%BECHATA Abdellah %www.mathematiques.fr.st \documentclass[a4paper,french,11pt]{article} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[a4paper]{geometry} \usepackage{hyperref} \usepackage{color} \usepackage{fancyhdr} \setcounter{MaxMatrixCols}{10} %TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL} %TCIDATA{Version=5.00.0.2552} %TCIDATA{} %TCIDATA{Created=Wednesday, August 25, 2004 17:43:57} %TCIDATA{LastRevised=Saturday, August 28, 2004 10:15:04} %TCIDATA{} %TCIDATA{} %TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst} \geometry{margin={1cm,2cm}} \pagestyle{fancy} \cfoot{\thepage/\pageref{fin}} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \input{tcilatex} \begin{document} \noindent {\Large \textbf{ECRI% %TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\colorbox[gray]{0.95}{COME}}}% %BeginExpansion \colorbox[gray]{0.95}{COME}% %EndExpansion }}\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Banque d'épreuves communes} \noindent aux concours des Ecoles \noindent esc% %TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\colorbox[gray]{0.95}{bordeaux}} }% %BeginExpansion \colorbox[gray]{0.95}{bordeaux} %EndExpansion / esc% %TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\colorbox[gray]{0.95}{marseille}} }% %BeginExpansion \colorbox[gray]{0.95}{marseille} %EndExpansion / icn% %TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\colorbox[gray]{0.95}{nancy}} }% %BeginExpansion \colorbox[gray]{0.95}{nancy} %EndExpansion / esc% %TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\colorbox[gray]{0.95}{reims}} }% %BeginExpansion \colorbox[gray]{0.95}{reims} %EndExpansion / esc% %TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\colorbox[gray]{0.95}{rouen}} }% %BeginExpansion \colorbox[gray]{0.95}{rouen} %EndExpansion / esc% %TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\colorbox[gray]{0.95}{toulouse}}}% %BeginExpansion \colorbox[gray]{0.95}{toulouse}% %EndExpansion \vspace{1cm} \begin{center} {\large CONCOURS D'ADMISSION }\vspace{0.5cm} \textbf{option scientifique} \vspace{0.5cm} {\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}} \vspace{0.5cm} \textbf{Année 2001\bigskip } \end{center} \noindent \textbf{Aucun instrument de calcul n'est autorisé.} \noindent \textbf{Aucun document n'est autorisé.\bigskip } \noindent L'énoncé comporte \pageref{fin} pages\bigskip \begin{quotation} \noindent Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brè% ves) de leurs affirmations.\bigskip \end{quotation} \vspace{13cm} \hfill \textbf{Tournez la page} \hfill \textbf{S.V.P\qquad } \newpage \section*{Exercice 1} Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs, $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, suivant chacune une loi exponentielle de paramètres respectifs $a$ et $b$. \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction de répartition, puis une densité, de la variable aléatoire $-X$. \item Montrer que $Y-X$ admet une densité, notée $h$, définie par \begin{equation*} h(t)=\dfrac{ab}{a+b}\,e^{-bt}\quad \text{pour}\quad t>0\text{ et }h(t)=% \dfrac{ab}{a+b}\,e^{at}\quad \text{pour}\quad t\leqslant 0 \end{equation*}% On considère la variable aléatoire $Z=\left\vert X-Y\right\vert $. \item Soit $s$ un réel positif. Etablir l'égalité:$\quad P(Z\leqslant s)=1-% \dfrac{be^{-as}+ae^{-bs}}{a+b}$. \item \thinspace \begin{enumerate} \item Montrer que $Z$ est une variable aléatoire à densité et en donner une densité. \item Montrer que $Z$ admet une espérance et la calculer. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{Exercice 2} Soient $n$ un entier $\geqslant 2$ et $E$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients réels. $I$ est la matrice identité de $E$. On note $^{t}A$ la transposée d'un élé% ment $A$ de $E$. Si $A=(a_{i,j})$ appartient à $E$, on appelle trace de $A$ et on note $\func{tr}(A)$, la somme $a_{1,1}»+a_{2,2}+\cdots +a_{n,n}$ des él% éments diagonaux de $A$. On considère l'application $g$ de $E\times E$ dans $\mathbb{R}$ , qui à deux matrices $A$ et $B$ de $E$ fait correspondre le réel $g(A,B)=\func{tr}$ $% (^{t}AB)$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'application $\func{tr}$ qui à tout élément de $E$ associe sa trace, est une forme linéaire sur $E$. \item \thinspace \begin{enumerate} \item Soit $M$ une matrice de $E$. Montrer que $\func{tr}$ $(M)=\func{tr}$ $% (^{t}M)$. \item En déduire que, pour tout couple $(A,B)$ de matrices de $E$, on a $% g(A,B)=g(B,A)$. \end{enumerate} \item Soit $A$ un élément de $E$. Montrer que $g(A,A)$ est la somme des carré% s des coefficients de $A$. \item Montrer, à (aide des questions précédentes, que $g$ est un produit scalaire sur $E$. \newline Soit $\mathcal{B}=(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})$ la base canonique de $\mathbb{R% }$ $^{n}$ et $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}$ $^{n}$ défini par:\newline $f(e_{1})=e_{n}$ et, pour tout entier $k$ tel que $2\leqslant k\leqslant n,\;f(e_{k})=e_{k-1}$ \item \thinspace \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est un automorphisme de $\mathbb{R}$ $^{n}$. \item Soit $U$ la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$. Montrer que $% U^{n}=I$ et que $U^{-1}=^{t}$ $U$. \newline \end{enumerate} \textit{On suppose, pour les deux questions suivantes, que $n=4$.} \item Calculer $U^{2}$ et $U^{3}$ et montrer que $(I,U,U^{2},U^{3})$ est une famille orthogonale pour le produit scalaire $g$. \item On note $F$ le sous espace vectoriel de $E$ engendré par la famille $% (I,U,U^{2},U^{3})$ et $V$ la matrice de $E$ dont la première ligne est constituée de $1$ et les autres uniquement de $0$. Calculer la projection orthogonale $W$ de $V$ sur $F$. \end{enumerate} \section*{Problème} Dans tout le problème, $n$ est un entier positif ou nul, $a$ un entier pair supérieur ou égal à $4$ et $p$ un réel tel que $0
\dfrac{10}{9}$ et $3.\sqrt{2}% >4$.) \end{enumerate} \end{enumerate} \label{fin} \end{document}