%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\noindent {\Large \textbf{ECRI%
%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\colorbox[gray]{0.95}{COME}}}%
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\colorbox[gray]{0.95}{COME}%
%EndExpansion
}}\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{Banque d'épreuves communes}
\noindent aux concours des Ecoles
\noindent esc%
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\vspace{1cm}
\begin{center}
{\large CONCOURS D'ADMISSION }\vspace{0.5cm}
\textbf{option scientifique} \vspace{0.5cm}
{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}} \vspace{0.5cm}
\textbf{Année 2002\bigskip }
\end{center}
\noindent \textbf{Aucun instrument de calcul n'est autorisé.}
\noindent \textbf{Aucun document n'est autorisé.\bigskip }
\noindent L'énoncé comporte \pageref{fin} pages\bigskip
\begin{quotation}
\noindent Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur
copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les
notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brè%
ves) de leurs affirmations.\bigskip
\end{quotation}
\vspace{13cm}
\hfill \textbf{Tournez la page}
\hfill \textbf{S.V.P\qquad }
\newpage
\section*{Exercice 1}
$E$ désigne un espace vectoriel sur le corps $\mathbb{C}$ des nombres
complexes.\newline
$Id_{E}$ l'identité de $E$, $\Theta $ l'endomorphisme nul.\newline
$\mathbb{C}[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients complexes.\newline
Pour tout $n$, $\mathbb{C}_{n}[X]$ représente l'ensemble des polynômes à
coefficients complexes, de degré inférieur ou égal à l'entier $n$.\newline
Si $g$ est un endomorphisme de $E$, on définit $g^{n}$ par :
\begin{equation*}
\begin{cases}
g^{0}=Id_{E} & \\
g^{n}=g^{n-1}\circ g, & n\in \mathbb{N}^{\times }%
\end{cases}%
\end{equation*}%
Pour tout polynôme $P$ de $\mathbb{C}[X]$ tel que : $P(X)=a_{0}{+}a_{1}X{+}%
\cdots {+}a_{p}X^{p}$, on note $P(g)$ l'endomorphisme de $E$ égal à :
\begin{equation*}
P(g)=a_{0}Id_{E}+a_{1}g+\cdots +a_{p}g^{p}
\end{equation*}%
On rappelle que pour tous polynômes $P$, $Q$ de $\mathbb{C}[X]$, on a :
\begin{equation*}
(PQ)(g)=P(g)\circ Q(g)=Q(g)\circ P(g)
\end{equation*}%
On désigne par $T$ le polynôme de $\mathbb{C}[X]$ défini par :
\begin{equation*}
T(X)=3X^{3}-X^{2}-X-1
\end{equation*}%
et par $f$ un endomorphisme de $E$ satisfaisant à la relation $T(f)=\Theta $.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $1$ est la seule racine réelle de $T$. Soient $\alpha $ et
$\overline{\alpha }$ les deux autres racines non réelles et conjuguées.
Calculer $\alpha +\overline{\alpha }$ et $\alpha \overline{\alpha }$.
\item On désigne par $\varphi $ l'application qui, à tout polynôme $P$ de $%
\mathbb{C}[X]$ associe le reste dans la division euclidienne de $P$ par $T$.
\begin{enumerate}
\item Rappeler le théorème de la division des polynômes suivant les
puissances décroissantes.
\item Montrer que $\varphi $ est un endomorphisme de $\mathbb{C}[X]$.
\item L'endomorphisme $\varphi $ est-il injectif ? Est-il surjectif ?
\end{enumerate}
\item On note $L_{1},\;L_{2},\;L_{3}$, les polynômes définis par
\begin{equation*}
L_{1}(X)=(X-1)(X-\alpha )\quad L_{2}(X)=(X-1)(X-\overline{\alpha })\quad
L_{3}(X)=(X-\alpha )(X-\overline{\alpha })
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(L_{1},L_{2},L_{3})$ est une base de $\mathbb{C}_{2}[X]$.
\item Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, il existe un unique triplet
$(a_{n},b_{n},c_{n})$ appartenant à $C^{3}$ tel que :
\begin{equation*}
\varphi (X^{n})=a_{n}L_{1}+b_{n}L_{2}+c_{n}L_{3}
\end{equation*}%
et exprimer $a_{n}$, $b_{n}$, $c_{n}$ en fonction de $\alpha $, $\overline{%
\alpha }$, $n$. Vérifier que $c_{n}=\dfrac{1}{2}$.
\item Prouver que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ :
\begin{equation*}
f^{n}=a_{n}L_{1}(f)+b_{n}L_{2}(f)+c_{n}L_{3}(f)
\end{equation*}
\item Justifier la convergence des suites $(a_{n})$, $(b_{n})$, $(c_{n})$
vers des réels respectifs $a$, $b$, $c$.
\end{enumerate}
\item On pose $h=aL_{1}(f)+bL_{2}(f)+cL_{3}(f)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $h=\dfrac{1}{6}(3f^{2}+2f+Id_{E})$.
\item Prouver enfin que $h$ est un projecteur.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 2}
On se propose ici d'étudier la série de terme général
\begin{equation*}
u_{n}(x)=a_{n}x^{n}
\end{equation*}%
où $x$ est un réel quelconque et $a_{n}$, un réel défini par
\begin{equation*}
a_{n}=\int\limits_{0}^{1}\left[ \dfrac{1+t^{2}}{2}\right] ^{n}dt,\quad n\in
\mathbb{N}
\end{equation*}
\subsection*{I. Etude de l'absolue convergence de la série.}
\begin{enumerate}
\item Prouver que pour tout $n$ entier naturel :
\begin{equation*}
\dfrac{1}{n+1}\leqslant a_{n}\leqslant \dfrac{2}{n+1}
\end{equation*}
\item Pour $\left\vert x\right\vert =1$, la série de terme général $u_{n}(x)$
est-elle absolument convergente ?
\item Donner une condition nécessaire et suffisante, sur $x$, pour que la sé%
rie de terme général $u_{n}(x)$ soit absolument convergente.
\end{enumerate}
\subsection*{II. Somme de la série pour $-1\leqslant x<1$.}
On suppose maintenant, $-1\leqslant x<1$.
\begin{enumerate}
\item Pour $t\in \lbrack 0,1]$, montrer que : \quad\ $2-x-xt^{2}\geqslant
\dfrac{3}{2}(1-x)$.
\item Justifier l'existence de l'intégrale : \quad\ $\int\limits_{0}^{1}%
\dfrac{2dt}{2-x-xt^{2}}$.
\item On pose :
\begin{equation*}
f(x)=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{2dt}{2-x-xt^{2}}
\end{equation*}%
Montrer que pour tous les entiers naturels $n$ :
\begin{equation*}
\left\vert f(x)-\sum_{k=0}^{n}u_{k}(x)\right\vert \leqslant \dfrac{%
8\left\vert x\right\vert ^{n+1}}{3(n+2)(1-x)}
\end{equation*}
\item En déduire la convergence et la somme de la série de terme général $%
u_{n}(x)$.
\item Donner la valeur de $a_{0}$, puis établir la relation de récurrence
suivante :
\begin{equation*}
\forall k\in \mathbb{N},\quad (2k+3)a_{k+1}=1+(k+1)a_{k}
\end{equation*}
\item Ecrire en PASCAL un algorithme permettant d'obtenir une valeur approché%
e de $f(x)$ à $10^{-p}$ près, le réel $x$ et l'entier $p$ étant supposés donn%
és.
\end{enumerate}
\section*{PROBLEME}
Deux biens $C_{1}$ et $C_{2}$ indéfiniment divisibles sont disponibles sur
le marché. On appelle \textquotedblright panier de biens\textquotedblright\
tout couple $(x,y)$ de nombres réels appartenant à l'ensemble $D$ suivant :
\begin{equation*}
D=\{(x,y)\;/\;0\leqslant x,\;0\leqslant y\leqslant 5,\;2x+3y\leqslant 19\}
\end{equation*}%
$x$, $y$ désignent respectivement les quantités du bien $C_{1}$ et du bien $%
C_{2}$ qui peuvent être physiquement consommés par un agent économique.%
\newline
Sur le marché, le prix unitaire de chacun de ces deux biens est égal à $1$.%
\newline
On considère un consommateur ayant un revenu égal à $8$.\newline
Les paniers de biens accessibles budgétairement par ce consommateur
appartiennent donc à l'ensemble $B$ des couples $(x,y)$ de $D$ tels que $%
x+y\leqslant 8$.\newline
Les préférences de ce consommateur sur $B$, sont définies de la façon
suivante : \medskip $(x,y)$ est préféré ou indifférent à $(x^{\prime
},y^{\prime })$ si et seulement si $(y-3)e^{x+2}\geqslant (y^{\prime
}-3)e^{x^{\prime }+2}$\newline
L'application $u$ définie sur $B$ par : \quad $u(x,y)=(y-3)e^{x+2}$, pour $%
(x,y)\in B$ s'appelle la fonction d'utilité du consommateur.
\subsection*{I. Propriétés de la relation de préférence.}
\begin{enumerate}
\item Justifier les propositions suivantes :
\begin{enumerate}
\item $(x,y)$ est préféré ou indifférent à $(x,y)$.
\item Si $(x,y)$ est préféré ou indifférent à $(x^{\prime },y^{\prime })$ et
si $(x^{\prime },y^{\prime })$ est préféré ou indifférent à $(x^{\prime
\prime },y^{\prime \prime })$ alors $(x,y)$ est préféré ou indifférent à $%
(x^{\prime \prime },y^{\prime \prime })$.
\item $(x,y)$ est préféré ou indifférent à $(x^{\prime },y^{\prime })$ ou $%
(x^{\prime },y^{\prime })$ est préféré ou indifférent à $(x,y)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{II. Courbes d'indifférence.\label{courbe indifference}}
\begin{enumerate}
\item \label{repere} Représenter graphiquement l'ensemble $B$ dans un repère
orthonormé (unités 1 cm sur chacun des axes) et déterminer les coordonnées
des cinq sommets du polygone constituant le bord de $B$.
\item Dans ce qui suit, pour $m$ réel, on désigne par $A_{m}$ l'ensemble dé%
fini par
\begin{equation*}
A_{m}=\{(x,y)\in B\;/\;u(x,y)=m\}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction numérique $f_{m}$, telle que, pour $m$ fixé on
ait, pour tout élément $(x,y)$ de $A_{m}$, $y=f_{m}(x)$.
\item Etudier et représenter dans le même repère que celui de la question %
\ref{courbe indifference}.\ref{repere} la fonction $x\mapsto y=f_{m}(x)$
pour $m=-8$, $m=0$, $m=8$.
$($ $e^{-2}\simeq 0.14,\;e^{-3}\simeq 0.05,\;e^{-4}\simeq
0.02,\;e^{-5}\simeq 0.007,\;e^{-6}\simeq 0.002,\;e^{-7}\simeq 0.001$ )
\item Déterminer $m_{0}$ pour que la courbe d'équation $y=f_{m_{0}}(x)$ soit
tangente à la droite $(T)$ d'équation :
\begin{equation*}
y=-\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{19}{3}
\end{equation*}%
Représenter la courbe d'équation $y=f_{m_{0}}(x)$ sur le graphique.
($e^{3}\simeq 20.09,\;e^{2}\simeq 7.39,\;e\simeq 2.72$ ).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{III. Recherche d'un élément maximal sur $B$ pour la relation de
préférence.}
\begin{enumerate}
\item On admet que $B$ est un fermé de $\mathbb{R}^{2}$. Montrer qu'il est
borné.
\item Justifier l'existence d'un couple $(x_{0},y_{0})$ de $B$ préféré ou
indifférent à tous les couples $(x,y)$ de $B$.
\item On note $\mathring{B}$ l'ouvert de $\mathbb{R}^{2}$ des couples
solutions du système
\begin{equation*}
\begin{cases}
0n$.
\noindent \textbf{Etude d'un cas particulier.}
\begin{enumerate}
\item Pour cette question seulement, $N=3$.
\begin{enumerate}
\item Donner la loi des variables $T_{1}$ et $T_{2}$.
\item Calculer leur espérance et leur variance.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Etude de la loi de $T_{1}$.}
\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble $T_{1}(\Omega )$ des valeurs prises par la
variable $T_{1}$ ?
\item Montrer que pour tout entier $n\geqslant 0$, la probabilité de l'évé%
nement $\{T_{1}>n\}$ est donnée par : $P(\{T_{1}>n\})=\dfrac{C_{N}^{n}}{N^{n}%
}$.
En déduire la loi de $T_{1}$.
\item Montrer que l'espérance de $T_{1}$ est donnée par $E(T_{1})=(1+\dfrac{1%
}{N})^{N}$.
\item De même, prouver que $E(T_{1}^{2}-T_{1})=2(1+\dfrac{1}{N})^{N-1}$.
En déduire la variance $V(T_{1})$ de $T_{1}$ en fonction de $N$.
\item Donner les limites de $E(T_{1})$ et $V(T_{1})$ lorsque $N$ tend vers
l'infini.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Etude de la loi de $T_{2}$.}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tous entiers naturels $r$, $n$ :
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{r}C_{k}^{n}=C_{r+1}^{n+1}
\end{equation*}
\item Quel est l'ensemble $T_{2}(\Omega )$ des valeurs prises par la
variable $T_{2}$ ?
\item Par récurrence sur l'entier $n$ inférieur ou égal à $N$, prouver que
\begin{equation*}
\forall j\in \{1,2,\dots ,N\},\quad P(\{X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}\leqslant
j\})=\dfrac{C_{j}^{n}}{N^{n}}
\end{equation*}
\item En déduire la loi de $T_{2}$.
\item Quelle est votre conclusion ?
\end{enumerate}
\subsubsection*{Partie 2}
On suppose que les variables $(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\times }}$ sont des
variables aléatoires absolument continues qui suivent une loi uniforme sur
le segment $[1,N]$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la densité de probabilité $\;f_{n}\;$ d'une somme de $n$
variables aléatoires, indépendantes, suivant la même loi uniforme sur le
segment $[0,1]$, est donnée sur l'intervalle $[0,1]$ par :
\begin{equation*}
\forall x\in \lbrack 0,1],\quad f_{n}(x)=\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}
\end{equation*}
\item Prouver que si la variable $X$ suit une loi uniforme sur le segment $%
[1,N]$, alors la variable $Y$, définie par $X=1+(N-1)Y$, suit une loi
uniforme sur le segment $[0,1]$.
\item En déduire la loi de $T_{2}$.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}