%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{color}
\usepackage{fancyhdr}
\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{Created=Wednesday, August 25, 2004 17:43:57}
%TCIDATA{LastRevised=Saturday, August 28, 2004 15:05:03}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
\geometry{margin={1cm,2cm}}
\pagestyle{fancy}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\noindent {\Large \textbf{ECRI%
%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\colorbox[gray]{0.95}{COME}}}%
%BeginExpansion
\colorbox[gray]{0.95}{COME}%
%EndExpansion
}}\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{Banque d'épreuves communes}
\noindent aux concours des Ecoles
\noindent esc%
%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\colorbox[gray]{0.95}{bordeaux}} }%
%BeginExpansion
\colorbox[gray]{0.95}{bordeaux}
%EndExpansion
/ esc%
%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\colorbox[gray]{0.95}{marseille}} }%
%BeginExpansion
\colorbox[gray]{0.95}{marseille}
%EndExpansion
/ icn%
%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\colorbox[gray]{0.95}{nancy}} }%
%BeginExpansion
\colorbox[gray]{0.95}{nancy}
%EndExpansion
/ esc%
%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\colorbox[gray]{0.95}{reims}} }%
%BeginExpansion
\colorbox[gray]{0.95}{reims}
%EndExpansion
/ esc%
%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\colorbox[gray]{0.95}{rouen}} }%
%BeginExpansion
\colorbox[gray]{0.95}{rouen}
%EndExpansion
/ esc%
%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\colorbox[gray]{0.95}{toulouse}}}%
%BeginExpansion
\colorbox[gray]{0.95}{toulouse}%
%EndExpansion
\vspace{1cm}
\begin{center}
{\large CONCOURS D'ADMISSION }\vspace{0.5cm}
\textbf{option economique} \vspace{0.5cm}
{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}} \vspace{0.5cm}
\textbf{Année 2003\bigskip }
\end{center}
\noindent \textbf{Aucun instrument de calcul n'est autorisé.}
\noindent \textbf{Aucun document n'est autorisé.\bigskip }
\noindent L'énoncé comporte \pageref{fin} pages\bigskip
\begin{quotation}
\noindent Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur
copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les
notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brè%
ves) de leurs affirmations.\bigskip
\end{quotation}
\vspace{13cm}
\hfill \textbf{Tournez la page}
\hfill \textbf{S.V.P\qquad }
\newpage
\section*{Exercice1}
On considère l'espace vectoriel $E=\mathbb{R}^{3}$ et $f$ l'endomorphisme de
$E$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}=\left(
\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}\right) $
est la matrice $A$ :
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{lll}
3 & -2 & 3 \\
1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 2%
\end{array}
\right)
\end{equation*}
\noindent \textbf{1. Calcul des puissances de }$A$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs propres $\lambda _{1}$ et $\lambda _{2}$ de
l'endomorphisme $f$, avec $\lambda _{1}<\lambda _{2}$
\item La matrice $A$ est-elle inversible ? (On ne demande pas la matrice $%
A^{-1}$).
\item Déterminer une base et la dimension de chacun des sous-espaces propres
de $f$.
\item Justifier que $f$ n'est pas diagonalisable.
\item Déterminer le vecteur $\overrightarrow{u_{1}}$ de $E$ vérifiant :
\begin{itemize}
\item $\overrightarrow{u_{1}}$ est un vecteur propre de $f$ associé à la
valeur propre $\lambda _{1}$
\item la première composante de $\overrightarrow{u_{1}}$ est l.
\end{itemize}
\item Déterminer le vecteur $\overrightarrow{u_{2}}$ de $E$ vérifiant :
\begin{itemize}
\item $\overrightarrow{u_{2}}$ est un vecteur propre de $f$ associe à la
valeur propre $\lambda _{2}$
\item la deuxième composante de $\overrightarrow{u_{2}}$ est l.
\end{itemize}
\item Soit $\overrightarrow{u_{3}}=(1,1,1)$. Montrer que $\mathcal{C}=\left(
\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}},\overrightarrow{u_{3}}\right) $
est une basede $E$.
\item Déterminer la matrice de passage $P$ de la la base $\mathcal{B}$ dans
la base $\mathcal{C}$ puis la matrice de passage de la base $\mathcal{C}$ à
la base $\mathcal{B}$.
\item Montrer que : $f\left( \overrightarrow{u_{3}}\right) =\overrightarrow{%
u_{2}}+2\overrightarrow{u_{3}}$
\item En déduire que la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{C}$ est la
matrice:
\begin{equation*}
T=\left(
\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item Rappeler la relation matricielle entre $A$ et $T$.
\item Prouver que pour tout élément $n$ de $\mathbb{N}^{\times }$ il existe
un réel $\alpha _{n}$ tel que :
\begin{equation*}
T^{n}=\left(
\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2^{n} & \alpha _{n} \\
0 & 0 & 2^{n}%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
On donnera le réel $\alpha _{1}$ ainsi qu'une relation entre $\alpha _{n+1}$
et $\alpha _{n}$
\item Montrer que :
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N}^{\times },\;\alpha _{n}=n2^{n-1}
\end{equation*}%
En déduire l'écriture matricielle de $A^{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{2. Matrices commutant avec }$A$\textbf{.}
\noindent $\mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $ désignant l'ensemble
des matrices carrées d'ordre 3, on considère le sous-ensemble $C\left(
A\right) $ de $\mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $ des matrices $M$
telles que :
\begin{equation*}
AM=MA
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $C(A)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathfrak{M}%
_{3}\left( \mathbb{R}\right) $
\item Pour $M$ appartenant à $\mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $ on
pose $M^{\prime }=P^{-1}MP.$
Montrer que :
\begin{equation*}
AM=MA\Longleftrightarrow TM^{\prime }=M^{\prime }T
\end{equation*}%
($T$ est définie dans la question \textbf{1}.10)
\item Montrer qu'une matrice $M^{\prime }$ de $\mathfrak{M}_{3}\left(
\mathbb{R}\right) $) vérifie $TM^{\prime }=M^{\prime }T$ si et seulement si $%
M^{\prime }$ est de la forme $\left(
\begin{array}{lll}
a & 0 & 0 \\
0 & b & c \\
0 & 0 & b%
\end{array}%
\right) $ où $a,$ $b$, $c$ sont trois réels.
\item En déduire que $M$ appartient à $C(A)$ si et seulement si il existe
des réels $a,b,c$ tels que :
\begin{equation*}
M=\left(
\begin{array}{ccc}
-a+2b & 2a-2b & -a+b+2c \\
-a+b & 2a-b & -a+b+c \\
0 & 0 & b%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item Déterminer alors une base de $C(A)$ ainsi que la dimension de $C(A)$.
\end{enumerate}
\section*{\protect\LARGE Exercice 2}
On considère les fonctions $ch$ et $sh$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
\begin{equation*}
ch\left( x\right) =\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\;\;\;sh\left( x\right) =\dfrac{%
e^{x}-e^{-x}}{2}
\end{equation*}%
ainsi que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
f\left( x\right) =\dfrac{x}{sh\left( x\right) }\text{ si }x\neq 0 \\
f\left( 0\right) =1%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
On s'intéresse dans cet exercice à la convergence de la suite $\left(
u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ définie par la relation de récurrence :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
u_{0}=1 \\
\forall n\in \mathbb{N\;\;}u_{n+1}=f\left( u_{n}\right)%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\noindent \textbf{1. Etude des fonctions }$ch$\textbf{, }$sh$\textbf{, et }$%
f $\textbf{.}
\begin{enumerate}
\item Etudier la parité des fonctions $ch$ et $sh$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $sh$, puis en déduire
le signe de $sh\left( x\right) $ pour $x$ appartenant à $\mathbb{R}$.
\item Déterminer un équivalent en $+\infty $ de $sh(x)$. En déduire l'allure
de la courbe représentative de la fonction $sh$ en $+\infty $.
\item Montrer que la fonction $sh$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$
dans $\mathbb{R}$
\item Etudier les variations de la fonction $ch$.
\item Montrer que :
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R},\;\;ch\left( x\right) >sh\left( x\right)
\end{equation*}
\item Donner sur un méme graphique l'allure des courbes représentatives des
fonctions $ch$ et $sh$.
\item Etudier la parité de la fonction $f$.
\item Déterminer le développement limité d'ordre 3 en 0 de la fontion $sh.$
\item En déduire que la fonction $f$ est continue en $0,$ dérivable en 0 et d%
éterminer $f^{\prime }\left( 0\right) $.
\item Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}_{+}^{\times }$ et sur $%
\mathbb{R}_{-}^{\times }$ et calculer $f^{\prime }\left( x\right) $ pour $%
x\in \mathbb{R}^{\times }$
\item On pose :
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}^{+},\;\;h\left( x\right) =shx-xch\left( x\right)
\end{equation*}%
Etudier les variations de $h$, puis en déduire le signe de $h\left( x\right)
$.
\item Déterminer les variations de $f$ sur $\mathbb{R}^{+}$ et donner
l'allure de la courbe représentative de la fonction $f$. (On ne cherchera
pas les points d'inflexion).
\end{enumerate}
\noindent \textbf{2. Etude de la suite }$\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N%
}}$\textbf{.}
\noindent On donne :
\begin{eqnarray*}
f\left( 0.8\right) &\simeq &0.9,\;\;f(1)\simeq 0.85, \\
sh(0.6) &\simeq &0.64,\;\;sh(0.8)\simeq 0.89,\;\;sh(1)\simeq
1.18,\;\;sh(1.2)\simeq 1.51
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item Justifier que $f\left( \left[ 0.8,1\right] \right) \subset \left[ 0.8,1%
\right] $, puis que :
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\;\;u_{n}\in \left[ 0.8,1\right]
\end{equation*}
\item Montrer que l'équation $f\left( x\right) =x$ admet une unique solution
$\alpha $ sur $\mathbb{R}$ (on pourra utiliser la question \textbf{1.4, }
sans cherche à déterminer $\alpha $).
\item Donner um encadrement de $\alpha $ et justifier que :
\begin{equation*}
\forall x\in \left[ 0.8,1\right] ,\;\;\dfrac{h\left( 1\right) }{sh^{2}\left(
0.8\right) }\leqslant f^{\prime }\left( x\right) \leqslant \dfrac{h\left(
0.8\right) }{sh^{2}\left( 1\right) }
\end{equation*}
\item On donne :
\begin{equation*}
\dfrac{h\left( 1\right) }{sh^{2}\left( 0.8\right) }\simeq -0.47\text{ et }%
\dfrac{h\left( 0.8\right) }{sh^{2}\left( 1\right) }\simeq -0.13
\end{equation*}%
Montrer que :
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\mathbb{\;\;}\left\vert u_{n+1}-\alpha \right\vert
\leqslant 0.5\left\vert u_{n}-\alpha \right\vert
\end{equation*}%
Puis que :
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\mathbb{\;\;}\left\vert u_{n}-\alpha \right\vert
\leqslant 0.2\left( 0.5\right) ^{n}
\end{equation*}
\item En déduire la limite de la suite $\left( u_{n}\right) $ quand $n$ tend
vers $+\infty $.
\item Ecrire un programme en Turbo-Pascal permettant de calculer et
d'afficher $u_{10}$
\end{enumerate}
\section*{\protect\LARGE Exercice 3}
Sous diverses hypothèses, l'exercice étudie différentes situations
probabilistes concernant une entreprise de construction produisant des
objets sur deux chaînes de montage $A$ et $B$ qui fonctionnent indé%
pendemment l'une de l'autre.\newline
Pour une chaîne donnée, les fabrications des pièces sont indépendantes.
\noindent \textbf{Partie 1.}
On suppose que $A$ produit $60\%$ des objets et $B$ produit $40\%$ des
objets. La probabilité qu'un objet construit par la chaine $A$ soit dé%
fectueux est $0.1$ alors que la probabilité pour qu'un objet construit par
la chaine $B$ soit défectueux est $0.2$.
\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un objet à la sortie de l'entreprise. On constate
que cet objet est défectueux. Calculer la probabilité de l'événement
\textquotedblleft l'objet provient de la chaîne A\textquotedblleft\ .
\item On suppose de plus que le nombre d'objets produits en une heure par $A$
est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi de Poisson de paramètre $%
\lambda =20.$
On considère la variable aléatoire $X$ représentant le nombre d'objets dé%
fectueux produits par la chaîne $A$ en une heure.
\begin{enumerate}
\item Rappeler la loi de $Y$ ainsi que la valeur de l'espérance et de la
variance de $Y$.
\item Soient $k$ et $n$ deux entiers naturels, déterminer la probabilité
conditionnelle $P\left[ X=k/Y=n\right] $. (On distinguera les cas $%
k\leqslant n$ et $k>n$ ).
\item En déduire, en utilisant le système complet d'événements $\left(
Y=i\right) _{i\in \mathbb{N}},$ que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre
2 .
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Partie 2.}
\noindent Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{ccc}
f\left( t\right) =\dfrac{2}{\left( 1+t\right) ^{3}}\text{ } & \text{si} &
t\geqslant 0 \\
f\left( t\right) =0 & \text{si} & t<0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une densité d'une variable aléatoire $Z$
\item Déterminer la fonction de répartition $F_{Z}$ de $Z$.
\item Justifier la convergence de l'intégrale :
\begin{equation*}
\int\limits_{0}^{+\infty }\dfrac{2t}{\left( 1+t\right) ^{3}}dt
\end{equation*}%
La calculer en effectuant le changement de variable $u=t+1$.
\item Prouver que $Z$ admet une espérance et la déterminer.
\item $Z$ admet-elle une variance ?
\item Dans cette partie, on suppose que le temps de fabrication, exprimé en
minutes d'un pièce par la chaîne $A$ (respectivement $B$) est une variable al%
éatoire $Z_{1}$ ( respectivement $Z_{2}$) où $Z_{1}$ et$Z_{2}$ sont deux
variables aléatoires indépendantes suivant la même loi que que $Z$.
\begin{enumerate}
\item On considère les événements :
$C=$ \textquotedblleft le temps de fabrication d'une pièce sur la chaine $B$
est supérieur à 2 minutes\textquotedblleft .
$D=$ \textquotedblleft le temps de fabrication d'une pièce sur la chaîne $B$
est inférieur à 3 minutes\textquotedblleft .
Calculer les probabilités suivante : $P\left( C\right) ,P\left( D\right)
,P\left( D/C\right) .$
\item On note $T=\max (Z_{1},Z_{2})$ et $G_{T}$ la fonction de répartition
de $T$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer l'événement $\left( T\leqslant x\right) $ en fonction des évé%
nements $\left( Z_{1}\leqslant x\right) $ et $\left( Z_{2}\leqslant x\right)
$
\item Montrer que :
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R},\;\;G_{T}\left( x\right) =\left[ F_{Z}\left(
x\right) \right] ^{2}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item En déduire que $T$ est une variable aléatoire à densité dont on
donnera une densité.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Partie 3.}
\noindent On suppose maintenant que pour qu'une pièce soit terminée, il faut
qu'elle passe par la chaîne $A$ puis par la chaîne $B$.\newline
Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaîne $A$ est
une variable aléatoire $M$ suivant une loi exponentielle de paramètre 2.%
\newline
Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaîne $B$ est
une variable aléatoire $N$ suivant une loi uniforme sur $\left[ 0,1\right] $%
\newline
Les variables $M$ et $N$ sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Rappeler l'expression d'une densité de probabilité $v$ de $M$ et d'une
densité $w$ de $N$.
\item On note $S$ la variable aléatoire représentant le temps total de
fabrication d'une pièce.
Exprimer $S$ en fonction de $M$ et de $N$ et déterminer le temps moyen de
fabrication d'une pièce.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}