e}me
question avec $b_{n+1}$
\item Montrer que $a$ et $b$ sont des suites r\'{e}currentes d'ordre $2.$
\newline
En d\'{e}duire $\forall n\geqslant 1$ l'expression de $a_{n}$ (resp. $b_{n})$
en fonction de $n.$
\item Interpr\'{e}ter alors la limite de la suite $a$ (resp. $b)$ trouv\'{e}%
es dans la question pr\'{e}c\'{e}dente.
\item Justifier que $\forall n\geqslant 2$, $s_{n}=$ $\dfrac{1}{4}b_{n-1}$ .
En d\'{e}duire $s_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\section*{Exercice 2}
Une urne contient $2$ boules noires et $3$ boules blanches. On tire simultan%
\'{e}ment $2$ boules de l'urne.
\begin{itemize}
\item Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir ainsi $2$ boules noires ? une
seule boule noire ? aucune boule noire ?
\end{itemize}
Une urne contient $1$ boule noire et $4$ boules blanches. On tire simultan%
\'{e}ment 2 boules de l'urne.
\begin{itemize}
\item Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir ainsi $1$ boules noires ?
aucune boule noire ?
\end{itemize}
On dispose d'une urne $U_{0}$ contenant $2$ boules noires et trois boules
blanches, et de $n$ urnes $U_{1},U_{2},\ldots .,U_{n}$ chacune contenant $3$
boules blanches . On tire simultan\'{e}ment $2$ boules de l'urne $U_{0}$, on
les place dans l'urne $U_{1}.$ De l'urne $U_{1}$ contenant alors $5$ boules,
on tire simultan\'{e}ment $2$ boules et on les place dans $U_{2}$ \ldots .
Et ainsi de suite jusqu'\`{a} la $n^{\grave{e}me}$ urne.
On note
\begin{itemize}
\item $A_{k}:$ " l'urne $U_{k}$ contient aucune boule noire apr\`{e}s avoir
placer les deux boules provenant de $U_{k-1}$ et avant de s\'{e}lectionner
de nouveau deux boules "
\item $B_{k}:$ " l'urne $U_{k}$ contient une seule boule noire apr\`{e}s
avoir placer les deux boules provenant de $U_{k-1}$ et avant de s\'{e}%
lectionner de nouveau deux boules "
\item $C_{k}:$ " l'urne $U_{k}$ contient deux boules noires apr\`{e}s avoir
placer les deux boules provenant de $U_{k-1}$ et avant de s\'{e}lectionner
de nouveau deux boules "
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Calculer $p(A_{1}),P(B_{1})$ et $P(C_{1}).$
\item Calculer $P(A_{2}),P(B_{2})$ $P(C_{2}).$
\item Pour $k$ entier naturel non nul, d\'{e}crire l'\'{e}v\'{e}nement $%
(C_{k})$ et en d\'{e}duire que $P(C_{k})=\dfrac{1}{10^{k}}$.
\item Pour $k$ entier naturel non nul, montrer que $P(B_{k+1})=\dfrac{6}{10}%
P(C_{k})+\dfrac{4}{10}P(B_{k})..$
\item Montrer par r\'{e}currence que, pour $n$ entier naturel non nul, on a
:
\begin{equation*}
P(B_{n})=2\times (\dfrac{4}{10})^{n}-\dfrac{2}{10^{n}}.
\end{equation*}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}