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\begin{document}


\noindent {\LARGE PHEC1\hfill feuille d'exercices 26\hfill 2003-2004}

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\begin{exercise}
Soit $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+x+1}$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ réalise une bijection de $]-1,1[$ sur un intervalle $J$
à expliciter. On note $g$ sa réciproque.

\item Donner le domaine de définition de $g$ ainsi que ses variations.

\item La fonction $g$ est-elle dérivable en $0$ ? en $-1$ ? Si oui, calculer
les dérivées correspondantes.

\item Déterminer l'intervalle de dérivabilité de $f.$

\item Déterminer les points d'inflexions de $f$ et déterminer la convexité
de $f.$

\item Tracer dans un même repère $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $f(x)=x^{2}-6x+8.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ réalise une bijection de l'intervalle $[3,+\infty
\lbrack $ sur un intervalle $G$ à expliciter. On note $g$ sa réciproque.

\item Quel est le domaine de définition de $g$ ? En quels points $g$
est-elle dérivable ? Calculer $g^{\prime }(0),$ $g^{\prime }(3)$ et $%
g^{\prime }(8).$

\item Montrer que $f$ réalise une bijection de $]-\infty ,3]$ sur un
intervalle $H$ à expliciter. On note $h$ sa réciproque.

\item Quel est le domaine de définition de $h$ ? En quels points $h$
est-elle dérivable ? Calculer $h^{\prime }(0),$ $h^{\prime }(3)$ et $%
h^{\prime }(8).$

\item Représenter dans un même repère orthonormé $\mathcal{C}_{f},\mathcal{C}%
_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $f(x)=-x^{2}+3x-\ln x$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ réalise une bijection de $[\dfrac{1}{2},1]$ sur un
intervalle $J$ à expliciter.

\item Quel est le sens de variations de $f^{-1}$ ? 

\item La fonction $f^{-1}$ est-elle dérivable sur $J$ tout entier ?

\item Etudier la convexité de $f$ sur $[\dfrac{1}{2},1].$ Déterminer les
points d'inflexions ainsi que les tangentes de $\mathcal{C}_{f}$ en ces
point.

\item Représenter dans un même repère orthonormé $\mathcal{C}_{f}$ et $%
\mathcal{C}_{f^{-1}}.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
On considère la foncion définie sur l'intervalle $]-1;1[$ par $f(x)=\dfrac{%
x^{3}}{1-x^{2}}$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ possède une réciproque $f^{-1}$ et donner $\mathcal{D}%
_{f^{-1}}.$

\item Etudier la dérivabilité de $f^{-1}$ sur son domaine de définition.

\item Quelle est l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point
d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ ?

\item Quelle est l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ au point
d'abscisse $\dfrac{1}{6}$ ? 

\item Tracer $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$. 
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)={\dfrac{{e^{x}-1}}{%
{e^{x}+1}}}$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$, expliciter $%
f^{\prime }$.

\item Dresser le tableau de variations de $f$ (limites incluses).

\item Sur quels intervalles la fonction $f$ est-elle convexe ? concave ? Dé%
terminer les points d'inflexion de $f.$

\item Tracer dans un repère orthormée $\mathcal{C}_{f}.$

\item Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur un
intervalle à expliciter.

\item En quel point sa réciproque est-elle dérivable ?

\item Calculer $(f^{-1})^{\prime }(0),$ $(f^{-1})^{\prime }(\dfrac{1}{2})$
et $(f^{-1})^{\prime }(-\dfrac{1}{4}).$

\item Déterminer $(f^{-1})^{\prime }(x)$ lorsque $f^{-1}$ est dérivable en $%
x.$

\item Soit $y\in f(\mathbb{R}).$ Déterminer son antécédent par $f.$ En dé%
duire $f^{-1}$.

\item Retrouver directement les résultats des questions $3$ et $4.$

\item Tracer dans le même repère que la question $4$ $\mathcal{C}_{f^{-1}}$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $f$ la fonction définie $\forall x\in ]0,+\infty \lbrack ,\quad
f(x)=x\ln x.$

\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $f.$ La fonction $f$ est-elle convexe ?

\item En déduire que $f$ réalise une bijection de $]0,+\infty \lbrack $ sur
un intervalle $J$ que l'on explicitera.

\item En quel point $f^{-1}$ est-elle dérivable ?

\item Calculer $(f^{-1})^{\prime }(0).$ Calculer $f(e)$ et $f(\dfrac{1}{e}).$
En déduire $(f^{-1})^{\prime }(e)$ et $(f^{-1})^{\prime }(-\dfrac{1}{e}).$

\item Tracer dans un même repère orthonormé $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}%
_{f^{-1}}.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

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\end{document}
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