%BECHATA Abdellah %www.mathematiques.fr.st \documentclass[a4paper,french,11pt]{article} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{amssymb} \usepackage{graphicx} \usepackage{amsmath} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[a4paper]{geometry} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \setcounter{MaxMatrixCols}{10} %TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL} %TCIDATA{Version=5.00.0.2552} %TCIDATA{} %TCIDATA{Created=Wednesday, August 25, 2004 12:05:10} %TCIDATA{LastRevised=Saturday, August 28, 2004 10:44:52} %TCIDATA{} %TCIDATA{} %TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst} \geometry{margin={1cm,2cm}} \pagestyle{fancy} \cfoot{\thepage/\pageref{fin}} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \input{tcilatex} \begin{document} \begin{center} {\Huge EDHEC} \textbf{School of management\vspace{3cm}} {\large ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD\medskip } {\large Concours d'admission sur classes préparatoires} \underline{\hspace{3cm}}\bigskip {\LARGE MATHEMATIQUES\medskip } {\large Option scientifique, économique et technologique\bigskip } \textbf{Année 1987}{\large \bigskip } \end{center} \noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.} \noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.} \noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\vspace{1cm}} \noindent \textbf{L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel é% lectronique est interdite.}\vspace{1cm} \section*{ALGEBRE: EVOLUTlON D'UN MARCHE :} Trois entreprises (numérotées 1, 2 et 3) vendent un produit et sont directement en concurrence sur ce produit. La répartition des ventes entre les entreprises évoluent d'une période à l'autre. Pour mesurez cette ré% partition, on calcule les parts de marché.. Parts de marché si \begin{itemize} \item l'entreprise N°1 vend 200 produits \item l'entreprise N°2 vend 125 produits \item l'entreprise N°3 vend 175 produits \end{itemize} il y a 500 produits vendus et les pars de marché respectives seront de : \begin{itemize} \item entreprise N°1 : 200/500 = 0,4 \item entreprise N°2 : 125/500 = 0,25 \item entreprise N°3 : 175/500 = 0,35 \end{itemize} Les parts de marché de la période $n$ seront notées $p_{1}(n),$ $p_{2}(n)$ et $p_{3}(n)$. La période initiale sera la période 0. D'une période à l'autre, les parts de marché évoluent par le jeu de coefficients d'absorption $a_{i,j}$ $(i$ et $j$ indices d'entreprises).\newline Coefficients d'absorption: En prenant les parts de marché précédentes, $% a_{1,2}=0,6$ signifie que 60 \% du marché de l'entreprise N°2 va revenir à l'entreprise N°1 , en l'occurrence 60\% de 25\% du marché total.\newline Enfin, on supposera que d'une période à l'autre, les coefficients d'absorption ne varient pas.\newline Le but du problème est d'étudier l'évolution des parts de marché. \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall j\in \{1,2,3\},\qquad a_{1,j}+a_{2,j}+a_{3,j}=1$ \item Etablir l'égalité suivante $% \begin{pmatrix} p_{1}(1) \\ p_{2}(1) \\ p_{3}(1)% \end{pmatrix}% =A% \begin{pmatrix} p_{1}(0) \\ p_{2}(0) \\ p_{3}(0)% \end{pmatrix}% $ où $A$ est la matrice (3,3) de terme général $a_{i,j}$ \item \thinspace \begin{enumerate} \item Etablir l'égalité suivante $\left( \begin{array}{c} p_{1}(n) \\ p_{2}(n) \\ p_{3}(n)% \end{array}% \right) =A^{n}% \begin{pmatrix} p_{1}(0) \\ p_{2}(0) \\ p_{3}(0)% \end{pmatrix}% $ \item Montrer que $\forall j\in \{1,2,3\}\qquad a(n)_{1,j}+a(n)_{2,j}+a(n)_{3,j}=1$ où $a(n)_{i,j}$ est le terme général de la matrice $A^{n}$ \item Que représente les termes $a(n)_{i,j}?$ \end{enumerate} Dans ce qui suit, on supposera que $A$ est diagonalisable et que toutes ses valeurs propres sont simples et différentes de -1 \item Montrer que 1 est valeur propre de la matrice $A$ \item Montrer que les autres valeurs propres sont en valeur absolue, strictement inférieures à 1 \item En déduire l'évolution des parts de marché à long terme. \end{enumerate} \section*{PROBABILITE : THEORIE DES TESTS (Option générale)} On dispose de deux machines A et B. Chaque machine a pour fonction de géné% rer un nombre sur un écran. On peut considérer que les nombres générés par chacune d'elle sont des réalisations d'une variable aléatoire normale. On suppose de plus que les réalisations successives d'une machine sont indé% pendantes.\newline On note $X_{A}$ la variable aléatoire générée par la machine A. L'espérance de $X_{A}$ est égale à 4 et son écart-type égal à 1.\newline On note $X_{B}$ la variable aléatoire générée par la machine B. L'espérance de $X_{B}$ est égale à 4,5 et son écart-type égal a 1.\newline Un animateur choisit au hasard, l'une des deux machines. Puis il génère 100 valeurs à l'aide de cette machine, dont il calcule la moyenne notée $X$.% \newline 11 communique la valeur de $X$ à un joueur qui ne sait pas quelle machine a é% té choisie.\newline Le but du joueur est dans la mesure da possible de trouver la machine qui a é% té choisie, en connaissant la valeur de $X$. \begin{enumerate} \item \thinspace \begin{enumerate} \item Montrer que pour toute valeur de $X$, le joueur ne peut affirmer avec certitude quelle machine a été choisie. \item Quelle est la loi de $X$ si la machine A a été choisie ? \item Quelle est la loi de $X$ si la machine B a eté choisie ?\newline (Rappel toute combinaison linéaire de variables normales indépendantes est une variable normale) \end{enumerate} \item Le joueur décide de parier sur l'une des deux machines en adoptant une certaine règle.\newline On définit les éléments suivants :% \begin{equation*} \begin{tabular}{ll} $D_{A}$ le joueur parie sur A & $\qquad D_{B}$ le joueur parie sur B \\ $R_{A}$ l'animateur a choisi A & $\qquad R_{B}$ l'animateur choisit B% \end{tabular}% \end{equation*}% On définit les probabilités suivantes : $p_{1}=P_{R_{A}}(D_{B})\qquad p_{2}=P_{R_{B}}(D_{A})$ \begin{enumerate} \item Que représente $p_{1}$ et $p_{2}$ ?\newline Le joueur décide d'adopter la règle (1) suivante :\newline Il se donne un réel $p$ compris entre 0 et 0,05. Puis il cherche $x$ tel que $P_{R_{A}}(X>x)
x)$ la plus petite possible?% \newline Si la valeur de X donnée par l'animateur est supérieure à $x$, la joueur parie sur A, sinon sur B. \begin{enumerate} \item Montrer que pour la même valeur de $p$, la valeur $p_{2}$ est plus grande quand le joueur applique la règle (2) plutôt que la règle (1). \item Si vous aviez à choisir l'une des deux règles, laquelle choisirez - vous t pourquoi ? \end{enumerate} \item En revenant à la règle (1) et pour la valeur de $p$ donnée, que pourrait demander le joueur à l'animateur pour diminuer la valeur de $p_{2}$ ?\newline \textit{Table de valeur de la fonction de répartition de la loi normale donné% e.} \end{enumerate} \section*{PROBABILITES : JEU A SOMME CONSTANTE (Option Economique Technologique)} Deux joueurs (nommés A et B) jouent l'un contre l'autre. Chaque joueur possè% de deux jetons au départ. Le jeu se déroule de la façon suivante :\newline Le jeu est décomposé en une succession d'épreuves indépendantes. Pour une é% preuve, chaque joueur mise un jeton. Il y a un gagnant et un perdant à la fin de chaque épreuve, le gagnant ramasse la mise. le jeu se termine quand l'un des joueur n'a plus de quoi miser. A chaque épreuve, le joueur A a une probabilité $p$ $(p$ fixé ) de remporter l'épreuve.\newline On note $JA_{i}$ la variable aléatoire donnant le nombre de jetons que possè% de A à la fin de l'épreuve n° i.\newline On note $G_{A}$ l'événement "A gagne le jeu " \begin{enumerate} \item \thinspace \begin{enumerate} \item Décrire, sous forme d'un arbre, les différentes valeurs possibles de $% JA_{i}$ à la fin des épreuves 1 et 2. On affectera dans cet arbre les probabilités correspondantes \item Montrer que $P_{JA_{2}=2}(G_{A})=P(G_{A})$ \item En déduire la valeur de $P(G_{A})$ \end{enumerate} \item \thinspace \begin{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'épreuves jouées sachant que le joueur A gagne le jeu. déterminer la loi de $X$ \item On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre d'épreuves jouées ne sachant pas quel gagne joueur le jeu. déterminer la loi de $Y$ \end{enumerate} \item Refaire le calcul de $P(G_{A})$, en accordant en début de jeu, un jeton au joueur A et trois jetons au joueur B \end{enumerate} \section*{ANALYSE : PROGRAMMATION LINEAIRE} Soient $L$ un nombre réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul. On définit l'ensemble $D(n,L)$ par \begin{equation*} D(n,L)=\left\{ (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in \mathbb{R}^{n}\text{ tel que }% a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=L\text{ et }a_{1}\geqslant 0,a_{2}\geqslant 0\ldots a_{n}\geqslant 0\right\} \end{equation*}% De même, on définit $S(n,L)$ par : \begin{equation*} S(n,L)=\left\{ (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\in D(n,L)\text{ tel que}\mathtt{:}% \forall (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in D(n,L),a_{1}\times a_{2}\times \cdots \times a_{n}\leqslant b_{1}\times b_{2}\times \cdots \times b_{n}\right\} \end{equation*}% Le but du problème est de trouver le ou les éléments de $S(n,L)$. Pour chercher ce ou ces éléments, nous allons d'abord montrer que ce problème se ramène à la recherche de n maxima de fonctions numériques. puis on en dé% duira le résultat. \begin{enumerate} \item Cas particulier $n=2$. \begin{enumerate} \item Reformuler le problème, en supprimant du produit les inconnues $a_{2}$ et $b_{2}$. \item Trouver le ou les éléments de $S(2,L)$. \end{enumerate} \item Cas général : $n$ quelconque supérieur ou égal à 1. \begin{enumerate} \item Soit $(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ un élément de $S(n,L)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $b_{i}$ est strictement positif pour tout élément de $% (1,2,\ldots ,n)$. \item Montrer que $(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ est un élément de $% S(n-1,L-b_{n})$. \end{enumerate} \item En déduire, en raisonnant par récurrence que $S(n,L)$ est réduit au seul élément $(L/n,L/n,\ldots ,L/n)$ \end{enumerate} \emph{Option générale seule} \item On munit $\mathbb{R}^{3}$ d'un repère orthogonal $(\overrightarrow{OA},% \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})$ tel que : $\Vert \overrightarrow{OA% }\Vert =\Vert \overrightarrow{OB}\Vert =\Vert \overrightarrow{OC}\Vert =3$% \newline ($\Vert \overrightarrow{V}\Vert $ désigne la norme classique c.a.d $\Vert \overrightarrow{V}\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ où $x,y$ et $z$ sont les coordonnées de $V$). \begin{enumerate} \item $O,A,B$ et $C$ déterminent un parallélépipède (Cf figure). montrer que le parallélépipède de plus grand volume est celui correspondant à un repère orthonormé\newline %TCIMACRO{% %\FRAME{dtbpF}{7.5125cm}{7.5125cm}{0pt}{}{}{edhec_1987_g_e_t.jpg}{% %\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 7.5125cm;height 7.5125cm;depth 0pt;original-width 20.3737cm;original-height 20.3737cm;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'edhec_1987_G_E_T.jpg';file-properties "XNPEU";}}}% %BeginExpansion \ifcase\msipdfoutput \FRAME{dtbpF}{7.5125cm}{7.5125cm}{0pt}{}{}{edhec_1987_g_e_t.jpg}{% \special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 7.5125cm;height 7.5125cm;depth 0pt;original-width 20.3737cm;original-height 20.3737cm;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'edhec_1987_G_E_T.jpg';file-properties "XNPEU";}}% \else \begin{center} \includegraphics[ natheight=20.3737cm, natwidth=20.3737cm, height=7.5125cm, width=7.5125cm] {D:/abdellah/mes_maths/enseignement/concours_phec/temp/abdellah/swp/graphiques/edhec_1987_G_E_T__1.pdf}% \end{center} \fi %EndExpansion \item généraliser le résultat précédent à $\mathbb{R}^{n}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \label{fin} \end{document}