\documentclass[a4paper,french]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\pagestyle{fancy}
\lhead{PHEC1}
\chead{Correction dm 8}
\rhead{2004-2005}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{abdellah bechata}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{correction}[theorem]{correction de l'exercice}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Prérequis}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithme}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiome}
\newtheorem{case}[theorem]{Cas}
\newtheorem{claim}[theorem]{Affirmation}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Critèrion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Définition}
\newtheorem{example}[theorem]{Exemple}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problème}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Sommaire}
\newenvironment{proof}[1][Preuve]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\begin{correction}
Voici le code à entrer dans le tableur. Pour les valeurs numériques, voir
soit le fichier Tableur, soit le corrigé dédié.\bigskip \newline
$%
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{C} & \textbf{D} & \textbf{E} \\ \hline
1 & \textbf{n} & \textbf{suite a} & \textbf{suite b} & \textbf{suite c} &
\textbf{suite d} \\ \hline
2 & & & & & \\ \hline
3 & 0 & & 3 & 0 & 0 \\ \hline
4 & 1 & 7 & =(C3)*exp(-(C3)) & =racine((D3)+A3) & =(E3)+(1/2)*(5-(E3)\symbol{%
94}2) \\ \hline
5 & 2 & =(2+B4)/(1+(B4)\symbol{94}4) & =(C4)*exp(-(C4)) & =racine((D4)+A4) &
=(E4)+(1/2)*(5-(E4)\symbol{94}2) \\ \hline
& $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ \\ \hline
52 & 49 & =(2+B51)/(1+(B51)\symbol{94}4) & =(C51)*exp(-(C51)) &
=racine((D51)+A51) & =(E51)+(1/2)*(5-(E51)\symbol{94}2) \\ \hline
53 & 50 & =(2+B52)/(1+(B52)\symbol{94}4) & & & \\ \hline
\end{tabular}%
$\bigskip \newline
$%
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{C} & \textbf{D} \\ \hline
1 & \textbf{n} & \textbf{suite e} & \textbf{suite f} & \textbf{suite g} \\
\hline
2 & & & & \\ \hline
3 & 0 & 1 & & \\ \hline
4 & 1 & =1+((A3)/B3) & 1 & 3 \\ \hline
5 & 2 & =1+((A4)/B4) & =C4+1/((A4)*2\symbol{94}(A4)) & 7 \\ \hline
6 & 3 & $\vdots $ & $\vdots $ & =(3*racine(D5)+2*racine(D4))/35 \\ \hline
& $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ & =(3*racine(D6)+2*racine(D5))/35 \\
\hline
52 & 49 & =1+((A51)/B51) & =C51+1/((A51)*2\symbol{94}(A51)) & $\vdots $ \\
\hline
53 & 50 & & =C52+1/((A52)*2\symbol{94}(A52)) &
=(3*racine(D52)+2*racine(D51))/35 \\ \hline
\end{tabular}%
$\bigskip \newline
$%
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{C} & \textbf{D} & \textbf{E} \\ \hline
1 & \textbf{n} & \textbf{suite h} & \textbf{suite i} & \textbf{suite j} &
\textbf{suite k} \\ \hline
2 & & & & & \\ \hline
3 & 0 & 1 & 0 & 3 & 2 \\ \hline
4 & 1 & 2 & 1 & =(1/2)*((D3)+(E3)) & =racine((D3)*(E3)) \\ \hline
5 & 2 & =((E4)*(E3))/((E4)+(E3)) & =3*(A3)-1+(C4)/2-(C3)/6 &
=(1/2)*((D4)+(E4)) & =racine((D4)*(E4)) \\ \hline
6 & 3 & =((E5)*(E4))/((E5)+(E4)) & =3*(A4)-1+(C5)/2-(C4)/6 & $\vdots $ & $%
\vdots $ \\ \hline
& $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ \\ \hline
52 & 49 & =((E51)*(E50))/((E51)+(E50)) & =3*(A50)-1+(C51)/2-(C50)/6 &
=(1/2)*((D51)+(E51)) & =racine((D51)*(E51)) \\ \hline
\end{tabular}%
$\bigskip \newline
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{C} \\ \hline
1 & \textbf{n} & \textbf{suite l} & \textbf{suite m} \\ \hline
2 & & & \\ \hline
3 & 0 & 2 & 3 \\ \hline
4 & 1 & =((B3)+(C3))/2 & =2*(B3)*(C3)/((B3)+(C3)) \\ \hline
5 & 2 & =((B4)+(C4))/2 & =2*(B4)*(C4)/((B4)+(C4)) \\ \hline
& $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ \\ \hline
52 & 49 & =((B51)+(C51))/2 & =2*(B51)*(C51)/((B51)+(C51)) \\ \hline
\end{tabular}%
\bigskip \newline
La suite $a$ ne semble pas converger puisqu'elle semble osciller entre deux
valeurs (\emph{on démontre que les suites }$(u_{2n})$\emph{\ et }$(u_{2n+1})$%
\emph{\ sont convergentes dont les limites ont respectivement pour valeur
approchée à }$10^{-9}$ \emph{près 0,178 285 573 et 2,176 086 999})\newline
La suite $b$ semble décroitre mais on ne peut conclure en l'état sur la
convergence (\emph{on démontre qu'elle tend vers }$0$\emph{\ comme }$\dfrac{1%
}{n},$\emph{\ ce qui explique sa convergence très lente})\newline
La suite $c$ semble croitre mais on ne peut conclure en l'état sur la
convergence (\emph{on démontre qu'elle tend vers }$+\infty $\emph{\ comme }$%
\sqrt{n},$\emph{\ ce qui explique la lenteur de la divergence})\newline
La suite $d$ semble ne pas converger (\emph{on démontre que les suites }$%
(u_{2n})$\emph{\ et }$(u_{2n+1})$\emph{\ sont convergentes et leurs limites
respectives sont }$1$\emph{\ et }$3)$\newline
La suite $e$ semble croissante mais on ne peut conclure en l'état sur la
convergence (\emph{on démontre qu'elle tend vers }$+\infty $\emph{\ comme }$%
\sqrt{n},$\emph{\ ce qui explique la lenteur de la divergence})\newline
La suite $f$ semble converger (\emph{on démontre qu'elle converge et que la
valeur approchée de sa limite à }$10^{-9}$ \emph{près est 1,693 147 181})%
\newline
Pour la suite $g,$ on ne peut conclure en l'état (\emph{on démontre qu'elle
converge vers }$0$\emph{)}\newline
La suite $h$ semble converger vers $0$ (\emph{on démontre que c'est
effectivement le cas)}\newline
La suite $i$ semble diverger vers $+\infty $ (\emph{on démontre que c'est
effectivement le cas)}\newline
Les suites $j$ et $k$ semblent converger très rapidement vers une limite
commune dont la valeur approchée à $10^{-9}$ près est 2,474 680 436 (\emph{%
on démontre que c'est effectivement le cas, la limite porte le nom de
moyenne arithmético-géométrique de 3 et 2, il s'agit en fait de deux suites
adjacentes})\newline
Les suites $l$ et $m$ semblent converger très rapidement vers une limite
commune dont la valeur approchée à $10^{-9}$ près est 2,449 489 743 (\emph{%
on démontre que c'est effectivement le cas et que la limite est égale à }$%
\sqrt{2\times 3}=\sqrt{6}$\emph{, voir pour cela l'exercice 10 de la feuille
d'exercice 6 de l'année 2004-2005})
\end{correction}
\begin{correction}
\thinspace
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item On utilise le pivot de Gauss%
\begin{eqnarray*}
(S_{1}) &\Leftrightarrow &\left\{
\begin{array}{c}
\fbox{$3x+z-t=2$} \\
12y+4z-t=17 \\
-3y-10z+t=-32 \\
y-2t=14%
\end{array}%
\right. \left\vert
\begin{array}{l}
\text{\emph{Pivot pour }}x \\
L_{2}\leftarrow 3L_{2}+L_{1} \\
L_{3}\leftarrow 3L_{3}-L_{1} \\
\end{array}%
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{c}
3x+z-t=2 \\
\fbox{$12y+4z-t=17$} \\
-36z+3t=-111 \\
-4z-23t=151%
\end{array}%
\right. \left\vert
\begin{array}{l}
\\
\text{\emph{Pivot pour }}y \\
L_{3}\leftarrow 4L_{3}+L_{2} \\
L_{4}\leftarrow 12L_{4}-L_{2}%
\end{array}%
\right. \\
&\Leftrightarrow &\left\{
\begin{array}{c}
3x+z-t=2 \\
12y+4z-t=17 \\
\fbox{$-36z+3t=-111$} \\
-210t=1470%
\end{array}%
\right. \left\vert
\begin{array}{l}
\\
\\
\text{\emph{Pivot pour }}z \\
L_{4}\leftarrow 9L_{4}-L_{2}%
\end{array}%
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
t=-\dfrac{1470}{210}=-7\medskip \\
z=\dfrac{-111-3t}{-36}=\dfrac{5}{2}\medskip \\
y=\dfrac{17-4z+t}{12}=0\medskip \\
x=\dfrac{2-z+t}{3}=-\dfrac{5}{2}\medskip%
\end{array}%
\right.
\end{eqnarray*}%
donc $(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=\left( -\dfrac{5}{2},0,\dfrac{5}{2}%
,-7\right) $ est l'unique solution de $(S)$
\item Dans le système $(S_{1})$, il suffit d'exprimer $x$ en fonction de $z$
et $t$ dans la première équation, $y$ en fonction de $x$ et $z$ dans la
seconde équation, $z$ en fonction de $x$ et $y$ dans la troisième et $t$ en
fonction de $y$ dans la dernière\newline
Voici le code à entrer dans le tableur. Pour les valeurs numériques, voir
soit le fichier Tableur, soit le corrigé dédié.\bigskip \newline
$%
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{C} & \textbf{D} & \textbf{E} \\ \hline
1 & \textbf{n} & \textbf{suite x} & \textbf{suite y} & \textbf{suite z} &
\textbf{suite t} \\ \hline
2 & & & & & \\ \hline
3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
4 & 1 & =(2-D3+E3)/3 & =(5+B3-D3)/4 & =(10+B3-C3)/3 & =(-14+C3)/2 \\ \hline
5 & 2 & =(2-D4+E4)/3 & =(5+B4-D4)/4 & =(10+B4-C4)/3 & =(-14+C4)/2 \\ \hline
& $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ \\ \hline
42 & 39 & =(2-D41+E41)/3 & =(5+B41-D41)/4 & =(10+B41-C41)/3 & =(-14+C41)/2
\\ \hline
\end{tabular}%
$\bigskip \newline
On constate que les suites $x,y,z$ et $t$ semblent converger respectivement
vers -2.5, 0, 2.5, -7 et pour $n$ assez grand, à partir de $n=15,$ $%
(x_{n},y_{n},z_{n},t_{n})$ est une valeur approchée à $10^{-9}$ près de la
solution $(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )$
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item
\begin{eqnarray*}
(S_{2}) &\Leftrightarrow &\left\{
\begin{array}{c}
\fbox{$x+z-t=2$} \\
2y+2z-t=7 \\
-y-2z+t=-12 \\
y-2t=14%
\end{array}%
\right. \left\vert
\begin{array}{l}
\text{\emph{Pivot pour }}x \\
L_{2}\leftarrow L_{2}+L_{1} \\
L_{3}\leftarrow L_{3}-L_{1} \\
\end{array}%
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{c}
x+z-t=2 \\
\fbox{$2y+2z-t=7$} \\
-2z+t=-17 \\
-2z-3t=21%
\end{array}%
\right. \left\vert
\begin{array}{l}
\\
\text{\emph{Pivot pour }}y \\
L_{3}\leftarrow 2L_{3}+L_{2} \\
L_{4}\leftarrow 2L_{4}-L_{2}%
\end{array}%
\right. \\
&\Leftrightarrow &\left\{
\begin{array}{c}
x+z-t=2 \\
2y+2z-t=7 \\
\fbox{$-2z+t=-17$} \\
-4t=38%
\end{array}%
\right. \left\vert
\begin{array}{l}
\\
\\
\text{\emph{Pivot pour }}z \\
L_{4}\leftarrow L_{4}-L_{3}%
\end{array}%
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
t=-\dfrac{38}{4}=-\dfrac{19}{2}\medskip \\
z=\dfrac{-17-t}{-2}=\dfrac{15}{4}\medskip \\
y=\dfrac{7-2z+t}{2}=-5\medskip \\
x=2-z+t=-\dfrac{45}{4}\medskip%
\end{array}%
\right.
\end{eqnarray*}%
donc $(A,B,C,D)=\left( -\dfrac{45}{4},-5,\dfrac{15}{4},-\dfrac{19}{2}\right)
$ est l'unique solution de $(S_{2})$.
\item Dans le système $(S_{1})$, il suffit d'exprimer $x$ en fonction de $z$
et $t$ dans la première équation, $y$ en fonction de $x$ et $z$ dans la
seconde équation, $z$ en fonction de $x$ et $y$ dans la troisième et $t$ en
fonction de $y$ dans la dernière
\item Voici le code à entrer dans le tableur. Pour les valeurs numériques,
voir soit le fichier Tableur, soit le corrigé dédié.\bigskip \newline
$%
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{C} & \textbf{D} & \textbf{E} \\ \hline
1 & \textbf{n} & \textbf{suite a} & \textbf{suite b} & \textbf{suite c} &
\textbf{suite d} \\ \hline
2 & & & & & \\ \hline
3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
4 & 1 & =2-D3+E3 & =(5+B3-D3)/2 & =10+B3-C3 & =(-14+C3)/2 \\ \hline
5 & 2 & =2-D4+E4 & =(5+B4-D4)/2 & =10+B4-C4 & =(-14+C4)/2 \\ \hline
& $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ \\ \hline
103 & 100 & =2-D102+E102 & =(5+B102-D102)/2 & =10+B102-C102 & =(-14+C102)/2
\\ \hline
\end{tabular}%
\bigskip $\newline
Les quatres suites $x,y,z$ et $z$ semblent avoir un comportement erratique
et ne semblent en aucun cas converger respectivement vers $A,B,C$ et $D.$ On
démontre que ce comportement erratique ne s'arrête jamais et que l'on ne
peut avoir ainsi de valeurs approchées de $A,B,C$ et $D$ (du moins par cette
méthode).
\end{enumerate}
\item On constate que ce système est à diagonale strictement dominante car
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{c}
\left\vert 1309\right\vert =1309 \\
\left\vert 167\right\vert +\left\vert -3\right\vert +\left\vert
325\right\vert +\left\vert 2\right\vert +\left\vert -500\right\vert
=167+3+325+2+500=997%
\end{array}%
\right\} \Rightarrow \left\vert 1309\right\vert >\left\vert 167\right\vert
+\left\vert -3\right\vert +\left\vert 325\right\vert +\left\vert
2\right\vert +\left\vert -500\right\vert
\end{equation*}%
etc.\newline
On exprime alors $x$ en fonction de $y,z,t,u,v$ dans la première équation, $%
y $ en fonction de $x,z,t,u,v$ dans la seconde, $z$ en fonction de $y,t,u,v$
dans la troisième, etc, ce qui nous donne%
\begin{equation*}
(S)\Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x=-\dfrac{2001}{1309}-\dfrac{167}{1309}y+\dfrac{3}{1309}z-\dfrac{325}{1309}t-%
\dfrac{2}{1309}u+\dfrac{500}{1309}v\medskip \\
y=-\dfrac{1}{7000}+\dfrac{101}{7000}x+\dfrac{143}{1000}z-\dfrac{1}{140}t+%
\dfrac{219}{1750}u+\dfrac{9}{70}v\medskip \\
z=\dfrac{267}{367}-\dfrac{23}{367}y-\dfrac{1}{367}t+\dfrac{2}{367}u-\dfrac{3%
}{367}v\medskip \\
t=\dfrac{12\,241}{4000}-\dfrac{1}{4000}x-\dfrac{1}{4000}y+\dfrac{3}{40}%
z\medskip \\
u=-\dfrac{876}{67}+\dfrac{12}{67}x-\dfrac{221}{67}y+\dfrac{301}{67}z+\dfrac{%
43}{67}t+\dfrac{900}{67}v\medskip \\
v=\dfrac{1579}{1000}+\dfrac{3}{50}x-\dfrac{7}{100}y-\dfrac{17}{500}z-\dfrac{1%
}{10}t-\dfrac{1}{500}u\medskip%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
On introduit alors les 6 suites $%
(x_{n}),(y_{n}),(z_{n}),(t_{n}),(u_{n}),(v_{n})$ définies par
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{n+1}=-\dfrac{2001}{1309}-\dfrac{167}{1309}y_{n}+\dfrac{3}{1309}z_{n}-%
\dfrac{325}{1309}t_{n}-\dfrac{2}{1309}u_{n}+\dfrac{500}{1309}v_{n}\medskip
\\
y_{n+1}=-\dfrac{1}{7000}+\dfrac{101}{7000}x_{n}+\dfrac{143}{1000}z_{n}-%
\dfrac{1}{140}t_{n}+\dfrac{219}{1750}u_{n}+\dfrac{9}{70}v_{n}\medskip \\
z_{n+1}=\dfrac{267}{367}-\dfrac{23}{367}y_{n}-\dfrac{1}{367}t_{n}+\dfrac{2}{%
367}u_{n}-\dfrac{3}{367}v_{n}\medskip \\
t_{n+1}=\dfrac{12\,241}{4000}-\dfrac{1}{4000}x_{n}-\dfrac{1}{4000}y_{n}+%
\dfrac{3}{40}z_{n}\medskip \\
u_{n+1}=-\dfrac{876}{67}+\dfrac{12}{67}x_{n}-\dfrac{221}{67}y_{n}+\dfrac{301%
}{67}z_{n}+\dfrac{43}{67}t_{n}+\dfrac{900}{67}v_{n}\medskip \\
v_{n+1}=\dfrac{1579}{1000}+\dfrac{3}{50}x_{n}-\dfrac{7}{100}y_{n}-\dfrac{17}{%
500}z_{n}-\dfrac{1}{10}t_{n}-\dfrac{1}{500}u_{n}\medskip%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Les formules pour le tableur étant trop longues pour être placer dans ce
document, je laisse le soin au lecteur de se référer au fichier Tableur
correspondant.\newline
On constate qu'à partir du rang $n=64,$ les neuf décimales des six suites ne
varient plus, ce qui nous incite à pensez que les valeurs approchées de $%
x,y,z,t,u,v$ sont données, à $10^{-9}$ près, par
\begin{eqnarray*}
x &\simeq &x_{64}=-1,981\,705\,198\quad y\simeq y_{64}=0,667\,264\,451\quad
z\simeq z_{64}=0,689\,454\,411 \\
t &\simeq &t_{64}=3,112\,287\,691\quad u\simeq u_{64}=3,851\,094\,535\quad
v\simeq v_{64}=1,071\,016\,768
\end{eqnarray*}%
\emph{On n'oubliera pas qu'il s'agit seulement d'une intuition et }%
\underline{\emph{non d'une preuve}}\emph{. Il faut prouver }\underline{\emph{%
mathématiquement}}\emph{\ que les suites }$%
(x_{n}),(y_{n})_{n},(z_{n})_{n},(t_{n}),(u_{n}),(v_{n})_{n}$\emph{\
convergent bien respectivement vers }$x,y,z,t,u,v$\emph{\ et que l'on doit
avoir des estimations sur la distance entre }$x_{n}$\emph{\ et }$x,$\emph{\ }%
$y_{n}$\emph{\ et }$y,$\emph{\ etc du type }$\left\vert x_{n}-x\right\vert
\leqslant k^{n}M$\emph{\ où }$k<1$\emph{\ et }$M$\emph{\ étant une
constante. Une telle estimation (c'est une information quantitative) permet
de connaitre le rang à partir duquel la valeur numérique }$x_{n}$\emph{\ est
proche de }$x$\emph{\ à }$\varepsilon $\emph{\ près, c'est toute
l'importance de l'inégalité des accroissements finis (information
quantitative) par rapport aux théorèmes de monotonie (information
qualitative). Nous verrons dans un prochain devoir à la maison comment on
obtenir mathématiquement de telles estimations (sur la base du calcul
matriciel) et en déduire, à priori, les valeurs numériques des rangs souhaité%
s.}
\end{enumerate}
\end{correction}
\begin{correction}
\thinspace
\begin{enumerate}
\item \textbf{Existence et unicité de la solution de l'équation} : \newline
On introduit la fonction $f(x)=\ln x-(4-x)=\ln x+x-4$. Il est clair que
cette fonction est continue sur $\mathbb{R}_{+}^{\times }$ et strictement
croissante sur $\mathbb{R}_{+}^{\times }$ (comme somme de fonctions
strictement croissante ou bien la dérivée est strictement positive sur $%
\mathbb{R}_{+}^{\times },$ la fonction étant évidemment $C^{1}$ sur $\mathbb{%
R}_{+}^{\times }$).\ Elle réalise donc une bijection de $\mathbb{R}%
_{+}^{\times }$ sur $f(\mathbb{R}_{+}^{\times })=]-\infty ,+\infty \lbrack $
(puisque $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=-\infty $ et $%
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty ).$ Comme $0\in ]-\infty
,+\infty \lbrack ,$ l'équation $f(x)=0\Leftrightarrow \ln x=4-x$ admet une
et une seule solution (existence et unicité de l'antécédent de $0$ par $f$
sur $\mathbb{R}_{+}^{\times })$\newline
\textbf{Justification de }$2\leqslant \alpha \leqslant 4$ :\newline
On compare les images par $f$ :
\begin{equation*}
f(2)=\ln 2-2\simeq -1.\,31\pm 10^{-2}<0,\quad f(\alpha )=0,\quad f(3)=\ln 4>0
\end{equation*}%
donc $f(2)