<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">
\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
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\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problème}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
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\begin{document}


\noindent {\LARGE PHEC1\hfill feuille d'exercices 22\hfill 2002-2003}

\noindent \hrulefill {\small 
%TCIMACRO{\qhyperref{www.mathematiques.ht.st}{}{}{www.mathematiques.ht.st}}%
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\hyperref{www.mathematiques.ht.st}{}{}{www.mathematiques.ht.st}%
%EndExpansion
}{\LARGE \hrulefill \bigskip }

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%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion

\begin{exercise}
Déterminer parmi les matrices suivantes, les matrices inversibles et le cas é%
chéant déterminer son inverse

$A=\left( 
\begin{array}{lll}
-1 &amp; 0 &amp; 2 \\ 
0 &amp; 0 &amp; 1 \\ 
0 &amp; -1 &amp; 1%
\end{array}%
\right) $ $B=\left( 
\begin{array}{lll}
1 &amp; -1 &amp; 0 \\ 
1 &amp; 2 &amp; 1 \\ 
1 &amp; 1 &amp; 0%
\end{array}%
\right) $ $C={{%
\begin{pmatrix}
{3} &amp; {-2} &amp; {0} \\ 
{1} &amp; {0} &amp; {0} \\ 
{0} &amp; {1} &amp; {0}%
\end{pmatrix}%
}}$

$D={{%
\begin{pmatrix}
{4} &amp; {2} &amp; {1} \\ 
{-1} &amp; {1} &amp; {-1} \\ 
{-2} &amp; {-2} &amp; {1}%
\end{pmatrix}%
}}$ $E={{%
\begin{pmatrix}
{1} &amp; {-1} &amp; {2} &amp; {-2} \\ 
{0} &amp; {0} &amp; {1} &amp; {-1} \\ 
{1} &amp; {-1} &amp; {1} &amp; {0} \\ 
{1} &amp; {-1} &amp; {1} &amp; {0}%
\end{pmatrix}%
}}$ $F=%
\begin{pmatrix}
1 &amp; {1} &amp; {1} &amp; {0} \\ 
{-1} &amp; {1} &amp; {0} &amp; {1} \\ 
{-1} &amp; {0} &amp; {1} &amp; {1} \\ 
{0} &amp; {-1} &amp; {-1} &amp; {1}%
\end{pmatrix}%
$
\end{exercise}

\begin{exercise}
On considère la matrice $A={{%
\begin{pmatrix}
{3} &amp; {-2} &amp; {0} \\ 
{1} &amp; {0} &amp; {0} \\ 
{0} &amp; {1} &amp; {0}%
\end{pmatrix}%
}}$

\begin{enumerate}
\item Calculer $A^{3}-3A^{2}+2A$

\item Montrer, sans calcul, que si $A$ est inversible alors $A^{2}-3A+2Id=0$

\item Par un calcul direct, évaluer $A^{2}-3A+2Id.$ Conclusion
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $a\in \mathbb{R}^{\times }$. On considère le système $(S):\left\{ 
\begin{array}{ccc}
ay+a^{2}z\medskip &amp; = &amp; a^{2} \\ 
\dfrac{1}{a}x+az\medskip &amp; = &amp; a \\ 
\dfrac{1}{a^{2}}x+\dfrac{1}{a}y &amp; = &amp; 1%
\end{array}%
\right. $

\begin{enumerate}
\item Déterminer trois matrices $A,X,B$ telles que

\begin{itemize}
\item $A\in \mathfrak{M}_{3}(\mathbb{R}),\quad X\in \mathfrak{M}_{3,1}(%
\mathbb{R})$ et $B\in \mathfrak{M}_{3,1}(\mathbb{R})$

\item le système $(S)$ est équivalent à l'équation matricielle $AX=B$
\end{itemize}

\item Montrer que $A^{2}-A-2I=0$.

\item En déduire que la matrice $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.

\item Résoudre le système $(S)$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
A l'aide d'un système convenable, montrer que la matrice $A=%
\begin{pmatrix}
{1} &amp; {1} &amp; {-1} \\ 
{-1} &amp; {1} &amp; {1} \\ 
{-1} &amp; {1} &amp; {-1}%
\end{pmatrix}%
$ est inversible et calculer son inverse
\end{exercise}

\begin{exercise}
On considère la matrice $J=%
\begin{pmatrix}
0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; -1 \\ 
-2 &amp; 1 &amp; 2 &amp; -1 \\ 
2 &amp; -1 &amp; -1 &amp; 0 \\ 
3 &amp; -2 &amp; -2 &amp; 0%
\end{pmatrix}%
$

\begin{enumerate}
\item Calculer $J^{2},J^{3}$ et $J^{4}.$ Que peut-on en déduire de $J^{k}$
pour $k\geqslant 4$ ?

\item Développer algébriquement l'expression $(I+J)(I-J+J^{2}-J^{3}).$

\item La matrice $(I+J)$ est-elle inversible ? Si oui, expliciter cet
inverse.

\item Déterminer les solutions du système $\left\{ 
\begin{array}{ccc}
a+c-d &amp; = &amp; 2 \\ 
-2a+2b+2c-d &amp; = &amp; 0 \\ 
2a-b &amp; = &amp; 0 \\ 
3a-2b-2c+d &amp; = &amp; 3%
\end{array}%
\right. $
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit la matrice $A=%
\begin{pmatrix}
-2 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\ 
0 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 0 \\ 
0 &amp; -1 &amp; -2 &amp; 0 \\ 
1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; -2%
\end{pmatrix}%
$

\begin{enumerate}
\item Pour quelle valeur du réel $\lambda $ la matrice $A-\lambda I_{4}$ est
inversible ?

\item Déterminer toutes les matrices $X\in \mathfrak{M}_{4,1}(\mathbb{R})$
telles que $AX=\lambda X$ lorsque $\lambda =-1$ puis $\lambda =-3$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $A$ la matrice ${{%
\begin{pmatrix}
{4} &amp; {2} &amp; {1} \\ 
{-1} &amp; {1} &amp; {-1} \\ 
{-2} &amp; {-2} &amp; {1}%
\end{pmatrix}%
}}$

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $S$ des nombres réels $\lambda $ tels que la
matrice $A-\lambda I_{3}$ ne soit pas inversible

\item Pour chaque $\lambda \in S,$ déterminer toutes les matrices $X\in 
\mathfrak{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ telles que $AX=\lambda X$

\item Soit $P$ la matrice $%
\begin{pmatrix}
-1 &amp; -1 &amp; -1 \\ 
1 &amp; 1 &amp; 0 \\ 
1 &amp; 0 &amp; 1%
\end{pmatrix}%
.$ \newline
Montrer que $P^{3}-P^{2}+P-Id=0$. \newline
En déduire $P$ est inversible et expliciter $P^{-1}$

\item Calculer $D=P^{-1}AP$ puis $D^{n}.$

\item Montrer que $\forall n\in \mathbb{N},\quad A^{n}=PD^{n}P^{-1}.$ En dé%
duire l'expression de $A^{n}.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
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\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{document}
</pre></body></html>