%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\Huge EDHEC}
\textbf{School of management\vspace{3cm}}
{\large ECOLE DE\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES\ DU\ NORD\medskip }
{\large Concours d'admission sur classes préparatoires}
\underline{\hspace{3cm}}\bigskip
{\LARGE MATHEMATIQUES\medskip }
{\large Option générale et technologique\bigskip }
\textbf{Année 1984}{\large \bigskip }
\end{center}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : seule
l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\vspace{1cm}}
\noindent \textbf{L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel é%
lectronique est interdite.}\vspace{1cm}
\section*{I) Test sanguin}
On estime à 20\ \% le nombre de personnes atteintes d'une maladie A.\newline
Pour diagnostiquer cette maladie, on prélève sur les individus du sang. On
fait ensuite une analyse de ce sang pour dépister la maladie.\newline
Cette analyse coûte très cher, c'est pourquoi on propose d'opérer de la faç%
on suivante :\newline
On forme des groupes de $x$ personnes et on prélève une partie du sang de
chacun des personnes que l'on met dans une même éprouvette et on fait
l'analyse. Deux cas peuvent se produire :
\begin{enumerate}
\item[a)] L'analyse ne révèle pas de germe de la maladie et donc tous les
membres du groupe sont en bonne santé.
\item[b)] L'analyse révèle une présence de germes et dans ce cas, on refait
une analyse pour chacune des personnes du groupe.
\end{enumerate}
\noindent Le but du problème est de déterminer la taille $x^{0}$ du groupe
qui permet en moyenne (espérance) d'aboutir au nombre minimum d'analyses.
\begin{enumerate}
\item Pour chaque valeur de $x,$ déterminer le nombre moyen (espérance)
d'analyses par personne. On notera $f(x)$ ce nombre.
\item Etudier pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à $2,$ la fonction
$f.$ En particulier, on étudiera le signe de la dérivée seconde.
\item En ne perdant pas de vue que la valeur $x^{0}$ est un nombre entier,
trouver cette valeur en vous servant de la question précédente. On
justifiera la réponse.
\item Un hôpital décide d'effectuer par jour l'analyse sur $n$ groupes de $%
x^{0}$ individus. On note $X$ le nombre d'analyses réalisés par l'hôpital
pendant une journée.\newline
Montrer qu'il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que la loi de la variable $%
Y=aX+b$ peut-être approximée par une loi binômiale dont on précisera les
paramètres.
\item Déterminer la probabilité pour que la variable $X$ soit supérieure au
nombre d'analyses que l'on ferait si on opérait de façon classique (une
analyse par individu).\newline
On calculera cette probabilité pour $n=4$ et pour $n=50.$\newline
On voudrais généraliser cette méthode à n'importe quel type de maladie pour
laquelle on connait la proportion de personnes atteintes.\newline
On ne suppose donc plus que cette proportion égale à 20\ \% mais à un
certain nombre $p$ compris entre $0$ et $1.$
\item Déterminer la plus petite valeur $\widetilde{p}$ telle que pour toute
valeur $p$ supérieure à $\widetilde{p},$ le nombre optimal $x^{0}(p)$ associé
à $p$ soit $1$ (c'est-à-dire une analyse par individu).
\item On définit la fonction $g$ suivante :%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{llll}
g: & ]0,1[ & \rightarrow & \mathbb{N} \\
& p & \mapsto & x^{0}(p)%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item Montrer que $g$ est une fonction en escalier décroissante.
\item Montrer que $\lim\limits_{p\rightarrow 0}g(p)=+\infty $
\item Montrer que $\lim\limits_{p\rightarrow 1}g(p)=1$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\section*{II) Longueur d'une piste}
On vous demande de concevoir une piste de ski. On vous impose au départ une
forme approximative pour qu'elle comporte un certain nombre de difficultés.
Enfin, on vous précise quelle longueur doit faire la piste.\newline
Vous avez donc à résoudre le problème suivant :\newline
On vous donne une fonction $f$ définie sur $[a,b]$ et on désire calculer la
longueur de l'arc de la courbe formé par le graphe de cette fonction entre
les points de coordonnées $(a,f(a))$ et $(b,f(b)).$\newline
On suppose $f$ continue et dérivable sur l'intervalle $[a,b]$ et $f^{\prime }
$ continue sur $[a,b].$
\begin{enumerate}
\item Soit $(a_{0},a_{1},...,a_{n})$ une subdivision de l'intervalle $[a,b]$
(c'est-à-dire $a_{0}=a