\documentclass{article}
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%TCIDATA{ComputeDefs=
%$F(y)=\int\limits_{0}^{y}e^{-u}\sqrt{\ln y-\ln u}du$
%$D(y)=2\pi ^{-\frac{1}{2}}(\ln y)^{\frac{1}{2}}\left[ 1+0.2886(\ln
%y)^{-1}-0.2473(\ln y)^{-2}+0.3403(\ln y)^{-3}\right] $
%}
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\pagestyle{fancy}
\fancyhead[RO,LE]{\leftmark}
\fancyhead[LO,RE]{\Large{Revisions d'été PHEC 1 Eco}}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{Abdellah Bechata}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\newenvironment{indication}[1][]{\noindent \textbf{Indication pour l'exercice #1 : } }{\medskip }
\newenvironment{correction}[1][]{\noindent \textbf{Réponse pour l'exercice #1 : } }{\medskip }
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\section{Exercices}
\subsection{Limites, \'{e}quivalents, DL}
\begin{exercise}
\label{limites fonctions}D\'{e}terminer la limite en $x_{0}$ de la fonction $%
f$
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ll}
a) $x_{0}=0$ et $f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\exp (-\dfrac{1}{x^{2}})$ & b) $%
x_{0}=+\infty $ et $f(x)=\dfrac{e^{2x}-e^{-3x}}{e^{2x}+e^{-3x}}\medskip $ \\
c) $x_{0}=-\infty $ et $f(x)=\dfrac{e^{2x}-e^{-3x}}{e^{2x}+e^{-3x}}$ & d) $%
x_{0}=+\infty $ et $f(x)=\dfrac{xe^{-x}-x+1}{e^{2x}+\ln x}$%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\label{dl usuels}Donner un d\'{e}veloppement limit\'{e} \`{a} l'ordre $n$ de
la fonction $f$ en $0$%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ll}
a) $n=3$ et $f(x)=e^{3x}-\ln (1+2x^{2})$ & b) $n=2,$ $x_{0}=0$ et $f(x)=%
\sqrt{2-e^{x}}$%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\label{dl en 0 et oo}A l'aide d'\'{e}quivalents ou de DL convenables, d\'{e}%
terminer la limite en $x_{0}$ de la fonction $f$%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ll}
a) $x_{0}=0$ et $f(x)=\dfrac{\ln (1+3x)}{\exp (2x)-1}$ & b) $x_{0}=0$ et $%
f(x)=\dfrac{e^{2x}-1-2x}{\exp (2x^{2})-1}\medskip $ \\
c) $x=+\infty $ et $f(x)=(x^{2}+x+1)\ln (1+\dfrac{1}{x^{3}})$ & d) $x_{0}=0$
et $f(x)=\dfrac{xe^{3x}-e^{2x}+1}{xe^{-2x}+e^{-3x}-1}$%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\end{exercise}
\subsection{Continuit\'{e}}
\begin{exercise}
\label{continuite usuelle}D\'{e}terminer le domaine de d\'{e}finition des
fonctions suivantes puis justifier qu'elles sont continues sur leurs
domaines de d\'{e}finition respectifs%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{llll}
a) $x\mapsto x+\sqrt{x+3}$ & b) $x\mapsto \dfrac{e^{2t+1}}{t^{2}+1}$ & c) $%
x\mapsto \dfrac{3e^{3x}+2e^{x}}{e^{-x}-e^{2x}}$ & e) $x\mapsto \ln (3+\dfrac{%
1}{x^{4}})$%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\label{prolongement par continuite}On consid\`{e}re la fonction $%
f(x)=\left\{
\begin{tabular}{lll}
$\dfrac{\exp (x^{2})-\exp (-x^{2})}{e^{x}-e^{-x}}$ & si & $x\neq 0$ \\
$0$ & si & $x=0$%
\end{tabular}%
\right. .$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{\times }.$
\item Est-elle continue en $0$ ? Conclusion.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\subsection{D\'{e}rivabilit\'{e}}
\begin{exercise}
\label{derivabilite}D\'{e}terminer le domaine de d\'{e}finition des
fonctions suivantes puis justifier qu'elles sont d\'{e}rivables sur leurs
domaines de d\'{e}finition respectifs et enfin expliciter leurs d\'{e}riv%
\'{e}es respectives.%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{lll}
$a(x)=\dfrac{3+x}{x^{2}+1}$ & $b(x)=\dfrac{x}{e^{x}-3}$ & $c(x)=\ln
(e^{-x}-e^{2x})$%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\label{calcul de derivee}Calculer les d\'{e}riv\'{e}es des fonctions
suivantes (sans justifier la d\'{e}rivabilit\'{e} ni d\'{e}terminer le
domaine de d\'{e}rivabilit\'{e}). Bien entendu, il est utile de se rappeller
les tables de d\'{e}rivation !%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{lllll}
a) $\exp (4x^{3}-3x)$ & b) $\ln (3+\dfrac{1}{x^{4}})$ & c) $\sqrt{e^{2x}-\ln
x}$ & d) $\dfrac{3e^{3x}+2e^{x}}{1-e^{x}}$ & e) $x^{2}\ln (1+\dfrac{1}{x^{2}}%
)$%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\label{inegalite fonction}Montrer que $\forall x\geqslant 1,$ $\ln
x\leqslant x-1$
\end{exercise}
\subsection{Fonctions de classe $C^{k}$}
\begin{exercise}
\label{fonction Ck}Montrer que la fonction $x\mapsto \dfrac{x^{2003}}{%
x^{2004}+1}$ est de classe $C^{2005}$ sur $\mathbb{R}.$
\end{exercise}
\begin{exercise}
\label{prolongement continu de la derivee}On pose $f(x)=x\exp (-\dfrac{1}{%
x^{2}})$ et $f(0)=0.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}.$
\item Justifier que $f$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{\times }$ et calculer $%
f^{\prime }.$
\item D\'{e}terminer la limite de $f^{\prime }$ en $0$ (on pourra utiliser
le changement de variable $X=\dfrac{1}{x^{2}})$
\item La fonction $f$ est-elle $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ ? Que vaut $%
f^{\prime }(0)$ ?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\subsection{Bijections}
\begin{exercise}
\label{theoreme de bijection}On pose : ${\left\{ {%
\begin{array}{ll}
{\varphi (t)=\dfrac{t}{1-e^{-t}}} & {\forall t\in }\mathbb{R}_{+}^{\times }
\\
{\varphi (0)=1} &
\end{array}%
}\right. }$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\varphi $ est une fonction de classe $C^{1}$ sur $%
[0,+\infty \lbrack .$
\item On d\'{e}finit, de plus, la fonction $\psi $ sur $[0,+\infty \lbrack $
par : $\forall t\in \mathbb{R}_{+},\quad \psi (t)=1-(1+t)e^{-t}$.\newline
D\'{e}terminer le tableau de variation de $\psi $ sur $[0,+\infty \lbrack .$
En d\'{e}duire le signe de $\psi $ sur $[0,+\infty \lbrack .$
\item En d\'{e}duire que $\varphi $ r\'{e}alise une bijection de $[0,+\infty
\lbrack $ sur $[1,+\infty \lbrack .$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\label{derivabilite bijection}Soit $f(x)=x^{3}-3x+1.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ r\'{e}alise une bijection de $[1,+\infty \lbrack $ sur
un intervalle $J$ \`{a} expliciter.
\item On note $g$ sa r\'{e}ciproque. Justifier que $g$ est d\'{e}rivable en $%
1$. Que vaut $g^{\prime }(1)$ ?
\item D\'{e}terminer l'intervalle de d\'{e}rivabilit\'{e} de $g.$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\subsection{Int\'{e}gration}
\begin{exercise}
\label{suite integrale}On pose $I_{n}=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{dt}{1+t^{n}}$
et $J_{n}=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{t^{n}}{1+t^{n}}dt.$
\begin{enumerate}
\item Etude de $(J_{n})_{n}.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall n\geqslant 0,\quad 0\leqslant J_{n}\leqslant
\dfrac{1}{n+1}.$
\item D\'{e}terminer $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }J_{n}.$
\end{enumerate}
\item Etude de $(I_{n})_{n}.$
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la monotonie de la suite $(I_{n})_{n}.$
\item Justifier que $\forall n\geqslant 0,\quad 0\leqslant I_{n}\leqslant 1.$
\item La suite $(I_{n})_{n}$ est-elle convergente ?
\item Calculer $I_{n}+J_{n}.$ En d\'{e}duire $\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty }I_{n}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\subsection{Int\'{e}grales d\'{e}pendants de ses bornes}
\begin{exercise}
\label{fonction definie par une integrale}On consid\`{e}re la fonction $%
f(x)=\int\limits_{0}^{x}\dfrac{dt}{\sqrt{1+t^{2}}}dt$
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer le domaine de d\'{e}finition de $f.$
\item Justifier que $f$ est d\'{e}rivable sur son domaine de d\'{e}finition
et expliciter sa d\'{e}riv\'{e}e.
\item La fonction est-elle de classe $C^{1}$ sur son domaine de d\'{e}%
finition ?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\label{integrale parametre}On consid\`{e}re la fonction $f(x)=\int%
\limits_{1/x}^{x}\dfrac{t}{t^{4}+1}dt$ (on ne cherchera pas \`{a} calculer
cette int\'{e}grale).
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer le domaine de d\'{e}finition de la fonction $f.$
\item La fonction $f$ est-elle $C^{1}$ sur son domaine de d\'{e}finition ?
\item Calculer sa d\'{e}riv\'{e}e.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\subsection{Les suites}
\begin{exercise}
\label{suite recurrente ordre 2}D\'{e}terminer l'expression de la suite $%
(u_{n})_{n}$ d\'{e}finie par
\begin{equation*}
u_{0}=0,\quad u_{1}=1,\quad \forall n\geqslant 0,\quad
2u_{n+2}+3u_{n+1}+u_{n}=0.
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\label{suites monotones avec f(x)-x}Soit $f$ d\'{e}finie par $f(x)=\dfrac{%
e^{x}}{e^{x}+1}.$
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $f$.
\item Soit $g(x)=f(x)-x$.
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $g$.
\item En d\'{e}duire que l'\'{e}quation $f(x)=x$ admet une unique solution
not\'{e}e $\gamma $.
\item Montrer que $0<\gamma <1.$
\item Quel est le signe de $g$ sur $\mathbb{R}$ ?
\end{enumerate}
\item Soit $u$ la suite d\'{e}finie par son premier terme $u_{0}$
appartenant \`{a} $\mathbb{R}$ et par la relation de r\'{e}currence $%
u_{n+1}=f(u_{n})$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si u converge alors sa limite est $\gamma $.
\item Montrer que les intervalles $]-\infty ,\gamma ]$ et $[\gamma ,+\infty
\lbrack $ sont stables par $f.$
\end{enumerate}
\item On suppose $u_{0}\geqslant \gamma $.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\forall n\geqslant 0,$ $u_{n}\geqslant \gamma .$
\item Etudier la monotonie de la suite $u.$
\item Montrer que la suite $u$ est convergente.
\end{enumerate}
\item Par une m\'{e}thode analogue \`{a} la question $4,$ \'{e}tudier le cas
$u_{0}\leqslant \gamma $.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\label{suites et TAF}L'objectif de l'exercice est de montrer que l'\'{e}%
quation
\begin{equation*}
(E):\quad x^{3}+6x=1
\end{equation*}%
poss\`{e}de une unique solution $\alpha $ sur $\mathbb{R}$ et d'en d\'{e}%
terminer une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s.
\begin{enumerate}
\item On pose $f(x)=x^{3}+6x$ et $g(x)=\dfrac{1}{6}(1-x^{3})$
\begin{enumerate}
\item Justifier que l'\'{e}quation $f(x)=1$ admet une unique solution $%
\alpha $ dans $\mathbb{R}.$
\item Montrer que $0\leqslant \alpha \leqslant 1.$
\item D\'{e}montrer que l'intervalle $[0,1]$ est stable par $g$ et v\'{e}%
rifier que $g(\alpha )=\alpha $ ?
\item Montrer que $\forall x\in \lbrack 0,1],\quad \left\vert g^{\prime
}(x)\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2}$
\end{enumerate}
\item On introduit la suite $u$ d\'{e}finie par $u_{n+1}=\dfrac{1}{6}%
(1-u_{n}^{3})$ et $u_{0}=0.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall n\geqslant 0,\quad 0\leqslant u_{n}\leqslant 1.$
\item Montrer que $\forall n\geqslant 0,\quad \left\vert u_{n+1}-\alpha
\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2}\left\vert u_{n}-\alpha \right\vert $ puis
que $\forall n\geqslant 0,\quad \left\vert u_{n}-\alpha \right\vert
\leqslant \left( \dfrac{1}{2}\right) ^{n}.$
\item En d\'{e}duire que la suite $u$ converge et d\'{e}terminer sa limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\subsection{Syst\`{e}mes et Matrices}
\begin{exercise}
\label{systeme a parametre}Soit $a$ un nombre r\'{e}el. On consid\`{e}re le
syst\`{e}me
\begin{equation*}
(S_{a}):\left\{
\begin{array}{cc}
\left( a+3\right) x+\left( a-1\right) y+\left( a-1\right) z & =0 \\
-x+3y+z & =0 \\
ax+ay+\left( a+2\right) z & =0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $a$ le syst\`{e}me $(S_{a})$ est-il de Cramer ?
\item D\'{e}terminer les solutions du syst\`{e}me $(S_{a})$ lorsque $a=-1$
\item Quelles sont les solutions du syst\`{e}me $(S_{a})$ lorsque $a\neq -1.$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\label{critere inversibilite}Parmi les matrices suivantes, d\'{e}terminer
celles qui sont inversibles et les inverser le cas \'{e}ch\'{e}ant
\begin{equation*}
A={{%
\begin{pmatrix}
{2} & \sqrt{3} & {7} \\
{0} & {0} & {5} \\
{0} & {0} & {1}%
\end{pmatrix}%
}}\quad B=%
\begin{pmatrix}
2 & 0 & -2 \\
0 & -1 & 2 \\
2 & 11 & 0%
\end{pmatrix}%
\quad C=%
\begin{pmatrix}
2 & -2 & -2 \\
-1 & 3 & 1 \\
-1 & -1 & 1%
\end{pmatrix}%
\quad D=%
\begin{pmatrix}
{4} & {4} & {2} \\
{2} & {-1} & {0} \\
{1} & {2} & {1}%
\end{pmatrix}%
\quad E=%
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 3 \\
0 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 1%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\label{valeur propre et vecteur propre}On pose $A=%
\begin{pmatrix}
3 & -1 & -1 \\
-1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 2%
\end{pmatrix}%
$ et $B=%
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \\
1 & 3 & -1 \\
0 & 0 & 4%
\end{pmatrix}%
$
\begin{enumerate}
\item Calculer le produit $AB.$ La matrice $A$ est-elle inversible ? Si oui,
donner sa matrice inverse.
\item D\'{e}terminer l'ensemble $S$ des valeurs de $m$ pour lesquels la
matrice $A-mI_{3}$ n'est pas inversible.
\item D\'{e}terminer toutes les matrices $X=%
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z%
\end{pmatrix}%
$ solutions de l'\'{e}quation matricielle $AX=mX$ lorsque $m=2$ puis lorsque
$m=4.$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\label{P(A)=0}Soit $A=%
\begin{pmatrix}
2 & 0 & -2 \\
0 & -1 & 2 \\
2 & 1 & 0%
\end{pmatrix}%
$ \newline
V\'{e}rifier que $A^{3}-A^{2}+8I_{3}=0_{3}.$ En d\'{e}duire que $A$ est
inversible et donner son inverse.
\end{exercise}
\subsection{Calcul des puissances d'une matrice}
\begin{exercise}
\label{calcul An par recurrence}On pose $M=%
\begin{pmatrix}
2 & -2 & -2 \\
-1 & 3 & 1 \\
-1 & -1 & 1%
\end{pmatrix}%
$
\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que $M^{3}-6M^{2}+8M=0_{3}$
\item Montrer que pour tout entier $n\geqslant 1,$ il existe deux r\'{e}els $%
a_{n}$ et $b_{n}$ tel que $M^{n}=a_{n}M^{2}+b_{n}M.$
\item Exprimer $a_{n+1}$ (resp. $b_{n+1})$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}.$
Expliciter $a_{1},b_{1},a_{2},b_{2}.$
\item Montrer que $a$ v\'{e}rifie la relation de r\'{e}currence $%
a_{n+2}=6a_{n+1}-8a_{n}.$ En d\'{e}duire l'expression de $a_{n}$ en fonction
de $n.$
\item En remarquant que $b_{n}=a_{n+1}-6a_{n},$ exprimer $b_{n}$ en fonction
de $n.$
\item Donner tous les coefficients de la matrice $M^{n}$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\label{calcul An par diag}On pose $M=%
\begin{pmatrix}
4 & -2 & -2 \\
-1 & 5 & 1 \\
-1 & -1 & 3%
\end{pmatrix}%
$
\begin{enumerate}
\item On pose $P=%
\begin{pmatrix}
2 & 0 & -2 \\
0 & -1 & 2 \\
2 & 1 & 0%
\end{pmatrix}%
$. Justifier que $P$ est inversible et d\'{e}terminer $P^{-1}.$
\item Montrer qu'il existe une unique matrice $H$ telle que $M=PHP^{-1}$
\item Montrer que pour tout entier $n,$ on a $M^{n}=PH^{n}P^{-1}$ puis
donner tous les coefficients de $M^{n}.$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\label{calcul An par binome}On introduit la matrice $A=%
\begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 \\
1 & 3 & -1 \\
-1 & 1 & 5%
\end{pmatrix}%
$ et la matrice $B=%
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & 1%
\end{pmatrix}%
$
\begin{enumerate}
\item Expliciter la matrice $C$ telle que $A=B+C.$
\item Calculer $B^{2}$ puis $B^{k}$ lorsque $k$ est un entier positif
quelconque.
\item Les matrices $B$ et $C$ commutent-elle ?
\item Calculer $A^{n}$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\subsection{Espaces vectoriels et applications lin\'{e}aires}
\begin{exercise}
\label{ev}On pose $A=%
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & -1%
\end{pmatrix}%
$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E=\{X\in \mathfrak{M}_{4,1}(\mathbb{R})$ tel que $%
AX=-2X\} $ est un espace vectoriel.
\item Donner en une base.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\label{application lineaire}Soit $f$ l'application d\'{e}finie sur $%
\mathfrak{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ dans $\mathfrak{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ d\'{e}%
finie par
\begin{equation*}
\forall
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z%
\end{pmatrix}%
\in \mathfrak{M}_{3,1}(\mathbb{R}),\quad f(%
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z%
\end{pmatrix}%
)=%
\begin{pmatrix}
x+2y+z \\
2x+y-2z \\
x+2y+z%
\end{pmatrix}%
.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une application lin\'{e}aire.
\item Donner une base de son noyau et de son image.
\item L'application $f$ est-elle bijective ?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\newpage
\section{Indications}
\begin{indication}[\protect\ref{limites fonctions}]
a) le changement de variable $X=\dfrac{1}{x^{2}}$ est ton ami. b), c)et d)
on factorise par le "dominant" au num\'{e}rateur et au d\'{e}nominateur en
faisant bien attention de factoriser le bon "dominant" et se r\'{e}f\'{e}%
rant au cours pour les limites usuelles !
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{dl usuels}]
a) on d\'{e}termine les DL de $e^{x}$ et $\ln (1+x)$ en $0$ puis on effectue
dans chacun d'eux un changement de variable ad\'{e}quat\newline
b) On effectue de DL de $2-e^{x}$ puis on r\'{e}injecte dans le DL de $\sqrt{%
1+X}$ (v\'{e}rifier que $X\rightarrow $ ...)
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{dl en 0 et oo}]
a) et c) utiliser les \'{e}quivalents. Pour b) donner un \'{e}quivalent du d%
\'{e}nominateur et faire un DL du num\'{e}rateur pour avoir l'\'{e}quivalent
du num\'{e}rateur. Pour le d) utiliser les DL puis obtenir les \'{e}%
quivalents
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{continuite usuelle}]
se r\'{e}f\'{e}rer au cours concernant la continuit\'{e} de $\dfrac{f}{g},$ $%
\sqrt{f},$ $\ln f.$
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{prolongement par continuite}]
1. se r\'{e}f\'{e}rer au cours concernant la continuit\'{e} de $\dfrac{f}{g}%
, $ $\exp f$ \newline
2. se r\'{e}f\'{e}rer au cours concernant la continuit\'{e} en un point et
utiliser les DL pour la limite
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{derivabilite}]
se r\'{e}f\'{e}rer au cours concernant la d\'{e}rivabilit\'{e} de $\dfrac{f}{%
g},$ $\ln f$
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{calcul de derivee}]
se r\'{e}f\'{e}rer au cours concernant la d\'{e}riv\'{e}e de $f\times g,%
\dfrac{f}{g},$ $\ln f,$ $\exp f,$ $\sqrt{f}$
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{inegalite fonction}]
Dresser les variations de la fonction $f(x)=\ln x-(x-1)$
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{fonction Ck}]
se r\'{e}f\'{e}rer au cours concernant les fonctions $C^{k}$ (relativement
au th\'{e}or\`{e}me sur $\dfrac{f}{g})$
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{prolongement continu de la derivee}]
1. utiliser les th\'{e}or\`{e}mes g\'{e}n\'{e}raux sur les fonctions
continues et \'{e}tudier ensuite la continuit\'{e} au point ne relevant pas
de ces th\'{e}or\`{e}mes, ici il s'agit de $0)$\newline
2. utiliser les th\'{e}or\`{e}mes g\'{e}n\'{e}raux sur les fonctions $C^{k}$%
\newline
3. C'est donn\'{e} dans l'\'{e}nonc\'{e}\newline
4. Le th\'{e}or\`{e}me de prolongement continue de la d\'{e}riv\'{e}e est
ton ami
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{theoreme de bijection}]
1. utiliser les th\'{e}or\`{e}mes g\'{e}n\'{e}raux sur les fonctions $C^{k}$
puis \'{e}tudier ensuite la continuit\'{e} au point ne relevant pas de ces th%
\'{e}or\`{e}mes, ici il s'agit de $0$ et enfin utiliser le th\'{e}or\`{e}me
de prolongement continue de la d\'{e}riv\'{e}e.\newline
2.b. le signe de $\psi $ fournit le signe de $\varphi $ + th\'{e}or\`{e}me
de bijection
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{derivabilite bijection}]
1. Th\'{e}or\`{e}me de bijection, non mais. \newline
2. utiliser le th\'{e}or\`{e}me sur la d\'{e}rivabilit\'{e} de la bijection
en un point (on recherchera proprement l'ant\'{e}c\'{e}dent) \newline
Utiliser la caract\'{e}risation de la d\'{e}rivabilit\'{e} de la bijection
sur un ensemble.
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{suite integrale}]
1.a. Encadrer la fonction sous l'int\'{e}grale.\newline
2.a. $\int\limits_{a}^{b}f-\int\limits_{a}^{b}g=\int\limits_{a}^{b}(f-g)$
puis d\'{e}terminer le signe de $f-g$.\newline
2.b. encadrer la fonction sous l'int\'{e}grale\newline
2.d. $\int\limits_{a}^{b}f+\int\limits_{a}^{b}g=\int\limits_{a}^{b}(f+g)$
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{fonction definie par une integrale}]
1. 2. et 3. se r\'{e}f\'{e}rer au cours sur le calcul int\'{e}gral
concernant l'\'{e}tude de des fonctions $x\mapsto \int\limits_{a}^{x}f(t)dt$
et en appliquant soigneusement le th\'{e}or\`{e}me correspondant.
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{integrale parametre}]
1. 2. et 3. revoir le cours sur les fonctions de la forme $x\mapsto
\int\limits_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt.$
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{suite recurrente ordre 2}]
cf. le cours correspondant.
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{suites monotones avec f(x)-x}]
2.b. th\'{e}or\`{e}me de bijection sur $g$ pour justifier l'existence de la
solution \`{a} $g(x)=0.$\newline
2.c. Calculer $g(0),$ $g(\gamma )$ et $g(1).$\newline
3.a la limite \'{e}ventuelle d'une telle suite est solution d'une certaine
\'{e}quation\newline
3.b. le tableau de variations de $f$ est indispensable\newline
4. a. une r\'{e}currence \newline
4.b. on connait le signe de $f(x)-x$ sur $[\gamma ,+\infty \lbrack $ et on
\'{e}value en $x=u_{n}$\newline
5. les m\^{e}mes indications que le 4.
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{suites et TAF}]
1.a. appliquer le th\'{e}or\`{e}me de bijection \`{a} $f$ \newline
1.b.. $f(0)=...,$ $f(1)=..$ ,$f(\alpha )=..$donc\newline
1.c. tableau de variations de $g$ puis justifier que $g(\alpha )=\alpha
\Leftrightarrow f(\alpha )=1$\newline
2.a. Par r\'{e}currence\newline
2.b. le TAF \'{e}valu\'{e} en $x=...$ et $y=...$ puis on r\'{e}curre (pas la
casserole s'il vous plait :-) )\newline
2.c. th\'{e}or\`{e}me d'encadrement appliqu\'{e} \`{a} $\left\vert
u_{n}-\alpha \right\vert $
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{systeme a parametre}]
1. Ce cher Karl Friedriech Gauss et son pivot pour se ramener \`{a} un syst%
\`{e}me triangulaire (attention, $L_{j}\leftarrow \alpha L_{j}+\beta L_{i}$
est licite seulement si $\alpha \neq 0$ et $\beta $ est quelconque)
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{critere inversibilite}]
On consid\`{e}re le syst\`{e}me associ\'{e} $AX=Y$, on le rend triangulaire
puis on utilise la caract\'{e}risation des syst\`{e}mes triangulaires de
Cramer. Dans le cas, o\`{u} $A$ est inversible, alors on termine la r\'{e}%
solution (il est n\'{e}anmoins indispensable de se r\'{e}f\'{e}rer au cours
associ\'{e})
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{valeur propre et vecteur propre}]
1. $X$ est inversible ssi il existe $Y$ telle que $XY=I$. Dans ce dernier
cas, $X^{-1}=Y$\newline
2. Expliciter la matrice $A-mI_{3}$ puis le syst\`{e}me homog\`{e}ne associ%
\'{e} et r\'{e}duire ce dernier (attention, $L_{j}\leftarrow \alpha
L_{j}+\beta L_{i}$ est licite seulement si $\alpha \neq 0$ et $\beta $ est
quelconque)
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{P(A)=0}]
Placer les puissances de $A$ d'un c\^{o}t\'{e}, factoriser.et $X$ est
inversible ssi il existe $Y$ telle que $XY=I$. Dans ce dernier cas, $%
X^{-1}=Y $.
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{calcul An par recurrence}]
2. une r\'{e}currence, $M^{n+1}=MM^{n}$ puis on utilise la formule $%
M^{3}-6M^{2}+8M=0_{3}$, ensuite exprimer $M^{3}$ en fonction de $M^{2}$ et $%
M $ puis on regroupe les termes en $M^{2}$ et les termes en $M$\newline
3. d\'{e}coule du calcul pr\'{e}c\'{e}dent. On connait $a_{1}$ et $b_{1}$
par l'initialisation de la r\'{e}currence donc on en d\'{e}duit $a_{2}$ et $%
b_{2}$\newline
4. $a_{n+2}$ en fonction de $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ et $b_{n+1}=...$ On
remercie ensuite le cours sur les suites r\'{e}currentes d'ordre $2.$
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{calcul An par diag}]
1. on se ram\`{e}ne \`{a} des syst\`{e}mes \newline
2. On exprime $H$ en fonction de $P$ et $M$ puis on calcule.\newline
3. une r\'{e}currence puis il est simple de calculer $H^{n}$ lorsque $H$ est
diagonale.
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{calcul An par binome}]
1. Merci la soustraction\newline
2. Distinguer $k=0,$ $k=1$ et $k\geqslant 2.$\newline
3. Revoir la d\'{e}finition de deux matrices qui commutent\newline
4. Le bin\^{o}me de Newton est notre cher camarade (on revoit n\'{e}anmoins
les conditions d'utilisation)
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{ev}]
1. Utiliser la caract\'{e}risation des sous-espaces vectoriels.\newline
2. R\'{e}soudre l'\'{e}quation puis r\'{e}injecter les solutions dans le
vecteur $X.$
\end{indication}
\begin{indication}[\protect\ref{application lineaire}]
1. Le cours est notre ami.\newline
2.Pour commencer, revoir le cours correspondant. Pour l'image, r\'{e}duire
le syst\`{e}me $f(X)=Y$ afin d'obtenir les contraintes \'{e}ventuelles sur $%
Y $.
\end{indication}
\newpage
\section{R\'{e}ponses}
\begin{correction}[\protect\ref{limites fonctions}]
a) $0$ \quad b) $1$ \quad c) $-1$ (le dominant est $e^{-3x})$\quad d) $f(x)%
\underset{x\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{-x}{\ln x}$ donc $%
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0.$
\end{correction}
\begin{correction}[\protect\ref{dl usuels}]
a) $1+3x+\dfrac{5}{2}x^{2}+o\left( x^{2}\right) $ \quad b) $1-\dfrac{1}{2}x-%
\dfrac{3}{8}x^{2}+o\left( x^{2}\right) $
\end{correction}
\begin{correction}[\protect\ref{dl en 0 et oo}]
a) $\dfrac{3}{2}$ ($f(x)\underset{x\rightarrow 0}{\sim }\dfrac{3x}{2x})$%
\quad b) $2$ ($f(x)\underset{x\rightarrow 0}{\sim }\dfrac{4x^{2}}{2x^{2}})$%
\quad c) $0$ ($f(x)\underset{x\rightarrow 0}{\sim }\dfrac{x^{2}}{x^{3}})$%
\quad d) $\dfrac{1}{2}$ ($f(x)\underset{x\rightarrow 0}{\sim }\dfrac{-x}{-2x}%
)$
\end{correction}
\begin{correction}[\protect\ref{continuite usuelle}]
a) $[-3,+\infty \lbrack $ \quad b) $\mathbb{R}$ \quad c) $\mathbb{R}^{\times
}$ ($e^{x}=e^{-2x}\Leftrightarrow x=-2x)$\quad d) $\mathbb{R}^{\times }$ ($3+%
\dfrac{1}{x^{4}}\geqslant 3>0)$
\end{correction}
\begin{correction}[\protect\ref{prolongement par continuite}]
1. Le num\'{e}rateur et le d\'{e}nominateur sont continues sur $\mathbb{R},$
le d\'{e}nominateur ne s'annule pas sur $\mathbb{R}^{\times }$ donc $f$ est
continue sur $\mathbb{R}^{\times }$\newline
2. Un DL du num\'{e}rateur et du d\'{e}nominateur en $0$ nous donne les \'{e}%
quivalents de chacun donc $f(x)\underset{x\rightarrow 0}{\sim }\dfrac{2x^{2}%
}{2x}=x$ d'o\`{u} $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0=f(0)$ donc $f$ est
continue en $0.$ Des questions 1. et 2. on en d\'{e}duit que $f$ est
continue sur $\mathbb{R}.$
\end{correction}
\begin{correction}[\protect\ref{derivabilite}]
$a$ est d\'{e}rivable sur $\mathbb{R}$ (quotient de deux fonctions d\'{e}%
rivables sur $\mathbb{R}$ dont le d\'{e}nominateur ne s'annule pas sur $%
\mathbb{R})$ et $a^{\prime }(x)=\dfrac{1-6x-x^{2}}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}%
},$\newline
$b$ est d\'{e}rivable sur $\mathbb{R}\backslash \{3\}$ (quotient de deux
fonctions d\'{e}rivables sur $\mathbb{R}$ dont le d\'{e}nominateur ne
s'annule pas sur $\mathbb{R}^{\times })$et $b^{\prime }(x)=-\dfrac{%
xe^{x}-e^{x}+3}{\left( e^{x}-3\right) ^{2}}$\newline
$c$ est d\'{e}rivable sur $\mathbb{R}_{-}^{\times }=]-\infty ,0[$ ($x\mapsto
e^{-x}-e^{2x}$ est d\'{e}rivable, strictement positive sur $\mathbb{R}%
_{-}^{\times }$ (on r\'{e}soud l'in\'{e}quation $e^{-x}>e^{-2x}))$ et $%
c^{\prime }(x)=-\dfrac{e^{-x}+2e^{2x}}{e^{-x}-e^{2x}}$
\end{correction}
\begin{correction}[\protect\ref{calcul de derivee}]
a) $\left( 12x^{2}-3\right) \exp (4x^{3}-3x)$ \quad b) $-\dfrac{4}{x+3x^{5}}$
\quad c) $\dfrac{1}{2\sqrt{e^{2x}-\ln x}}\left( -\dfrac{1}{x}+2e^{2x}\right)
$\newline
d) $-e^{x}\dfrac{6e^{3x}-9e^{2x}-2}{\left( e^{x}-1\right) ^{2}}$ \quad e) $%
2x\ln \left( \dfrac{1}{x^{2}}+1\right) -\dfrac{2x}{x^{2}+1}$
\end{correction}
\begin{correction}[\protect\ref{inegalite fonction}]
$f(x)=\ln x-(x-1),$ $f^{\prime }(x)=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}\leqslant 0$
sur $[1,+\infty \lbrack $ donc $f$ est d\'{e}croissante sur cet intervalle.
Puisque $f(1)=0,$ on en d\'{e}duit que $\forall x\geqslant 1,\quad
f(x)\leqslant 0\Leftrightarrow \ln x\leqslant x-1.$
\end{correction}
\begin{correction}[\protect\ref{fonction Ck}]
Quotient de deux fonctions de classe $C^{2005}$ sur $\mathbb{R}$ dont le d%
\'{e}nominateur ne s'annule pas sur $\mathbb{R}.$
\end{correction}
\begin{correction}[\protect\ref{prolongement continu de la derivee}]
1. $x\mapsto \dfrac{1}{x^{2}}$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{\times }$ donc $%
x\mapsto \exp (-\dfrac{1}{x^{2}})$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{\times },$
ce qui implique que $f$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{\times }.$ Si l'on pose
$X=\dfrac{1}{x^{2}}$ alors $X\rightarrow +\infty $ lorsque $x\rightarrow 0$
et $x\exp (-\dfrac{1}{x^{2}})=\dfrac{e^{-X}}{\sqrt{X}}\underset{X\rightarrow
+\infty }{\rightarrow }0$ (limite classique), on en d\'{e}duit que $%
\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0=f(0)$ donc $f$ est continue en $0.$
Puisqu'elle est continue sur $\mathbb{R}^{\times }$ (car $C^{1}),$ on en d%
\'{e}duit que $f$ est continue sur $\mathbb{R}.$\newline
2. Le raisonnement pr\'{e}c\'{e}dent montre que $f$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{%
R}^{\times }$ et $\forall x\neq 0,\quad f^{\prime }(x)=(1+\dfrac{2}{x^{2}}%
)\exp (-\dfrac{1}{x^{2}}).$\newline
3. On pose $X=\dfrac{1}{x^{2}}$ alors $X\rightarrow +\infty $ lorsque $%
x\rightarrow 0$.
\begin{equation*}
f^{\prime }(x)=(1+\dfrac{2}{x^{2}})\exp (-\dfrac{1}{x^{2}})=(1+2X^{2})\exp
(-X)\underset{X\rightarrow +\infty }{\sim }2X^{2}\exp (-X)
\end{equation*}%
donc $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f^{\prime }(x)=2\lim\limits_{X\rightarrow
+\infty }X^{2}\exp (-X)=0$ (limite usuelle). \newline
4. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R},$ de classe $C^{1}$ sur $%
\mathbb{R}^{\times }$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f^{\prime }(x)=0$ donc
le th\'{e}or\`{e}me de prolongement continue de la d\'{e}riv\'{e}e affirme
que $f$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ et que $f^{\prime
}(0)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}f^{\prime }(x)=0.$
\end{correction}
\begin{correction}[\protect\ref{theoreme de bijection}]
1. $f$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{\times }$ (comme quotient de deux
fonctions $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ dont le d\'{e}nominateur ne s'annule pas
sur $\mathbb{R}^{\times }).$ En outre, $\varphi (t)\underset{t\rightarrow 0}{%
\sim }\dfrac{t}{t}=1$ donc $\lim\limits_{t\rightarrow 0}\varphi
(t)=1=\varphi (0)$ et $\varphi $ est continue en $0$ et elle est continue
sur $\mathbb{R}^{\times }$ donc elle est continue sur $\mathbb{R}$ et elle
est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{\times }.$ Le $DL_{2}(0)$ de $1-(t+1)e^{-t}$
est $\dfrac{1}{2}t^{2}+o(t^{2})$ et sa combinaison avec l'\'{e}quivalent
usuel $e^{-t}-1\underset{x\rightarrow 0}{\sim }-t$ nous donne
\begin{equation*}
\varphi ^{\prime }(t)=\dfrac{1-(t+1)e^{-t}}{(1-e^{-t})^{2}}\underset{%
t\rightarrow 0}{\sim }\dfrac{1-(t+1)e^{-t}}{t^{2}}\underset{t\rightarrow 0}{%
\sim }\dfrac{\dfrac{1}{2}t^{2}}{t^{2}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow
\lim\limits_{t\rightarrow 0}\varphi ^{\prime }(t)=\dfrac{1}{2}.
\end{equation*}%
Toutes les conditions du th\'{e}or\`{e}me de prolongement continu de la d%
\'{e}riv\'{e}e sont r\'{e}unies, ce qui montre que $\varphi $ est $C^{1}$
sur $\mathbb{R}$ et
\begin{equation*}
\varphi ^{\prime }(t)=\dfrac{1-(t+1)e^{-t}}{(1-e^{-t})^{2}}\text{ si }t\neq 0%
\text{ et }\varphi ^{\prime }(0)=\dfrac{1}{2}.
\end{equation*}%
2. La fonction $\psi $ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ et $\forall
t\in \mathbb{R},\quad \psi ^{\prime }(t)=te^{-t}.$ On en d\'{e}duit que $%
\psi $ est croissante sur $\mathbb{R}_{+}$ et $\forall t\in \mathbb{R}%
_{+},\psi (t)\geqslant \psi (0)=0$.\newline
3. La fonction $\psi $ est continue sur $[0,+\infty \lbrack ,$ strictement
croissante sur $[0,+\infty \lbrack $ (car $\forall t>0,\quad \varphi
^{\prime }(t)=\dfrac{\psi (t)}{(1-e^{-t})^{2}}>0)$ donc elle r\'{e}alise une
bijection de $[0,+\infty \lbrack $ sur $\varphi ([0,+\infty \lbrack
)=[1,+\infty \lbrack $ (car $\varphi (t)\underset{t\rightarrow +\infty }{%
\sim }-\dfrac{t}{e^{-t}}=-te^{t}\rightarrow +\infty )$
\end{correction}
\begin{correction}[\protect\ref{derivabilite bijection}]
1. La fonction $f$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime
}(x)=3(x^{2}-1)>0$ sur $]1,+\infty \lbrack $ donc $f$ est strictement
croissante sur $[1,+\infty \lbrack .$ Elle est continue sur cet intervalle,
donc elle r\'{e}alise une bijection de $[1,+\infty \lbrack $ sur $%
[-1,+\infty \lbrack $\newline
2. Calculer $g(1)=f^{-1}(1)=$ unique ant\'{e}c\'{e}dent de $1$ par $f$
appartenant \`{a} $[1,+\infty \lbrack $ (intervalle de d\'{e}part).%
\begin{equation*}
y=f^{-1}(1)\Leftrightarrow f(y)=1\Rightarrow y^{3}-3y=0\Leftrightarrow
y(y^{2}-3)=0\Leftrightarrow y\in \{-\sqrt{3},0,\sqrt{3}\}
\end{equation*}%
Or $y\in \lbrack 1,+\infty \lbrack $ donc $y=\sqrt{3},$ c'est-\`{a}-dire $%
f^{-1}(1)=\sqrt{3}.$ Ensuite,
\begin{equation*}
f^{\prime }(f^{-1}(1))=f^{\prime }(\sqrt{3})=3((\sqrt{3})^{2}-1)=6\neq 0
\end{equation*}%
donc $f^{-1}=g$ est d\'{e}rivable en $1$ et $g^{\prime }(1)=(f^{-1})^{\prime
}(1)=\dfrac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(1))}=\dfrac{1}{6}.$\newline
3. Puisque $f^{\prime }(x)=3(x^{2}-1),$ on en d\'{e}duit que $\forall x\in
]1,+\infty \lbrack ,\quad f^{\prime }(x)\neq 0$ et $f^{\prime }(1)=0$ donc $%
f^{-1}=g$ est d\'{e}rivable sur $f([1,+\infty \lbrack )\backslash
\{f(1)\}=[-1,+\infty \lbrack \backslash \{-1\}=]-1,+\infty \lbrack $
\end{correction}
\begin{correction}[\protect\ref{suite integrale}]
1.a. $\forall t\in \lbrack 0,1],\quad 0\leqslant \dfrac{t^{n}}{1+t^{n}}%
\leqslant t^{n}$ donc en int\'{e}grant, on obtient $0\leqslant
J_{n}\leqslant \dfrac{1}{n+1}.$\newline
b. le th\'{e}or\`{e}me d'encadrement implique que $\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty }J_{n}.$\newline
2.a. $I_{n+1}-I_{n}=\int\limits_{0}^{1}\left( \dfrac{1}{1+t^{n+1}}-\dfrac{1}{%
1+t^{n}}\right) dt=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{t^{n}-t^{n+1}}{%
(1+t^{n})(1+t^{n+1})}dt=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{t^{n}(1-t)}{%
(1+t^{n})(1+t^{n+1})}dt.$\newline
Puisque la fonction $t\mapsto \dfrac{t^{n}(1-t)}{(1+t^{n})(1+t^{n+1})}$ est
positive sur $[0,1],$ on en d\'{e}duit que $I_{n+1}-I_{n}\geqslant 0$ donc
la suite $(I_{n})_{n}$ est croissante.\newline
b. $\forall t\in \lbrack 0,1],\quad 0\leqslant \dfrac{1}{1+t^{n}}\leqslant 1$
donc $0\leqslant I_{n}=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{dt}{1+t^{n}}\leqslant
\int\limits_{0}^{1}dt=1.$\newline
c. La suite $(I_{n})$ est croissante et major\'{e}e par $1$ donc elle est
convergente.\newline
d. $I_{n}+J_{n}=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{1+t^{n}}{1+t^{n}}%
dt=\int\limits_{0}^{1}dt=1.$ Puisque $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}J_{n}=1,$ on en d\'{e}duit que $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}I_{n}=1-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }J_{n}=1.$
\end{correction}
\begin{correction}[\protect\ref{fonction definie par une integrale}]
$t\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $0\in
\mathbb{R}$ donc la fonction $x\mapsto f(x)=\int\limits_{0}^{x}\dfrac{dt}{%
\sqrt{1+t^{2}}}$ est d\'{e}finie et $C^{1}$ sur $\mathbb{R}.$ Sa d\'{e}riv%
\'{e}e est $f^{\prime }(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
\end{correction}
\begin{correction}[\protect\ref{integrale parametre}]
1. $t\mapsto \dfrac{1}{t^{4}+1}$ est continue sur $\mathbb{R}$ donc $f(x)$
existe d\`{e}s que $x$ et $\dfrac{1}{x}$ appartiennent \`{a} $\mathbb{R},$
c'est-\`{a}-dire $x\in \mathbb{R}^{\times }$ (on ne peut diviser par $0).$%
\newline
2. On pose $g(x)=\int\limits_{0}^{x}\dfrac{dt}{1+t^{4}}$ et l'on a $%
f(x)=g(x)-g(\dfrac{1}{x}).$ La fonction $g$ est de classe $C^{1}$ sur $%
\mathbb{R}$ et la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est de classe $C^{1}$ sur
$\mathbb{R}^{\times }$ donc la fonction $f$ est de classe $C^{1}$ sur $%
\mathbb{R}^{\times }$ et
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}^{\times },\quad f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)-(%
\dfrac{1}{x})^{\prime }g^{\prime }(\dfrac{1}{x})=\dfrac{1}{1+x^{4}}+\dfrac{1%
}{x^{2}}\times \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^{4}}}=\dfrac{1}{1+x^{4}}+\dfrac{x^{2}%
}{1+x^{4}}=\dfrac{1+x^{2}}{1+x^{4}}.
\end{equation*}
\end{correction}
\begin{correction}[\protect\ref{suite recurrente ordre 2}]
L'\'{e}quation caract\'{e}ristique est $2x^{2}+3x+1$ dont les racines sont $%
-1$ et $-\dfrac{1}{2}$ donc il existe deux constantes $\alpha $ et $\beta $
telles que $\forall n\geqslant 0,\quad u_{n}=\alpha (-1)^{n}+\beta (-\dfrac{1%
}{2})^{n}.$ En \'{e}valuant en $n=0$ et $n=1,$ on obtient $\alpha =-2$ et $%
\beta =2$ donc $u_{n}=2(-\dfrac{1}{2})^{n}-2(-1)^{n}$
\end{correction}
\begin{correction}[\protect\ref{suites monotones avec f(x)-x}]
1.La fonction $f$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ et $\forall x\in
\mathbb{R},\quad f^{\prime }(x)=\dfrac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}>0$ On en d\'{e}%
duit que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}.$\newline
2.a. $g^{\prime }(x)=\dfrac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}-1=-\dfrac{e^{x}+e^{2x}+1}{%
\left( e^{x}+1\right) ^{2}}<0$ donc la fonction $g$ est d\'{e}croissante sur
$\mathbb{R}.$\newline
2.b. La fonction $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ et strictement d\'{e}%
croissante sur $\mathbb{R}$. De plus, $\underset{-\infty }{\lim }g=+\infty $
($\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}\underset{x\rightarrow -\infty }{\rightarrow }0)$ et
$\underset{+\infty }{\lim }g=-\infty $ ($\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}\underset{%
x\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{e^{x}}{e^{x}}=1).$ Le th\'{e}or\`{e}me
de bijection montre $g$ r\'{e}alise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $%
\mathbb{R}.$ Par cons\'{e}quent, l'\'{e}quation $g(x)=0(\Leftrightarrow
f(x)=x)$ poss\`{e}de une unique solution $\gamma $ \newline
2.c. $g(0)=\dfrac{1}{2},$ $g(1)=\dfrac{e}{e+1}-1=\dfrac{-1}{e+1}<0,$ $%
g(\gamma )=0$ donc $g(1)0$ donc f est croissante et $%
\underset{-\infty }{\lim }f=\underset{-\infty }{\lim }x=-\infty $, $\underset%
{+\infty }{\lim }f=\underset{+\infty }{\lim }x=+\infty $. Le th\'{e}or\`{e}%
me de bijection implique que $f$ r\'{e}alise une bijection de $\mathbb{R}$
sur $\mathbb{R}.$ En particulier, puisque $1\in \mathbb{R}(=f(\mathbb{R})),$
l'\'{e}quation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha \in \mathbb{R}.$%
\newline
1.b. $f(0)=0,$ $f(\alpha )=1,$ $f(1)=7$ donc $f(0)