%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\noindent {\Large \textbf{ECRI%
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\colorbox[gray]{0.95}{COME}%
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}}\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{Banque d'épreuves communes}
\noindent aux concours des Ecoles
\noindent esc%
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\vspace{1cm}
\begin{center}
{\large CONCOURS D'ADMISSION }\vspace{0.5cm}
\textbf{option scientifique} \vspace{0.5cm}
{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}} \vspace{0.5cm}
\textbf{Année 2003\bigskip }
\end{center}
\noindent \textbf{Aucun instrument de calcul n'est autorisé.}
\noindent \textbf{Aucun document n'est autorisé.\bigskip }
\noindent L'énoncé comporte \pageref{fin} pages\bigskip
\begin{quotation}
\noindent Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur
copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les
notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brè%
ves) de leurs affirmations.\bigskip
\end{quotation}
\vspace{13cm}
\hfill \textbf{Tournez la page}
\hfill \textbf{S.V.P\qquad }
\newpage
\section*{Exercice 1}
On considère la suite de nombres réels $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ définie
par la relation de récurrence :
\begin{equation*}
\begin{tabular}{lll}
$u_{n+1}$ & $=$ & $u_{n}+u_{n}^{2}$ \\
$u_{0}$ & $=$ & $a,\;a\in \mathbb{R}_{+}^{\times }$%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\subsection*{Partie 1 Convergence de $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$}
\begin{enumerate}
\item Montrer que cette suite est strictement positive et monotone.
\item Montrer que cette suite diverge vers l'infini.
\end{enumerate}
\subsection*{Partie 2 Comportement asymptotique de $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}
$}
On définit la suite $(v_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ par :\quad $v_{n}=\dfrac{1}{%
2^{n}}\ln u_{n}$
\begin{enumerate}
\item Prouver que pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}$ :\quad $v_{n+1}-v_{n}=%
\dfrac{1}{2^{n+1}}\ln (1+\dfrac{1}{u_{n}})$.\newline
En déduire que quels que soient les entiers naturels $p$ et $n$ :
\begin{equation*}
00$ par $%
\Gamma (x)=\int\limits_{0}^{+\infty }t^{x-1}\exp (-t)t$.
$\bullet $ Si $X$ suit une loi normale et si $\alpha $ est un réel non nul
alors $\alpha X$ suit également une loi normale.
On admettra que $\Gamma (\dfrac{1}{2})=\sqrt{\pi }$.
\subsection*{Partie 1}
On considère la variable aléatoire $Y_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}X_{i}^{2}$ où
$X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ sont $n$ variables aléatoires indépendantes,
suivant toutes une loi normale centrée réduite.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction de répartition $F_{Y_{1}}$ de $Y_{1}=X_{1}^{2}$.
\item En déduire que $Y_{1}$ est une variable aléatoire qui suit une loi
gamma dont on précisera les paramètres.
\item Justifier que $Y_{n}$ suit une loi gamma de paramètres $(2,\dfrac{n}{2}%
)$.
\item Donner les valeurs de l'espérance $E(Y_{n})$ et de la variance $%
V(Y_{n})$ de $Y_{n}$.
\item On dit alors que $Y_{n}$ suit une loi du \textit{Chi-deux} à $n$ degré%
s de liberté, notée $\chi ^{2}(n)$.\newline
Soient $G_{n}$ la fonction de répartition de $Y_{n}$ et $\beta $ un réel
dans l'intervalle $]0,1[$.\newline
Montrer qu'il existe un réel unique $t$ tel que $G_{n}(t)=\beta $. Ce réel
est alors noté $\chi _{\beta }^{2}(n)$. \bigskip
\end{enumerate}
\textit{Dans la suite du problème on considère une suite $%
(X_{i})_{i\geqslant 1}$ de variables aléatoires mutuellement indépendantes
suivant une même loi normale $\mathcal{N}(m,\sigma )$. L'objet des questions
suivantes est de déterminer une estimation ponctuelle (partie 2) puis une
estimation par intervalle de confiance (parties 3 et 4) de la variance $%
\sigma ^{2}$.} \bigskip Si $g$ est une fonction de $n$ variables réelles, et
si $Z_{n}=g(X_{1},\dots ,X_{n})$, on rappelle que :
$\bullet $ $g$ est un estimateur de $\theta $ ($Z_{n}$ est un estimateur de $%
\theta $) lorsque $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }E(Z_{n})=\theta $.
$\bullet $ L'estimateur $Z_{n}$ est dit sans biais lorsque pour tout $n$
entier naturel non nul : $E(Z_{n})=\theta $
$\bullet $ L'estimateur $Z_{n}$ est dit convergent lorsque : $%
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }V(Z_{n})=0$
\subsection*{Partie 2 Estimation ponctuelle de $\protect\sigma ^{2}$.}
Pour $n$ entier naturel non nul, on pose : $F_{n}=\dfrac{1}{n}%
\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i},\quad V_{n}=\dfrac{1}{n}\sum%
\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-F_{n})^{2}$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(F_{n})_{n\geqslant 1}$ est un estimateur convergent sans
biais de $m$.
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que :\quad $V_{n}=\dfrac{1}{n}\sum%
\limits_{i=1}^{n}X_{i}^{2}-\left( \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}%
\right) ^{2}$\newline
puis que :\quad $V_{n}=\dfrac{1}{n}\sum%
\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-m)^{2}-(F_{n}-m)^{2}$
\item Prouver que :\qquad $E(V_{n})=\dfrac{n-1}{n}\sigma ^{2}$
\item En déduire un estimateur sans biais de $\sigma ^{2}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie 3 Estimation par intervalle de confiance de $\protect%
\sigma ^{2}$, $m$ étant connue.}
Pour $n$ entier supérieur à $2$, on pose :
\begin{equation*}
U_{n}=\dfrac{1}{\sigma ^{2}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-m)^{2}\text{ et }T_{n}=%
\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-m)^{2}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Justifier que $U_{n}$ suit une loi du \textit{Chi-deux} à $n$ degrés
de liberté.
\item Soit $\alpha \in ]0,1[$. Montrer l'égalité des événements :
\begin{equation*}
\left[ \dfrac{nT_{n}}{\chi _{1-{\dfrac{\alpha }{2}}}^{2}(n)}\leqslant \sigma
^{2}\leqslant \dfrac{nT_{n}}{\chi _{\dfrac{\alpha }{2}}^{2}(n)}\right] \text{
et }\left[ \chi _{\dfrac{\alpha }{2}}^{2}(n)\leqslant U_{n}\leqslant \chi
_{1-{\dfrac{\alpha }{2}}}^{2}(n)\right]
\end{equation*}%
En déduire que la probabilité de l'événement $\left[ \dfrac{nT_{n}}{\chi _{1-%
{\dfrac{\alpha }{2}}}^{2}(n)}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant \dfrac{nT_{n}}{%
\chi _{\dfrac{\alpha }{2}}^{2}(n)}\right] $ est $1-\alpha $.
\end{enumerate}
\subsection*{Partie 4 Estimation par intervalle de confiance de $\protect%
\sigma ^{2}$, $m$ étant inconnue.}
$\mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ désigne l'ensemble des matrices à $n$
lignes et $1$ colonne à coefficients réels et $Id_{\mathbb{R}^{n}}$ l'identit%
é de $\mathbb{R}^{n}$.
Pour $n$ entier supérieur à $2$, on pose :
\begin{equation*}
M_{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i},\quad S_{n}=\dfrac{1}{n-1}%
\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-M_{n})^{2},\quad U_{n}=\dfrac{1}{\sigma ^{2}}%
\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-M_{n})^{2}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Soit $\varphi $ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{n}$ dont la matrice
dans la base canonique est $A$ définie par :
\begin{equation*}
A=(a_{i,j})_{\QATOP{1\leqslant i\leqslant n}{1\leqslant j\leqslant n}}\qquad
\text{avec}\quad
\begin{tabular}{lll}
$a_{i,i}$ & $=$ & $n-1$ \\
$a_{i,j}$ & $=$ & $-1$ si $i\neq j$%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
et $B$ la matrice de $\mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ dont tous les éléments
sont égaux à $1$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $A$ est une matrice diagonalisable.
\item Calculer le produit $AB$, en déduire une valeur propre de $A$ et un
vecteur propre de $A$ associé à cette valeur propre.
\item Montrer que :\qquad $\dim \func{Im}(\varphi -nId_{\mathbb{R}^{n}})=1$
\item En déduire la dimension de $\ker (\varphi -nId_{\mathbb{R}^{n}})$, les
valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice $A$.
\item Soit $W=%
\begin{pmatrix}
w_{1} \\
w_{2} \\
\vdots \\
w_{n}%
\end{pmatrix}%
$ la matrice des coordonnées d'un vecteur propre de $\varphi $ associé à la
valeur propre $n$. Prouver que : $\sum\limits_{i=1}^{n}w_{i}=0$.
\item Justifier l'existence d'une matrice $P$ inversible dont la dernière
colonne est proportionnelle à $B$ et d'une matrice diagonale $D$ que l'on dé%
terminera, telle que :\quad $P^{-1}AP=D$ avec $^{t}P=P^{-1}$\newline
(On ne demande pas la matrice $P$).
\item On note $(p_{i,j})_{\QATOP{1\leqslant i\leqslant n}{1\leqslant
j\leqslant n}}$ les coefficients de la matrice $^{t}P$; montrer que :
\begin{equation*}
\forall i\in \{1,..,n-1\},\quad \sum_{j=1}^{n}p_{i,j}=0
\end{equation*}%
puis que :\quad $\forall i\in {[\hspace{-0.15em}[1,n]\hspace{-0.13em}]}%
,\quad \sum\limits_{j=1}^{n}p_{i,j}^{2}=1$
\end{enumerate}
\item Soit $q$ l'application de $\mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ dans $%
\mathbb{R}$ définie par :
\begin{equation*}
\forall X=%
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}%
\end{pmatrix}%
\in M_{n,1}(R),\quad q(X)=\text{ }^{t}XMX\quad \text{où}\quad M=\dfrac{1}{n}A
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item On pose $Y=$ $^{t}PX$; montrer que : $q(X)=\dfrac{1}{n}^{t}YDY$\newline
puis que :\qquad \qquad $q(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\dfrac{1}{n}%
\sum\limits_{j=1}^{n}x_{j})^{2}$
\item En utilisant l'écriture $q(X)=\dfrac{1}{n}^{t}YDY$, montrer que :\quad
$q(X)=\sum\limits_{i=1}^{n-1}(\sum\limits_{j=1}^{n}p_{i,j}x_{j})^{2}$
\end{enumerate}
\item Pour tout $i$ de l'ensemble ${[\hspace{-0.15em}[1,n]\hspace{-0.13em}]}$%
, on pose : $Y_{i}=\sum\limits_{j=1}^{n}p_{i,j}X_{j}$
\begin{enumerate}
\item Justifier que $Y_{i}$ suit une loi normale puis montrer que $E(Y_{i})=0
$ et $V(Y_{i})=\sigma ^{2}$.
\item En utilisant les résultats de la question 4.2, montrer que : $U_{n}=%
\dfrac{1}{\sigma ^{2}}\sum\limits_{i=1}^{n-1}Y_{i}^{2}$
\item En admettant que les $(Y_{i})_{1\leqslant i\leqslant n-1}$ sont
mutuellement indépendantes, justifier que $U_{n}$ suit une loi du \textit{%
Chi-deux} à $n-1$ degrés de liberté.
\item Désormais, $\alpha $ désigne un réel appartenant à $]0,1[$. Montrer
que les événements :
\begin{equation*}
\left[ \dfrac{(n-1)S_{n}}{\chi _{1-{\dfrac{\alpha }{2}}}^{2}(n-1)}\leqslant
\sigma ^{2}\leqslant \dfrac{(n-1)S_{n}}{\chi _{\dfrac{\alpha }{2}}^{2}(n-1)}%
\right] \text{ et }\left[ \chi _{\dfrac{\alpha }{2}}^{2}(n-1)\leqslant
U_{n}\leqslant \chi _{1-{\dfrac{\alpha }{2}}}^{2}(n-1)\right]
\end{equation*}%
sont égaux.
\item En déduire que la probabilité de l'événement
\begin{equation*}
\left[ \dfrac{(n-1)S_{n}}{\chi _{1-{\dfrac{\alpha }{2}}}^{2}(n-1)}\leqslant
\sigma ^{2}\leqslant \dfrac{(n-1)S_{n}}{\chi _{{\dfrac{\alpha }{2}}}^{2}(n-1)%
}\right]
\end{equation*}%
est $1-\alpha $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}