%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\noindent {\Large \textbf{ECRI%
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\colorbox[gray]{0.95}{COME}%
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}}\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{Banque d'épreuves communes}
\noindent aux concours des Ecoles
\noindent esc%
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\vspace{1cm}
\begin{center}
{\large CONCOURS D'ADMISSION }\vspace{0.5cm}
\textbf{option économique} \vspace{0.5cm}
{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}} \vspace{0.5cm}
\textbf{Année 2002\bigskip }
\end{center}
\noindent \textbf{Aucun instrument de calcul n'est autorisé.}
\noindent \textbf{Aucun document n'est autorisé.\bigskip }
\noindent L'énoncé comporte \pageref{fin} pages\bigskip
\begin{quotation}
\noindent Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur
copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les
notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brè%
ves) de leurs affirmations.\bigskip
\end{quotation}
\newpage
\section*{EXERCICE 1}
Dans l'ensemble $\mathfrak{M}_{3}(\mathbb{R})$ des matrices carrées d'ordre $%
3$ à coefficients réels, on considère le sous-ensemble $E$ des matrices $%
M(a,b)$ définies par :
\begin{equation*}
M(a,b)=%
\begin{pmatrix}
b & a & b \\
a & b & b \\
b & b & a%
\end{pmatrix}%
.
\end{equation*}%
Ainsi :
\begin{equation*}
E=\{M(a,b)\quad a,b\in \mathbb{R}\}.
\end{equation*}%
On note $f_{a,b}$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ représenté par la
matrice $M(a,b)$ dans la base canonique $\mathcal{B}=(e_{1},e_{2},e_{3})$ de
$\mathbb{R}^{3}$.
\subsection*{I. Structure de $E$.}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{3}(%
\mathbb{R})$.
\item Donner une base de $E$, ainsi que sa dimension.
\end{enumerate}
\subsection*{II. Étude d'un cas particulier.}
On pose $A=M(1,0)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $A^{2}$. En déduire que $A$ est une matrice inversible et
exprimer $A^{-1}$ en fonction de $A$.
\item Déterminer les valeurs propres de $A$.
\item Trouver une base de $\mathbb{R}^{3}$ dans laquelle la matrice de $%
f_{1,0}$ est :
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1%
\end{pmatrix}%
.
\end{equation*}
\end{enumerate}
\subsection*{III. Diagonalisation des éléments de $E$ et application.}
On considère les vecteurs de $\mathbb{R}^{3}$ suivants :
\begin{equation*}
\vec{u}=(1,1,1),\quad \vec{v}=(1,-1,0),\quad \vec{w}=(1,1,-2).
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Justifier que les matrices de l'ensemble $E$ sont diagonalisables.
\item Montrer que $\mathcal{C}=\left( \vec{u},\vec{v},\vec{w}\right) $ est
une base de $\mathbb{R}^{3}$.
\item On note $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $%
\mathcal{C}$. Écrire $P$.
\item Déterminer $P^{-1}$.
\item Exprimer les vecteurs $f_{a,b}\left( \vec{u}\right) $, $f_{a,b}\left(
\vec{v}\right) $, $f_{a,b}\left( \vec{w}\right) $ en fonction de $\vec{u}$, $%
\vec{v}$, $\vec{w}$.
\item En déduire l'expression de la matrice $D_{a,b}$ de $f_{a,b}$ dans la
base $\mathcal{C}$.
\item Justifier l'égalité :
\begin{equation*}
P^{-1}M_{a,b}P=D_{a,b}.
\end{equation*}
\item Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $a$ et $b$
pour que $D_{a,b}$ soit inversible.
\item Cette condition étant réalisée, déterminer la matrice inverse de $%
D_{a,b}$.
\item Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $a$ et $b$
pour que $M_{a,b}$ soit inversible.
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 2}
On considère la famille de fonctions $(f_{n})_{n\in \mathbb{N}^{\ast }}$ dé%
finies sur $]-1,+\infty \lbrack $ par :
\begin{equation*}
f_{n}(x)=x^{n}\ln (1+x).
\end{equation*}
\subsection*{I. Étude des fonctions $f_{n}$.}
Soit $n\in \mathbb{N}^{\ast }$. On note $h_{n}$ la fonction définie sur $%
]-1,+\infty \lbrack $ par :
\begin{equation*}
h_{n}(x)=n\ln (1+x)+\dfrac{x}{1+x}.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation des fonctions $h_{n}$.
\item Calculer $h_{n}(0)$, puis en déduire le signe de $h_{n}$.
\item Étude du cas particulier $n=1$.
\begin{enumerate}
\item Après avoir justifié la dérivabilité de $f_{1}$ sur $]-1,+\infty
\lbrack $, exprimer $f_{1}^{\prime }(x)$ en fonction de $h_{1}(x)$.
\item En déduire les variations de la fonction $f_{1}$ sur $]-1,+\infty
\lbrack $.
\end{enumerate}
\item Soit $n\in \mathbb{N}^{\ast }\setminus \{1\}$.
\begin{enumerate}
\item Justifier la dérivabilité de $f_{n}$ sur $]-1,+\infty \lbrack $ et
exprimer $f_{n}^{\prime }(x)$ en fonction de $h_{n}(x)$.
\item En déduire les variations de $f_{n}$ sur $]-1,+\infty \lbrack $. (On
distinguera les cas $n$ pair et $n$ impair). On précisera les limites aux
bornes sans étudier les branches infinies.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{II. Étude d'une suite.}
On considère la suite $\left( U_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}^{\ast }}$ dé%
finie par :
\begin{equation*}
U_{n}=\int\limits_{0}^{1}f_{n}(x)\,dx.
\end{equation*}
\subsubsection*{Calcul de $U_{1}$.}
\begin{enumerate}
\item Prouver l'existence de trois réels $a$, $b$, $c$ tels que :
\begin{equation*}
\forall x\in \lbrack 0,1],\quad \dfrac{x^{2}}{x+1}=ax+b+\dfrac{c}{x+1}.
\end{equation*}
\item En déduire la valeur de l'intégrale :
\begin{equation*}
\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^{2}}{x+1}\,dx.
\end{equation*}
\item Montrer que $U_{1}=\dfrac{1}{4}$.
\end{enumerate}
\subsubsection*{Convergence de la suite $\left( U_{n}\right) _{n\in \mathbb{N%
}^{\ast }}$.}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left( U_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}^{\ast }}$
est monotone.
\item Justifier la convergence de la suite $\left( U_{n}\right) _{n\in
\mathbb{N}^{\ast }}$. (On ne demande pas sa limite.)
\item Démontrer que :
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N}^{\ast },\quad 0\leqslant U_{n}\leqslant \dfrac{\ln 2%
}{n+1}.
\end{equation*}
\item En déduire la limite de la suite $\left( U_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}%
^{\ast }}$.
\end{enumerate}
\subsubsection*{Calcul de $U_{n}$ pour $n\geqslant 2$.}
Pour $x\in \lbrack 0,1]$ et $n\in \mathbb{N}^{\ast }\setminus \{1\}$, on
pose :
\begin{equation*}
S_{n}(x)=1-x+x^{2}+\cdots +(-1)^{n}x^{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{k}.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que :
\begin{equation*}
S_{n}(x)=\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{(-1)^{n}x^{n+1}}{1+x}.
\end{equation*}
\item En déduire que :
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{k+1}=\ln 2+(-1)^{n}\int\limits_{0}^{1}\dfrac{%
x^{n+1}}{1+x}\,dx.
\end{equation*}
\item En utilisant une intégration par parties dans le calcul de $U_{n}$,
montrer que :
\begin{equation*}
U_{n}=\dfrac{\ln 2}{n+1}+\dfrac{(-1)^{n}}{n+1}\left[ \ln 2-\left( 1-\dfrac{1%
}{2}+\cdots +\dfrac{(-1)^{k}}{k+1}+\cdots +\dfrac{(-1)^{n}}{n+1}\right) %
\right] .
\end{equation*}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 3}
Une urne contient une boule blanche et une boule noire, les boules étant
indiscernables au toucher.
On y prélève une boule, chaque boule ayant la même probabilité d'être tirée,
on note sa couleur, et on la remet dans l'urne avec $c$ boules de la couleur
de la boule tirée. On répète cette épreuve, on réalise ainsi une succession
de $n$ tirages ($n\geqslant 2$).
\subsection*{I. Étude du cas $c=0$.}
On effectue donc ici $n$ tirages avec remise de la boule dans l'urne.
On note $X$ la variable aléatoire réelle égale au nombre de boules blanches
obtenues au cours des $n$ tirages et $Y$ la variable aléatoire réelle dé%
finie par :
\begin{equation*}
\begin{cases}
Y=k & \text{si l'on obtient une boule blanche pour la première fois au }k^{%
\grave{e}me}\text{ tirage.} \\
Y=0 & \text{si les $n$ boules tirées sont noires.}%
\end{cases}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X$. Donner la valeur de $E(X)$ et de $V(X)$.
\item Pour $k\in \{1,\ldots ,n\}$, déterminer la probabilité $P(Y=k)$ de l'év%
énement $(Y=k)$, puis déterminer $P(Y=0)$.
\item Vérifier que :
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{n}P(Y=k)=1.
\end{equation*}
\item Pour $x\neq 1$ et $n$ entier naturel non nul, montrer que :
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n}kx^{k}=\dfrac{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(1-x)^{2}}.
\end{equation*}
\item En déduire $E(Y)$.
\end{enumerate}
\subsection*{II. Étude du cas $c\neq 0$.}
On considère les variables aléatoires $\left( X_{i}\right) _{1\leqslant
i\leqslant n}$ définies par :
\begin{equation*}
\begin{cases}
X_{i}=1 & \text{si on obtient une boule blanche au }i^{\grave{e}me}\text{
tirage.} \\
X_{i}=0 & \text{sinon.}%
\end{cases}%
\end{equation*}%
On définit alors, pour $2\leqslant p\leqslant n$, la variable aléatoire $%
Z_{p}$, par :
\begin{equation*}
Z_{p}=\sum_{i=1}^{p}X_{i}.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Que représente la variable $Z_{p}$ ?
\item Donner la loi de $X_{1}$ et l'espérance $E(X_{1})$ de $X_{1}$.
\item Déterminer la loi du couple $(X_{1},X_{2})$. En déduire la loi de $%
X_{2}$ puis l'espérance $E(X_{2})$.
\item Déterminer la loi de probabilité de $Z_{2}$.
\item Déterminer l'univers image $Z_{p}\left( \Omega \right) $ de $Z_{p}$.
\item Soit $p\leqslant n-1$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(X_{p+1}=1\,/Z_{p}=k)$ pour $k\in Z_{p}\left( \Omega
\right) $.
\item En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que :
\begin{equation*}
P(X_{p+1}=1)=\dfrac{1+cE(Z_{p})}{2+pc}.
\end{equation*}
\item En déduire que $X_{p}$ est une variable aléatoire de Bernoulli de param%
ètre $\dfrac{1}{2}$.
(On raisonnera par récurrence sur $p$ : les variables $X_{1}$, $X_{2}$,
...., $X_{p}$ étant supposées suivre une loi de de Bernoulli de paramètre $%
\dfrac{1}{2}$, et on calculera $E(Z_{p})$).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}