<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">
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\newtheorem{theorem}{Théorème}
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\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problème}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
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\begin{document}


\noindent {\LARGE PHEC1\hfill feuille d'exercices 11\hfill 2002-2003}

\noindent \hrulefill {\LARGE \bigskip }

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion

\begin{exercise}[http://abdellah.bechata.free.fr]
Une urne contient $32$ boules num\'{e}rot\'{e}s de $1$ \`{a} $8$ (chaque num%
\'{e}ro apparaissant $4$ fois, par exemple $4$ boules portent le n$%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
1,$ etc). On tire au hasard, sans remise, un \'{e}chantillon de $5$ boules.
Quelle est la probabilt\'{e} d'obtenir :

\begin{enumerate}
\item quatre boules portant le m\^{e}me num\'{e}ro et une boule portant un
autre num\'{e}ro?

\item trois boules portant le m\^{e}me n$%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$ et deux boules portant le m\^{e}me num\'{e}ro (distinct du premier)?

\item trois boules portant le m\^{e}me n$%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$ et deux boules portant deux num\'{e}ros diff\'{e}rents (et diff\'{e}rent
du premier)?

\item deux boules portent le m\^{e}me num\'{e}ro, deux autres boules portent
le m\^{e}me num\'{e}ro (bien entendu distinct du premier) et la derni\`{e}re
boule porte encore un autre num\'{e}ro?

\item deux boules portent le m\^{e}me num\'{e}ro et les trois autres portant
des num\'{e}ros diff\'{e}rents (et diff\'{e}rents du premier)?

\item cinq boules portant des num\'{e}ros diff\'{e}rents?
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
On dispose d'une urne contenant $20$ boules dont $8$ noires, $7$ rouges et $%
5 $ blanches. On pioche au hasard et avec remise, cinq boules. Calculer la
probabilit\'{e}

\begin{enumerate}
\item de piocher que des boules d'une m\^{e}me couleur.

\item de piocher deux boules d'une couleur et trois boules d'une autre
couleur.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
On r\'{e}alise une suite de lancers d'une pi\`{e}ce \'{e}quilibr\'{e}e,
chaque lancer amenant donc pile ou face.\newline
On note $P_{k}$ (resp. $F_{k}$ ) l'\'{e}v\`{e}nement : \textquotedblleft on
obtient pile (resp. face) au $k^{\grave{e}me}$ lancer\textquotedblright .%
\newline
Par exemple $P_{2}$ est l'\'{e}v\`{e}nement \textquotedblleft on obtient
pile au $2^{\grave{e}me}$ lancer\textquotedblright .

\begin{enumerate}
\item Exprimer \`{a} l'aide des ensembles $P_{k}$ et $F_{k}$ les \'{e}v\`{e}%
nements :

\begin{enumerate}
\item "on obtient pile pour la premi\`{e}re fois au deuxi\`{e}me lancer"

\item "on obtient pile pour la premi\`{e}re fois au troisi\`{e}me lancer"

\item "on obtient pile pour la premi\`{e}re fois au quatri\`{e}me lancer"

\item "on obtient pile pour la premi\`{e}re fois au $k^{\grave{e}me}$ lancer"
\end{enumerate}

\item On effectue $5$ lancers. Exprimer \`{a} l'aide des ensembles $P_{k}$
et $F_{k}$ les \'{e}v\`{e}nements : \newline
$(a)$ "on obtient $2$ piles"\quad $(b)$ "on obtient $3$ piles"\newline
$(c)$ "face n'est jamais suivi de face"
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
On lance $n$ fois cons\'{e}cutives une pi\`{e}ce. La probabilt\'{e}
d'obtenir \textquotedblleft face\textquotedblright\ est $p$ ($\in ]0;1[).$%
\newline
Calculer la probabilit\'{e} qu'au cours des $n$ lancers \textquotedblleft
face\textquotedblright\ ne soit jamais suivi de \textquotedblleft
face\textquotedblright\ lorsque a) $n=3$ $\quad $b) $n=5$\quad c) $n\in 
\mathbb{N}^{\times }.$
\end{exercise}

\begin{exercise}
On lance $n$ fois cons\'{e}cutives une pi\`{e}ce. La probabilt\'{e}
d'obtenir \textquotedblleft face\textquotedblright\ est $p$ ($\in ]0;1[).$%
\newline
On d\'{e}signe par $p_{n,k}$ la la probabilit\'{e} d'obtenir $k$ "face" au
cours des $n$ lancers (bien entendu $0\leqslant k\leqslant n).$

\begin{enumerate}
\item Calculer $p_{n,k}$ lorsque : \newline
$(a)$ $n=4$ et $k\in \{0,..,4\}\quad (b)$ $n=5$ et $k=1\quad (c)$ $n=5$ et $%
k=3.$

\item Calculer $p_{n,k}$ lorsque $n$ est quelconque et \newline
$(a)$ $k=0\quad (b)$ $k=1\quad (d)$ $k=2$ $(d)$ $k$ est quelconque $%
(0\leqslant k\leqslant n)$.

\item V\'{e}rifier que $\sum\limits_{k=0}^{n}p_{n,k}=1.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Un archer tire sur une cible situ\'{e}e \`{a} $20$ m et une cible situ\'{e}e 
\`{a} $50$ m. Il effectue trois tirs en changeant de cible \`{a} chaque
fois. La probabilit\'{e} d'atteindre la cible \`{a} $20$ m (resp. $50$ m)
est $p$ (resp. $q)$ avec $q&lt;p.$ On suppose que les tirs ind\'{e}pendants. Il
gagne le jeu s'il atteint deux cibles cons\'{e}cutivement.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilit\'{e} de gagner en commencer par la cible situ%
\'{e}e \`{a} $20$ m (resp. situ\'{e}e \`{a} $50$ m$).$

\item Par quelle cible a-t-il int\'{e}r\^{e}t \`{a} commencer ?
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
On consid\`{e}re une suite de lancers ind\'{e}pendants d'une pi\`{e}ce pour
laquelle la probabilit\'{e} d'obtenir "pile" est $p$ et d'obtenir "face" est 
$q=1-p$ ($p\in ]0;1[).$ "pile" (resp. "face") sera not\'{e} $P$ (resp. $F).$
Soit $A_{n}$ l'\'{e}v\`{e}nement "la s\'{e}quence $PF$ apparait pour la premi%
\`{e}re fois aux lancers $(n-1)$ et $n".$ \newline
Calculer $P(A_{n})$ lorsque $(a)$ $n=3\quad (b)$ $n=4\quad (c)$ $n=5\quad
(d) $ $n$ quelconque.
\end{exercise}

\begin{exercise}
On lance un d\'{e} \`{a} quatre faces (num\'{e}rot\'{e}es de $1$ \`{a} $4$) $%
n$ fois de suite. \newline
On note $p_{n}$ la probabilit\'{e} que les quatres chiffres $(1,2,3,4)$
apparaissent au moins une fois lors des $n$ lancers.

\begin{enumerate}
\item Calculer $p_{n}$ lorsque $n=4$ puis $n=5.$

\item Pour tout nombre entier $i$ $\in \left\{ 1;...;4\right\} ,$ on pose 
\newline
$A_{i}=\left\{ \text{le num\'{e}ro }i\text{ n'apparait pas durant les }n%
\text{ tirages}\right\} .$\newline
Calculer $P(A_{1}\bigcup A_{2}\bigcup A_{3}\bigcup A_{4}).$\newline
En d\'{e}duire que $p_{n}=\sum\limits_{k=0}^{4}(-1)^{k}C_{4}^{k}(\dfrac{k}{4}%
)^{n}.$\newline
Calculer $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }p_{n}.$ Interpr\'{e}ter ce r%
\'{e}sultat.
\end{enumerate}
\end{exercise}

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
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\end{multicols}%
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\end{document}
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