\documentclass[a4paper,french]{article}
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\lhead{PHEC1}
\chead{devoir à la maison 2}
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\newtheorem{theorem}{Théorème}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
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\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Prérequis}
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\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiome}
\newtheorem{case}[theorem]{Cas}
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\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
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\newtheorem{definition}[theorem]{Définition}
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\newenvironment{proof}[1][Preuve]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
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\begin{document}
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\begin{exercise}
On dispose de dix Trolls $T_{1},...,T_{10}$ et de quatre grottes $%
G_{1},...,G_{4}.$\newline
De combien de manières différentes peut-on placer les Trolls dans les
quatres grottes ?
\end{exercise}
\begin{exercise}
Sauron, l'illustre disciple de Morgoth, sentant sa fin proche, fit venir ses
trois cavaliers préférés et leur parla : \newline
\textquotedblleft Je possède douze contrées, j'en donne six à au capitaine
et j'en donne trois à chacun des deux autres\textquotedblright . \newline
Combien existe-t-il de testaments possibles ?
\end{exercise}
\begin{exercise}
L'institut de sondage "Morgoth\&Co" a sélectionné un échantillon de 120
Trolls au régime. Dans cet échantillon, on constate que :
\begin{itemize}
\item 24 Trolls mangent le soir de l'orc grillé (au barbecue pour ménager
leur cholestérol)
\item 15 Trolls mangent le soir des hobbits saignants (ils aiment le
moelleux)
\item 6 Trolls mangent le soir des hobbits saignants et de l'orc grillé.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Combien de Troll mangent le soir
\begin{enumerate}
\item de l'orc grillé ou des hobbits saignants ?
\item des hobbits saignants mais pas d'orc grillé ?
\item de l'orc grillé mais pas de hobbits saignants ?
\end{enumerate}
\item L'institut de sondage sélectionne au hasard 4 Trolls parmi les 120 de
l'échantillon. Calculer la probabilité pour que le soir :
\begin{enumerate}
\item aucun des quatre trolls ne mangent des hobbits saignants ou de l'orc
grillé.
\item exactement trois trolls mangent des hobbits saignants mais pas d'orc
grillé.
\item exactement trois trolls mangent des hobbits saignants et un de l'orc
grillé.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Le mage Gandalf dispose de huit parchemins de magie \underline{tous distincts%
}. Il dispose également de onze coffres, chacun pouvant autant de parchemins
que l'on souhaite (0,1,2,...). Il invoque le célèbre sort de magie "Random"
qui distribue au hasard les 8 parchemins dans les onze coffres (par exemple,
le premier coffre contient trois parchemins, le second aucun, le troisième
quatre parchemins, le onzième coffre contient un parchemin et les autres
coffres n'en contiennent aucun).\newline
Calculer la probabilité pour
\begin{enumerate}
\item qu'un coffre contienne les huit parchemins.
\item que deux coffres contiennent quatre parchemins chacun et les neuf
autres aucun.
\item que tous les coffres contiennent au plus un parchemin
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Le nain Gimli et l'elfe Galadriel font partie d'une assemblée de17 nains et
de 12 elfes. Cette assemblée doit choisir six de ses membres pour constituer
un comité. Aucune concertation ne semblant possible pour constituer le comité%
, les 29 membres de l'assemblée décide de choisir au hasard les 6 membres du
comité. On suppose que chaque membre de l'assemblée a autant de chance
d'appartenir au comité que tout autre membre de l'assemblée.\newline
Calculer la probabilité pour que :
\begin{enumerate}
\item Gimli et Galadriel soient membres du comité
\item ni Gimli, ni Galadriel ne soient membres du comité
\item Gimli ou Galadriel soient membres du comité.
\item le comité soit constitué de 3 elfes et de 3 nains
\item le comité contienne au moins 2 elfes.
\item le comité contienne au plus 2 nains
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Les troupes de Sauron ont capturé au cours d'une bataille10 hobbits dont
Pipin et Merry. \newline
Ne possédant pas la télé (Sauron l'ayant interdit, car il craint que ses
troupes deviennent des midinettes en regardant les "Feux de l'Amour"), les
combattants de Sauron décident de faire un jeu (sous l'aimable pression des
Trolls qui sont très joueurs). Ils ont placé les 10 hobbits dans une grosse
marmite et décide de jouer au jeu suivant :
\begin{itemize}
\item un combattant est désigné, en l'occurence le redoutable Balrog, on lui
bande les yeux
\item Ensuite, le Balrog choisit au hasard un hobbit dans la marmite, il le
goute puis il le replace dans la marmite, il choisit à nouveau un hobbit au
hasard dans la marmite, il le goute puis il le repose dans la marmite ("faut
pas gacher")..Il recommence ainsi trois fois de suite (donc il aura choisi
cinq hobbits).
\end{itemize}
\noindent Calculer la probabilité pour que
\begin{enumerate}
\item Pipin et Merry ne soit pas goûter par le Balrog.
\item Pipin soit goûter cinq fois.
\item Pipin ou Merry soit goûter au moins une fois.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\label{fin}
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