<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">
\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[a4paper,landscape]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{theorem}
\usepackage{multicol}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{fancyhdr}

\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{&lt;META NAME="SaveForMode" CONTENT="1"&gt;}
%TCIDATA{Created=Monday, November 08, 2004 17:27:43}
%TCIDATA{LastRevised=Tuesday, November 16, 2004 08:44:01}
%TCIDATA{&lt;META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32"&gt;}
%TCIDATA{&lt;META NAME="DocumentShell" CONTENT="abdellah\bech_exercice_paysage"&gt;}

\geometry{margin={1cm,2cm}}
 \pagestyle{fancy}
\lhead{PHEC1}
\chead{Feuille d'exercice 7}
\rhead{2004-2005}
\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
\cfoot{theme : suites et fonctions de plusieurs variables}
\rfoot{abdellah bechata}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problème}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\input{tcilatex}

\begin{document}


%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion

\begin{exercise}
Montrer que les suites suivantes sont adjacentes

\begin{enumerate}
\item $S_{n}=\left( \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^{3}}\right) \quad $et$%
\quad T_{n}=S_{n}+\dfrac{1}{2n^{2}}$

\item $S_{n}=\left( \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^{4}}\right) \quad $et$%
\quad T_{n}=S_{n}+\dfrac{1}{3n^{3}}$

\item $S_{n}=\left( \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}\right) -\ln n\quad $et$%
\quad T_{n}=\left( \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}\right) -\ln (n+1).$%
\newline
\emph{On commencera par montrer que }$\forall x\geqslant 1,\quad \dfrac{1}{%
x+1}\leqslant \ln (1+\dfrac{1}{x})\leqslant \dfrac{1}{x}$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
On pose $f(x,y)=x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}.$\newline
Déterminer les dérivées partielles suivantes : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{llllll}
$\dfrac{\partial f}{\partial x}$ &amp; $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ &amp; $%
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}$ &amp; $\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial
y^{2}}$ &amp; $\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}$ &amp; $\dfrac{\partial
^{2}f}{\partial y\partial x}$ \\ 
$\dfrac{\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}$ &amp; $\dfrac{\partial ^{3}f}{\partial
y^{3}}$ &amp; $\dfrac{\partial ^{3}f}{\partial x^{2}\partial y}$ &amp; $\dfrac{%
\partial ^{3}f}{\partial y^{2}\partial x}$ &amp; $\dfrac{\partial ^{3}f}{%
\partial x\partial y\partial x}$ &amp; $\dfrac{\partial ^{3}f}{\partial
y\partial x\partial y}$%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}
On considère la fonction alculer les dérivées partielles suivantes de la
fonction $f(x,y)=\ln (x^{2}+y^{2})$\newline
Calculer les dérivées partielles suivantes : 
\begin{equation*}
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y),\quad \dfrac{\partial f}{\partial y}%
(x,y),\quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y),\quad \dfrac{%
\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y),\quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial
x\partial y}(x,y),\quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y).
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Calculer les dérivées partielles du premier ordre et du second ordre des
fonctions suivantes%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ll}
$a:(x,y)\mapsto (x^{2}+y^{2})e^{-xy}$ &amp; $b:(x,y)\mapsto (x^{2}-y)(3x^{2}-y)$
\\ 
$c:(x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}+(3-x-y)^{2}$ &amp; $d:(x,y)\mapsto y^{3}-3x^{2}y$%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Calculer les dérivées partielles d'ordre $2$ des fonctions, définies sur
l'ensemble ${\{}(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\quad /\quad y&gt;0{\},}$

$\hfill 
\begin{tabular}{ll}
$e:(x,y)\mapsto x(\ln y)^{2}+y^{2}$ &amp; $f:(x,y)\mapsto (\ln y)^{2}+2\ln
y+x^{2}$ \\ 
$g:(x,y)\mapsto \dfrac{x-y}{x^{2}+y}$ &amp; $h:(x,y)\mapsto \ln (1+\dfrac{y}{%
1+x^{2}})$%
\end{tabular}%
\hfill $
\end{exercise}

\begin{exercise}
On considère la fonction $f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.$

\begin{enumerate}
\item Déterminer les points critiques de $f.$

\item Les points critiques obtenus précédemment sont-ils des extremas locaux
?
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
On introduit la fonction $f(x,y)=4x^{2}+y^{2}-4yx+4x-2y-8$

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points critiques de $f$ forment une droite toute entiè%
re dont on donnera l'équation ainsi que la représentation graphique.

\item La fonction $f$ possède-t-elle des extrémas locaux ?
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Déterminer, lorsqu'ils existent, les extrémas locaux des fonctions suivantes
:%
\begin{eqnarray*}
a(x,y) &amp;=&amp;x[(\ln x)^{2}+y^{2}]\quad (x&gt;0)\quad b(x,y)=x^{2}y+\ln (1+y^{2}) \\
c(x,y) &amp;=&amp;3xy-x^{3}-y^{3}\quad d(x,y)=x^{3}+3xy^{2}-15x-12y \\
e(x,y) &amp;=&amp;x^{2}-x+xy^{2}-xy\quad f(x,y)=\dfrac{1}{3}%
y^{3}-y^{2}+x^{2}y+x^{3}-3x^{2}-\dfrac{4}{3}
\end{eqnarray*}
\end{exercise}

\textbf{La blague du matheux : }\newline
Une fonction constante et $e^{x}$ marchent tranquillement dans la rue.
Soudain la fonction constante aperçoit une dérivée qui approche et se sauve
en courant....\newline
$e^{x}$ la rattrape et lui demande ce qui lui prend\newline
La constante : " Tu ne te rends pas compte ! Si la dérivée me rencontre, il
me dérivera et il ne restera rien de moi... !"\newline
"Ah ! Ah!", dit $e^{x}$, "il ne m'inquiète pas, MOI, je suis e puissance x
!", et il poursuit sa route.\newline
Evidemment, au bout de quelques mètres, il rencontre la dérivée.\newline
$e^{x}$ : " Salut, je suis $e^{x}$ !"\newline
La dérivée : " Salut, moi je suis $\dfrac{\partial }{\partial y}$..."

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{document}
</pre></body></html>