%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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%TCIDATA{Created=Sunday, August 22, 2004 21:05:07}
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\begin{document}
\begin{center}
{\Huge EDHEC}
\textbf{School of management\vspace{3cm}}
{\large ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD\medskip }
{\large Concours d'admission sur classes préparatoires}
\underline{\hspace{3cm}}\bigskip
{\LARGE MATHEMATIQUES\medskip }
{\large Option économique\bigskip }
\textbf{Année 1997}{\large \bigskip }
\end{center}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : seule
l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\vspace{1cm}}
\noindent \textbf{L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel é%
lectronique est interdite.}\vspace{1cm}
\section*{Exercice 1}
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $f_{n}$ la fonction définie
par :
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}_{+}^{\times },\quad f_{n}(x)=x-n.\ln (x).
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Etudier cette fonction et dresser son tableau de variations.
\item En déduire, lorsque $n$ est supérieur ou égal à $3$, l'existence de
deux réels $u_{n}$ et $v_{n}$ solutions de l'équation $f_{n}(x)=0$ et vé%
rifiant $02\ln (n)$.
\item En déduire le signe de $f_{n}(2n.\ln (n))$, puis établir que : $n\ln
\left( n\right) k\right) =\dfrac{A_{n}^{k}}{n^{k}}$ }\newline
Rappel : $A_{n}^{k}$ désigne le nombre d'arrangements de $k$ éléments d'un
ensemble à $n$ éléments.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item {\ Montrer que : }$\forall k${$\in \lbrack \lbrack 2,n]],\quad
p(N=k)=p(N>k-1)-p(N>k)$. }
\item {Calculer $p(N=n+1)$ puis en déduire la loi de }$N{.}$
\end{enumerate}
\item Montrer que l'espérance $E(N)$ de la variable {aléatoire} $N$ est : $%
E\left( N\right) =\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{A_{n}^{k}}{n^{k}}$
\end{enumerate}
\subsection*{Partie II}
Soit $X$ une variable aléatoire, à valeurs dans $\mathbb{R}_{+},$ de densité
$f$ (nulle sur $\mathbb{R}_{-}^{\times })$ et de fonction de répartition $F.$
On suppose, de plus, $f$ continue sur $\mathbb{R}_{+}.$\newline
On pose, pour tout réel $x$ positif, $\varphi \left( x\right)
=\int\limits_{0}^{x}t\,f\left( t\right) \,dt$.
\begin{enumerate}
\item Montrer, gràce à une intégration par parties, que :
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}_{+},\quad \varphi \left( x\right)
=\int\limits_{0}^{x}\left[ 1-F\left( t\right) \right] \,dt-x\times P\left(
X>x\right)
\end{equation*}
\item On suppose, dans cette question, que l'intégrale $\int\limits_{0}^{x}%
\left[ 1-F\left( t\right) \right] \,dt$ converge.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\varphi ^{\prime }\left( x\right) $ et en déduire que la
fonction $\varphi $ est croissante sur $\mathbb{R}_{+}.$
\item Montrer que $\varphi $ est majorée et en déduire que $X$ a une espé%
rance.
\item Montrer que : $\forall x\in \mathbb{R}_{+},\quad 0\leqslant x\times
P\left( X>x\right) \leqslant \int\limits_{x}^{+\infty }t\,f\left( t\right)
\,dt$
\item En utilisant le fait que $X$ a une espérance, montrer que $%
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\int\limits_{x}^{+\infty }t\,f\left(
t\right) \,dt=0$
En déduire $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }x\,P\left( X\right) ,$ puis
montrer que : $E\left( X\right) =\int\limits_{0}^{+\infty }\left[ 1-F\left(
t\right) \right] \,dt$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie III}
On considère la fonction$F_{n}$ définie par : $\left\{
\begin{array}{lll}
F_{n}\left( x\right) =0 & \text{si} & x<0 \\
F_{n}\left( x\right) =1-\left( 1+\frac{x}{n}\right) ^{n}e^{-x} & \text{si} &
x\geqslant 0%
\end{array}%
\right. $
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F_{n}$ est la fontion de répartition d'une variable alé%
atoire à densité $T_{n}.$
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $k,$ l'intégrale $%
I_{k}=\int\limits_{0}^{+\infty }x^{k}e^{-x}dx$ converge.
\item Montrer que $I_{k+1}=\left( k+1\right) I_{k}$ puis donner la valeur de
$I_{k}.$
\end{enumerate}
\item En déduire , en utilisant la partie \textbf{II}, que $T_{n}$ a une espé%
rance etque $E\left( T_{n}\right) =E\left( N\right) .$
\end{enumerate}
\section*{Partie VI}
On considère la déclaration de fonction suivante , rédigée en TurboPascal :
\texttt{function f(p,q : integer) : real;}
\texttt{var j : integer; z : real;}
\texttt{begin}
\texttt{\hspace{1cm}if (p\TEXTsymbol{<}=0) or (q\TEXTsymbol{<}0) then
write('valeurs incorrectes')}
\texttt{\hspace{1cm}else }
\texttt{\hspace{1cm}begin}
\texttt{\hspace{2cm}z : =1;}
\texttt{\hspace{2cm}for j : =1 to (q-1) do z : =z*(1-j/p)}
\texttt{\hspace{2cm}f : =z;}
\texttt{\hspace{1cm}end;}
\texttt{end;}
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $p$ est un entier naturel non nnul et si $q$ est un
entier naturel alors $f\left( p,q\right) =\dfrac{A_{p}^{q}}{n^{q}}$
\item Utiliser cette déclaration pour écrire un algorithme en TurboPascal
donnant la valeur commune de $E\left( N\right) $ et $E\left( T_{n}\right) $
lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$ au clavier.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}