%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\noindent {\Large \textbf{ECRI%
%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\colorbox[gray]{0.95}{COME}}}%
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\colorbox[gray]{0.95}{COME}%
%EndExpansion
}}\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{Banque d'épreuves communes}
\noindent aux concours des Ecoles
\noindent esc%
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\vspace{1cm}
\begin{center}
{\large CONCOURS D'ADMISSION }\vspace{0.5cm}
\textbf{option economique} \vspace{0.5cm}
{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES I }}\vspace{0.5cm}
\textbf{Année 1997\bigskip }
\end{center}
\noindent \textbf{Aucun instrument de calcul n'est autorisé.}
\noindent \textbf{Aucun document n'est autorisé.\bigskip }
\noindent L'énoncé comporte \pageref{fin} pages\bigskip
\begin{quotation}
\noindent Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur
copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les
notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brè%
ves) de leurs affirmations.\bigskip
\end{quotation}
\vspace{13cm}
\hfill \textbf{Tournez la page}
\hfill \textbf{S.V.P\qquad }
\newpage
\section*{Exercice1}
$\alpha $ est un réel strictement positif. Pour tout $n\in \mathbb{N}$ on
pose :
\begin{equation*}
u_{n}\left( \alpha \right) =\dfrac{n!}{\prod\limits_{k=0}^{n}\left( \alpha
+k\right) }
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Etude de la convergence de la suite $\left( u_{n}\left( \alpha \right)
\right) _{n\in \mathbb{N}}$
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left( u_{n}\left( \alpha \right) \right) _{n\in
\mathbb{N}}$ est monotone et convergente. Que peut-on déduire pour la série
de terme général $\left( u_{n}\left( \alpha \right) -u_{n+1}\left( \alpha
\right) \right) $ ?
On note $\ell \left( \alpha \right) $ la limite de la suite $\left(
u_{n}\left( \alpha \right) \right) _{n\in \mathbb{N}}$
\item On suppose que $\ell \left( \alpha \right) $ est non nulle. Démontrer
que :
\begin{equation*}
u_{n}\left( \alpha \right) -u_{n+1}\left( \alpha \right) \underset{%
n\rightarrow +\infty }{\thicksim }\dfrac{\alpha \ell \left( \alpha \right) }{%
n}
\end{equation*}
\item Déduire de ce qui précède que $\ell \left( \alpha \right) =0$
\end{enumerate}
\item Dans cette question : $\alpha \in ]0,1]$
\begin{enumerate}
\item Montrer que :
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N\;\;}u_{n}\left( \alpha \right) \geqslant \dfrac{1}{%
n+\alpha }
\end{equation*}
\item Quelle est la nature de la série de terme général $u_{n}\left( \alpha
\right) $ ?
\end{enumerate}
\item On pose pour tout entier naturel $n$ :
\begin{equation*}
I_{n}\left( \alpha \right) =\int\limits_{0}^{+\infty }e^{-\alpha t}\left(
1-e^{-t}\right) ^{n}dt
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Etudier la convergence de l'intégrale généralisée $I_{n}\left( \alpha
\right) $ et calculer $I_{0}\left( \alpha \right) $
\item Soit un réel $x$ strictement positif. Intégrer par parties :
\begin{equation*}
\int\limits_{0}^{x}e^{-\alpha t}\left( 1-e^{-t}\right) ^{n}dt
\end{equation*}%
et en déduire une relation simple entre $I_{n}\left( \alpha \right) $ et $%
I_{n-1}\left( \alpha +1\right) $, pour tout $n$ entier naturel non nul.
\item En déduire : $\forall n\in \mathbb{N\;\;}I_{n}\left( \alpha \right)
=u_{n}$
\end{enumerate}
\item On suppose désormais que $\alpha >1$
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $N$ entier naturel :
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{N}I_{n}\left( \alpha \right) =\dfrac{1}{\alpha -1}-I_{N+1}\left(
\alpha -1\right)
\end{equation*}
\item En déduire que la série de terme général $u_{n}\left( \alpha \right) $
est convergente, et donner en fonction de $\alpha $ la valeur de $%
\sum\limits_{n=0}^{+\infty }u_{n}\left( \alpha \right) $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 2}
$\mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $ désigne l'ensemble des matrices
carrées d'ordre 3 à coefficients réels.\newline
$\mathfrak{M}_{3,1}\left( \mathbb{R}\right) $ est l'ensemble des matrices
colonnes à trois lignes dont les coefficients sont réels.\newline
On pose :
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{lll}
1 & 0 & 2 \\
\dfrac{3}{2} & -2 & 6 \\
\dfrac{1}{2} & -1 & \dfrac{5}{2}%
\end{array}%
\right) \;\text{et }B=\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
où $x,\;y$ et $z$ sont des nombres réels.\newline
On définit alors une suite de matrices colonnes $\left( X_{n}\right) _{n\in
\mathbb{N}}$ de la manière suivante :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
X_{0}\in \mathfrak{M}_{3,1}\left( \mathbb{R}\right) \\
\forall n\in \mathbb{N\;X}_{n+1}=AX_{n}+B%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que 0 , $\dfrac{1}{2}$ et $1$ sont les valeurs propres de A,
et préciser des vecteurs propres $u,\;v$ et $w$ qui leur sont respectivement
associés.
\item Justifier les affirmations suivantes :
\begin{itemize}
\item il existe un unique triplet $\left( \alpha ,\beta ,\gamma \right) $ de
$\mathbb{R}^{3}$ tel que :
\begin{equation*}
B=\alpha u+\beta v+\gamma w
\end{equation*}
\item Pour tout entier naturel $n,$ il existe un unique triplet $\left(
\alpha _{n},\beta _{n},\gamma _{n}\right) $ de $\mathbb{R}^{3}$ tel que :
\begin{equation*}
X_{n}=\alpha _{n}u+\beta _{n}v+\gamma _{n}w
\end{equation*}
\end{itemize}
\item Etablir par récurrence que
\begin{equation*}
n\in \mathbb{N}^{\ast }\;\;\left\{
\begin{array}{l}
\alpha _{n}=\alpha \\
\beta _{n}=\left( \dfrac{1}{2}\right) ^{n}\left( \beta _{0}-2\beta \right)
+2\beta \\
\gamma _{n}=\gamma _{0}+n\gamma%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\item Soit $\left( a_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}},\;\left( b_{n}\right)
_{n\in \mathbb{N}}$ et $\left( c_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ les suites ré%
elles telles que :
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N\;}X_{n}=\left(
\begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n} \\
c_{n}%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
On dit que la suite de matrices colonnes $\left( X_{n}\right) _{n\in \mathbb{%
N}}$ converge si les suites réelles $\left( a_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}%
},\;\left( b_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ et $\left( c_{n}\right) _{n\in
\mathbb{N}}$ convergent. Dans ce cas on écrit :
\begin{equation*}
\lim X_{n}=\left(
\begin{array}{c}
\lim a_{n} \\
\lim b_{n} \\
\lim c_{n}%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Prouver que $\left( X_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ converge si et
seulement si le réel $\gamma $ (introduit en 2.) est nul.
\item En déduire que $\left( X_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ converge si et
seulement si :
\begin{equation*}
3x-4y+12z=0
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item On dit que le couple $(A,B)$ admet une position d'équilibre stable si
la suite $\left( X_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ converge vers la même
limite quelle que soit la valeur de $X_{0}$.
\end{enumerate}
Expliquer pourquoi, quelle que soit la valeur de $B$, le couple $\left(
A,B\right) $ n'admet pas de position d'équilibre stable.
\section*{Exercice 3}
Dans tout le problème (qui comporte deux parties indépendantes), on suppose
que la durée, exprimée en minutes, d'une communication téléphonique est une
variable aléatoire réelle $D$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $%
\alpha $
\subsection*{I Comparaison de deux tarifications}
Pour ses communications, on propose à l'utilisateur d'une ligne téléphonique
deux tarifications $T_{1}$ et $T_{2}$, exprimées en francs, définies de la fa%
çon suivante :
\begin{itemize}
\item $T_{1}=aD$, où $a$ est un nombre réel strictement supérieur à 1 qui
représente le prix d'une minute de communication
\item $T_{2}$ est à valeurs dans $\mathbb{N}^{\ast }$ et, pour tout $n$
entier naturel non nul : $\{T_{2}=n\}=\{n-1t\right) $ en fonction de $t$ et de $\alpha $.
\item En déduire, pour $k$ élément de $\left[ \left[ 1,n\right] \right] $ la
probabilité conditionnelle de $\left\{ D+I_{n}>\theta \right\} $ sachant $%
\left\{ I_{n}=\dfrac{k\theta }{n}\right\} .$
\item Démontrer l'égalité suivante :
\begin{equation*}
p\left( D+I_{n}>\theta \right) =\dfrac{1}{n}\left( \dfrac{1-e^{-\alpha
\theta }}{1-e^{-\dfrac{\alpha \theta }{n}}}\right)
\end{equation*}
\item Déterminer :
\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }p\left( D+I_{n}>\theta \right)
\end{equation*}
\end{enumerate}
\subsubsection*{II. B) Étude de l'encombrement du standard à l'instant $%
\protect\theta $}
Dans cette partie on définit les nombres réels $p$ et $q$ par :
\begin{equation*}
p=\dfrac{1-e^{-\alpha \theta }}{\alpha \theta }\text{ et }q=1-p
\end{equation*}%
On suppose désormais que la probabilité qu'une communication reçue dans
l'intervalle de temps $\left[ 0,\theta \right] $ se poursuive au-delà de
l'instant $\theta $ est égale à $p$.\newline
On note $N_{\theta }$ la variable aléatoire réelle égale au nombre de
communications reçues dans l'intervalle de temps $\left[ 0,\theta \right] $
et l'on suppose que $N_{\theta }$ suit une loi de Poisson de paramètre $%
\theta $.\newline
On note$C_{\theta }$ la variable aléatoire réelle égale au nombre de
communications reçues dans l'intervalle de temps $\left[ 0,\theta \right] $
qui se poursuivent au-delà de l'instant $\theta $\newline
Les instants aléatoires où les communications se terminent sont mutuellement
indépendant.
\begin{enumerate}
\item Loi de probabilité de $C_{\theta }$
\begin{enumerate}
\item Soit $r$ un entier naturel. Quelle est la loi conditionnelle de $%
C_{\theta }$ sachant que $\left\{ N_{\theta }=r\right\} $ ?
\item Démontrer que l'on a :
\begin{equation*}
\forall r\in \mathbb{N\;\;\forall }k\in \left[ \left[ 0,r\right] \right]
,\quad p\left( \left\{ C_{\theta }=k\right\} \cap \left\{ N_{\theta
}=r\right\} \right) =\dfrac{e^{-\theta }\left( p\theta \right) ^{k}\left(
q\theta \right) ^{r-k}}{k!\left( r-k\right) !}
\end{equation*}
\item En déduire, pour tout entier naturel $k$, une expression simple de $%
p\left( C_{\theta }=k\right) $ en fonction de $k$, $p,$ et $\theta $. Quelle
est la loi de probabilité de $C_{\theta }?$
\end{enumerate}
\item Étude de l'espérance de $C_{\theta }$
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'expression de $E\left( C_{\theta }\right) $ en fonction
de $\theta $ et de $\alpha $.
\item Quelle est la limite de $E\left( C_{\theta }\right) $ lorsque $\theta $
tend vers$+\infty $ ? Vérifier qu'elle majore $E\left( C_{\theta }\right) $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}