<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}


\begin{center}
{\Huge EDHEC}

\textbf{School of management\vspace{3cm}}

{\large ECOLE DE\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES\ DU\ NORD\medskip }

{\large Concours d'admission sur classes préparatoires}

\underline{\hspace{3cm}}\bigskip

{\LARGE MATHEMATIQUES\medskip }

{\large Option technologique\bigskip }

\textbf{Année 1986}{\large \bigskip }
\end{center}

\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}

\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : seule
l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\vspace{1cm}}

\noindent \textbf{L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel é%
lectronique est interdite.}\vspace{1cm}

\begin{itemize}
\item[A)] La difficulté de tous les problèmes est progressive.

Pour démontrer votre faculté de raisonnement mathématique nous vous
conseillons de traiter en priorité un problème le plus complétement
possible, plutôt que de traiter des questions éparses dans tous les problè%
mes.

\item[B)] Pour résoudre une question d'un problème, vous pouvez, si vous
l'estimez nécessaire, utiliser les résultats des question précédentes, même
si vous ne les avez pas résolues.

\item[C)] Les questions notées $\bullet$ en marge, sont considérées comme é%
tant difficiles.
\end{itemize}

\section*{PROBLEME D'ANALYSE : RECHERCHE D'UN OPTIMUM}

En général, quand on veut trouver un optimum d'une fonction, on utilise la
condition nécessaire d'annulation de la dérivée.\vspace{0.2cm}\newline
Cette condition n'est malheureusement pas toujours vérifiée. Nous allons
trouver une méthode permettant de retrouver cette dernière.\vspace{0.5cm}%
\newline
Cette méthode s'applique surtout aux fonctions de $\mathbb{R}^{n}$ dans $%
\mathbb{R}$ pour des problèmes d'optimisation sous containtes. L'étude des
fonctions à plusieurs variables n'étant pas au programme, nous donnerons ici
le principe pour les fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie par : 
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{cccl}
f: &amp; [1,2] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{R} \\ 
&amp; x &amp; \mapsto &amp; f(x)=x^{2}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Déterminer le maximum et le minimum de cette fonction sur $[1,2]$ et vé%
rifier que, pour ces minimum et maximum, la dérivée n'est pas nulle.
\medskip \newline
H1 \hspace{0.3cm}Dans le reste du problème $(a,b)$ sera un couple de réels
avec $a&lt;b$ et $f$ une fonction définie continue et dérivable sur $[a,b]$.

\item Rappeler brièvement pourquoi $f$ admet au moins un maximum global et
un minimum global.\medskip \newline
A) RECHERCHE D'UN MINIMUM\newline
On fait pour questions allant de 3 à 8 l'hypothèse supplémentaire suivante :
\bigskip \newline
H2 \hspace{0.3cm} $f^{\prime }(a)\geqslant 0$ et $f^{\prime }(b)\leqslant 0$%
\newline
nous allons prolonger $f$ sur $\mathbb{R}$ et nous nommerons $\overline{f}$
la fonction définie comme suit : 
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{ccccc}
f: &amp; \mathbb{R} &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{R} &amp; n\text{ entier naturel} \\ 
&amp; x &amp; \mapsto &amp;  &amp; \left\{ 
\begin{array}{ll}
\overline{f}(x)=f(a)+\dfrac{f^{\prime }(a)}{e^{1/n}-1}\left(
(x-a)e^{1/n}+e^{a-x}-1\right) \medskip &amp; \text{si }x&lt;a \\ 
\overline{f}(x)=f(x)\medskip &amp; \text{si}a\leqslant x\leqslant b \\ 
\overline{f}(x)=f(b)+\dfrac{f^{\prime }(b)}{e^{1/n}-1}\left(
(x-a)e^{1/n}-e^{x-b}+1\right) \medskip &amp; \text{si }x&gt;b%
\end{array}%
\right.%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

\item Montrer que $\overline{f}$ est définie sur tout $\mathbb{R}$.

\item Montrer que $\overline{f}$ est continue et dérivable sur tout $\mathbb{%
R}$.

\item Montrer que :

\begin{enumerate}
\item $f^{\prime }(a)\neq 0\Rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }%
\overline{f}(x)=+\infty $

\item $f^{\prime }(b)\neq 0\Rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }%
\overline{f}(x)=+\infty $
\end{enumerate}

\item Déduire que $\overline{f}$ admet au moins un minimum global et que ce
minimum a une dérivée nulle.

\item $\,$

\begin{enumerate}
\item Dessiner une fonction $f$ (sans en préciser la formule) sur un
intervalle $[a,b]$ (sans donner de valeurs précises à $a$ et $b$) vérifiant
les hypothèses H1 et H2.

\item Faites l'étude de la fonction $\overline{f}$ pour $x\leqslant a$ et $%
x\geqslant b$.

\item Représenter graphiquement $\overline{f}$.
\end{enumerate}

\item On note $E$ l'ensemble $E=\{x\in \mathbb{R}\;/\;\;\overline{f^{\prime }%
}(x)=0\}$ et $x_{0}$ un minimum global de $f$ définie sur $[a,b]$. Montrer
qu'il existe $x$ élément de $E$ tel que\quad $|x-x_{0}|\leqslant 1/n$.

\item Que proposez-vous pour $\overline{f}$ si $f^{\prime }(a)\leqslant 0$
et $f^{\prime }(b)\geqslant 0$ ?\bigskip \newline
\hspace{-1cm}\noindent B) RECHERCHE D'UN MAXIMUM\newline
On prend comme nouvelle l'hypothèse\newline
H3 \hspace{0.3cm} $f^{\prime }(a)\leqslant 0$ et $f^{\prime }(b)\geqslant 0$

\item Proposer une fonction $\overline{f}$ permettant de trouver un maximum
global de $f$ approché à $1/n$ près.\bigskip \newline
C) AMELIORATION DE LA SOLUTION\newline
Proposer une fonction $\overline{f}$ permettant de trouver un optimum non
plus à $1/n$ près mais à $1/n^{2}$ près.
\end{enumerate}

\section*{PROBLEME DE PROBABILITE : THEORIE DE L'INFORMATION}

Nous avons tous été amenés, pour obtenir un renseignement, à poser des
questions de type dichotomique (c'est-à-dire : réponses possibles oui ou
non). \medskip \newline
La théorie de l'information traite ce genre de problème, et plus précisément
: \textquotedblright Combien de questions de type dichotomique faut-il
poser, pour obtenir une information\textquotedblright . \medskip \newline
Précisons que cette théorie est d'une utilité certaine pour quantifier
l'information en statistiques. \medskip \newline
Nous formaliserons le problème sous forme de jeu. Nous disposons de $k$ boî%
tes numérotées de 1 à $k$ ($k$ entier naturel strictement positif). Un objet
est placé au hasard dans l'une de ces boîtes (l'objet a une probabilité $1/k$
d'être dans l'une des boîtes). Un animateur sait dans quelle boîte est placé
l'objet et vous devez retrouver l'objet en lui posant un minimum de
questions de type dichotomique. \medskip \newline
L'objet des parties A, B, C, D n'est pas de trouver la façon optimale de
poser des questions (ce qui vous est précisé dès la question 1) mais de
compter le nombre de questions à poser pour chaque valeur de $k$. \medskip 
\newline
Dans le reste du problème, on note $X_{k}$ le nombre de questions posées
pour trouver l'objet et $Y$ le numéro de la boîte cherchée.

\subsection*{A) $k$ EST UNE PUISSANCE DE 2.}

\begin{enumerate}
\item $k=16$%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{cc}
QUESTION n$°$ 1 &amp;  \\ 
&amp; \underline{$Y$ est-il inférieur ou égal à 8 ?} \\ 
\begin{tabular}{c}
\\ 
Réponses possibles \\ 
QUESTION n$°$ 2 \\ 
\\ 
\\ 
\\ 
Réponses n$°$ 2%
\end{tabular}
&amp; 
\begin{tabular}{c}
\begin{tabular}{rrrr}
&amp; $\swarrow $ &amp; $\searrow $ &amp;  \\ 
oui &amp;  &amp;  &amp; \multicolumn{1}{l}{non} \\ 
$\swarrow $ &amp;  &amp;  &amp; \multicolumn{1}{l}{$\searrow $} \\ 
&amp;  &amp;  &amp;  \\ 
\multicolumn{1}{c}{%
\begin{tabular}{l}
$Y$ est-il inférieur ou égal à 4 ? \\ 
\multicolumn{1}{c}{%
\begin{tabular}{llll}
&amp; $\swarrow $ &amp; $\searrow $ &amp;  \\ 
oui &amp;  &amp;  &amp; non%
\end{tabular}%
}%
\end{tabular}%
} &amp;  &amp;  &amp; 
\begin{tabular}{l}
$Y$ est-il inférieur ou égal à 12 ? \\ 
\multicolumn{1}{c}{%
\begin{tabular}{llll}
&amp; $\swarrow $ &amp; $\searrow $ &amp;  \\ 
oui &amp;  &amp;  &amp; non%
\end{tabular}%
}%
\end{tabular}%
\end{tabular}%
\end{tabular}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
On réitère l'opération, en découpant chaque fois en deux parties égales.

\begin{itemize}
\item[-] Montrer que $X_{16}$ est toujours égal à 4.
\end{itemize}

\item $k=32$.

\begin{itemize}
\item[-] En opérant de façon analogue, et en utilisant la question précé%
dente, montrer que $X_{32}$ est toujours égal à 5.
\end{itemize}

\item $k=2^{n}$ ($n$ entier naturel strictement positif).

\begin{itemize}
\item[-] En posant toujours les mêmes questions, montrer par récurrence que $%
X_{k}$ est toujours égal à $n$.\bigskip
\end{itemize}

\noindent B) $k$ QUELCONQUE

\item $k=17$\medskip

\begin{itemize}
\item Le découpage, pour déterminer les questions à poser à l'animateur, se
fera à chaque étape de la façon suivante : \medskip

\item Si le nombre de boîtes restantes est pair, on partage en deux parties é%
gales comme précédemment. Si le nombre est impair, on partage comme précé%
demment en deux parties en mettant systématiquement une boîte de plus dans
la deuxième partie. (ex. : si $Y$ est compris entre 9 et 17, la première
partie sera formée des boîtes 9, 10, 11, 12 et la deuxième partie sera formé%
e des boîtes 13, 14, 15, 16, 17). La question posée à l'animateur sera donc :
\end{itemize}

\noindent $Y$ est-il inférieur ou égal à 12 ?\newline
$X_{17}$ est une variable aléatoire où $\Omega $ est l'ensemble des numéros
de boîtes possibles (c'est-à- dire $\Omega =\{1,2,3,\ldots ,16,17\}$).

\begin{enumerate}
\item Montrer que $X_{17}$ peut prendre deux valeurs.

\item Trouver la loi de $X_{17}$.
\end{enumerate}

\item Résoudre la question précédente avec : 
\begin{equation*}
k=18\qquad k=19\qquad k=20\qquad k=21
\end{equation*}

\item On note $a_{k}$ le nombre de cas où l'on pose 4 questions et $b_{k}$,
le nombre de cas où l'on pose 5 questions et on suppose $16&lt;k&lt;32$.

\begin{enumerate}
\item Etablir les formules suivantes : 
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
a_{k+1}=a_{k}-1 \\ 
b_{k+1}=b_{k}+2%
\end{array}%
\end{equation*}

\item En déduire $E(X_k)$ en fonction de $k$.
\end{enumerate}

\item En s'inspirant des questions précédentes, trouver pour toutes valeurs
de $k$, la loi et l'espérance de $X_{k}$.\bigskip \newline
C) INFORMATION APPORTEE PAR LA CONNAISSANCE D'UN CRITERE\newline
On suppose maintenant en plus, que les boîtes sont peintes dans des couleurs
différentes. \medskip \newline
On notera $E_{j}$ l'ensemble des boîtes peintes avec la $j-$ième couleur ($%
j\in \{1,2,\ldots ,q\}$) et $p_{j}$ le nombre $\dfrac{\func{card}(E_{j})}{k}$%
\newline
Vous connaissez la couleur de toutes les boîtes et le jeu se passe de la faç%
on suivante: \medskip \newline
L'animateur place au hasard l'objet dans l'une des boîtes, puis vous précise
la couleur de cette boîte.

\item On note $X1_{k}$ le nombre de questions posées avec cette nouvelle rè%
gle.

\begin{enumerate}
\item Que représente $X_{k}-X1_{k}$ .

\item Calculer $E(X_{k}-X1_{k})$.\bigskip
\end{enumerate}

\noindent D) UN JOUEUR RECHERCHE SIMULTANEMENT PLUSIEURS OBJETS.\newline
On ne vous propose plus de rechercher un objet placé dans l'une des $k$ boî%
tes, mais de rechercher $r$ objets. Pour cela, l'animateur dispose de $r$
paquets de $k$ boîtes, le premier objet est placé au hasard dans l'une des bo%
îtes du premier paquet, le deuxième dans l'une des boîtes du deuxième
paquet, etc $\ldots $ Une première façon de jouer consiste à rechercher le
premier objet,puis le deuxième objet et ainsi de suite.

\item Montrer qu'il existe une autre façon de jouer pour trouver les $r$
objets en posant moins de questions en moyenne.

\item On a admis dans les questions précédentes l'optimalité du découpage
pour poser des questions.\newline
Montrer que parmi tous les découpages possibles, celui qui vous a été indiqué
en début du problème est celui qui permet de poser en moyenne le moins de
questions possibles.
\end{enumerate}

\section*{PROBLEME D'ALGEBRE : METHODE DU SIMPLEXE}

Le but du problème est de chercher une méthode rapide pour déterminer un
point $(x_{0},y_{0})$ de $\mathbb{R}^{2}$, solution du problème suivant : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{rl}
Max &amp; $ax+by$\qquad avec $\;a&gt;0,\;\;b&gt;0$ \\ 
&amp;  \\ 
a) &amp; $x\geqslant 0\qquad y\geqslant 0$ \\ 
b) &amp; $x+2y\leqslant 42$ \\ 
c) &amp; $x+y\leqslant 22$ \\ 
d) &amp; $2x+y\leqslant 26$ \\ 
e) &amp; $3x+y\leqslant 32$ \\ 
f) &amp; $4x+y\leqslant 40$ \\ 
&amp; 
\end{tabular}%
\end{equation*}
On note $D$ l'ensemble des couples $(x,y)$ vérifiant simultanément les
conditions a),b), c), d), e), f).\newline
De plus, on note $D1$ l'ensemble des couples $(x,y)$ vérifiant simultanément
les conditions a'),b'), c'), d'), e'), f') avec 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{rl}
a') &amp; $x&gt;0\qquad y&gt;0$ \\ 
b') &amp; $x+2y&lt;42$ \\ 
c') &amp; $x+y&lt;22$ \\ 
d') &amp; $2x+y&lt;26$ \\ 
e') &amp; $3x+y&lt;32$ \\ 
f') &amp; $4x+y&lt;40$ \\ 
&amp; 
\end{tabular}%
\end{equation*}
Enfin on définit les points suivants : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{rl}
$M_{0}$ &amp; le point $(0,0)$ \\ 
$M_{1}$ &amp; le point d'intersection de la droite d'équation \\ 
&amp; $x+2y=42$ avec l'axe des ordonnées \\ 
$M_{2}$ &amp; le point d'intersection des droites d'équation \\ 
&amp; $x+2y=42$ et $x+y=22$ \\ 
$M_{3}$ &amp; le point d'intersection des droites d'équation \\ 
&amp; $x+y=22$ et $2x+y=26$ \\ 
$M_{4}$ &amp; le point d'intersection des droites d'équation \\ 
&amp; $2x+y=26$ et $3x+y=32$ \\ 
$M_{5}$ &amp; le point d'intersection des droites d'équation \\ 
&amp; $3x+y=32$ et $4x+y=40$ \\ 
$M_{6}$ &amp; le point d'intersection des droites d'équation \\ 
&amp; $4x+y=40$ et l'axe des abscisses \\ 
$M_{7}$ &amp; le point $(0,0)$ \\ 
&amp; 
\end{tabular}%
\end{equation*}
Chacun de ces points sera appelé un sommet, les coordonnées des points $%
M_{i} $ seront notées $x_{i}$ et $y_{i}$.

\begin{enumerate}
\item \thinspace

\begin{enumerate}
\item Montrer que le couple $(0,0)$ appartient à $D$.

\item Montrer que $D$ contient une infinité de points.
\end{enumerate}

\item Montrer qu'il existe un nombre $M$ positif tel que : $\;(x,y)\in
D\Rightarrow x\leqslant M$ et $y\leqslant M$\newline
On note $S$ et $F$ les ensembles suivants : 
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
S=\{(x,y)\in D\;/\;\forall (z,t)\in D,\;\;az+bt\leqslant ax+by\} \\ 
F=D-D1%
\end{array}%
\end{equation*}%
$S$ est un ensemble non vide, on ne le démontrera pas.

\item \thinspace

\begin{enumerate}
\item Dessiner le domaine $D$.

\item Montrer que, pour tout élément $(x,y)$ de $D1$, il existe $i$ tel que
: 
\begin{equation*}
x_{i-1}\leqslant x\leqslant x_{i}\qquad i\geqslant 1
\end{equation*}

\item En déduire qu'il existe un élément $(u,v)$, élément de $F$, tel que $%
ax+by\leqslant au+bv$.
\end{enumerate}

\item Soit $M$ un point de $S$ élément de $]M_{i},M_{i+1}[$.\newline
Montrer que $M_{i}$ et $M_{i+1}$ sont des éléments de $S$.\newline
Rappel : Si $M$ un élément de $]M_{i},M_{i+1}[$ alors il existe un nombre $t$
compris entre 0 et 1 strictement tel que $M=tM_{i}+(1-t)M_{i+1}$

\item En déduire que $\{M_{0},M_{1},\ldots ,M_{7}\}\cap S\neq \emptyset $.

\item Soit $M_{j},M_{j+1},M_{j+2}$ trois sommets consécutifs et $M_{i}$ un
sommet différent des trois précédents.

Montrer que l'intersection des segments d'extrémités $M_{j},M_{j+2}$ d'une
part et $M_{i},M_{j+1}$ d'autre part est réduite à un élément de $D$.

\item Soit $M_{j},M_{j+1},M_{j+2}$ trois sommets consécutifs de coordonnées
respectives $(x_{j},y_{j})\,\;$ $(x_{j+1},y_{j+1})\,\;$ $(x_{j+2},y_{j+2})$
tels que : 
\begin{equation*}
\begin{array}{lcl}
ax_{j}+by_{j} &amp; \leqslant &amp; ax_{j+1}+by_{j+1} \\ 
ax_{j+2}+by_{j+2} &amp; \leqslant &amp; ax_{j+1}+by_{j+1}%
\end{array}%
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout sommet $M_{i}$ de coordonnées $(x_{i},y_{i})$
on a l'inégalité suivante : 
\begin{equation*}
ax_{i}+by_{i}\leqslant ax_{j+1}+by_{j+1}
\end{equation*}

\item En déduire que $M_{j+1}$ est un élément de $S$.
\end{enumerate}

\item En partant du point $M_{0}$, déterminer une méthode permettant de
trouver une solution au problème initial, parmi les sommets et ce sans dé%
crire nécessairement tous les sommets.

\item Soit $M_{i}$ un sommet élément de $S$.
\end{enumerate}

\begin{itemize}
\item Montrer que pour un faible accroissement de $a$ ou de $b$, $M_{i}$ est
encore un élément de $S$.
\end{itemize}

\label{fin}

\end{document}
</pre></body></html>