\documentclass[a4paper,french]{article}
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\lhead{PHEC 1}
\chead{devoir à la maison n°1}
\rhead{2005-2006}
\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\rfoot{abdellah bechata}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Prérequis}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithme}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiome}
\newtheorem{case}[theorem]{Cas}
\newtheorem{claim}[theorem]{Affirmation}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
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\newtheorem{criterion}[theorem]{Critèrion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Définition}
\newtheorem{example}[theorem]{Exemple}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problème}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Sommaire}
\newenvironment{proof}[1][Preuve]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\begin{exercise}
On considère la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto \dfrac{x}{\ln x}.$
\begin{enumerate}
\item Expliciter le domaine de définition de $f.$
\item Calculer la limite $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x).$ Qu'en dé%
duit-on sur $f$ ?
\item Justifier la dérivabilité de $f$ sur son domaine de définition et
expliciter sa dérivée.
\item Donner le sens de variations de $f$ sur son domaine de définition.
\item Montrer que $f$ réalise une bijection de $]e,+\infty \lbrack $ sur $%
]e,+\infty \lbrack .$
\item Déterminer la nature de l'asymptote en $+\infty $ à la courbe repré%
sentative de la fonction $f.$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R},\quad f(x)=\left\{
\begin{array}{ccl}
\dfrac{x}{e^{x}-1} & \text{si} & x\neq 0\medskip \\
1 & \text{si} & x=0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature des asymptotes de la courbe représentative $%
\mathcal{C}_{f}$ de $f$ en $-\infty $ et en $+\infty .$
\item Justifier que $f$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}^{\times }$%
. Est-elle continue en $0$ ?\newline
On admettra dans la suite que $f$ est dérivable en $0$ et que $f^{\prime
}(0)=-\dfrac{1}{2}.$
\item Expliciter la fonction $g$, définie sur $\mathbb{R}$ et vérifiant%
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}^{\times },\quad f^{\prime }(x)=\dfrac{g(x)}{%
(e^{x}-1)^{2}}.
\end{equation*}
\item Dresser le tableau complet des variations de la fonction $g$ sur $%
\mathbb{R}$ (limites et extrémas inclus).
\item Démontrer que la fonction $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$
sur $\mathbb{R}_{+}^{\times }.$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Représentez graphiquement les fonctions suivantes (sur des graphiques
distincts) puis étudier la continuité de chacune de ces fonctions.%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ll}
$e:x\mapsto \left\{
\begin{tabular}{cll}
$0$ & si & $x<-1\medskip $ \\
$x+1$ & si & $-1\leqslant x\leqslant 2\medskip $ \\
$3$ & si & $x>2$%
\end{tabular}%
\right. $ & $f:x\mapsto \left\{
\begin{tabular}{cll}
$x^{2}$ & si & $x\leqslant 0\medskip $ \\
$x\ln x$ & si & $0\dfrac{1}{4}\quad y>\dfrac{1}{4}\quad x+y<\dfrac{3}{4}
\end{equation*}%
Soit $f$ la fonction définie sur $T$ par : $f(x,y)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-%
\dfrac{2}{x+y}$
\begin{enumerate}
\item Représenter sur un même graphique $T$ et $T^{\prime }$.
\item On admet que $T^{\prime }$ est un ouvert de $\mathbb{R}^{2}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les dérivées partielles d'ordre $1$ sur $T^{\prime }$ de la
fonction $f$.
\item Montrer que $f$ n'admet pas d'extremum local (et donc a fortiori
absolu) sur $T^{\prime }$.
\end{enumerate}
\item Démontrer, par de simples considérations sur des inégalités, que l'on
a pour tout couple $(x,y)$ de $T$:
\begin{equation*}
2\leqslant f(x,y)\leqslant \dfrac{16}{3}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\label{fin}
\end{document}