%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%TCIDATA{Created=Saturday, August 21, 2004 13:25:49}
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\begin{document}
\begin{center}
{\Huge EDHEC}
\textbf{School of management\vspace{3cm}}
{\large ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD\medskip }
{\large Concours d'admission sur classes préparatoires}
\underline{\hspace{3cm}}\bigskip
{\LARGE MATHEMATIQUES\medskip }
{\large Option économique\bigskip }
\textbf{Année 2002\bigskip }
\end{center}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : seule
l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\vspace{1cm}}
\noindent \textbf{L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel é%
lectronique est interdite.}\vspace{1cm}
\section*{Exercice 1}
Pour tout réel $x,$ on note $[x]$ la partie entière de $x,$ c'est-à-dire
l'unique nombre entier vérifiant $:[x]\leqslant x<[x]+1.$\newline
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $%
\lambda $ $(\lambda >0).$\newline
On pose $Y=[X],$ $Y$ est donc la partie entière de $X$ et on a $:\forall
k\in \mathbb{Z},\quad (Y=k)\Leftrightarrow (k\leqslant X0, \\
f(0)=0. &
\end{array}%
\right. $
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ est continue sur $\mathbb{R}_{+}.$
\item Etudier le signe de $f(x).$
\end{enumerate}
\item Montrer que l'on définit bien une fonction $F$ sur $\mathbb{R}_{+}$ en
posant :%
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}_{+},\quad F(x)=\int\limits_{0}^{x}f(t)dt.
\end{equation*}
\item Pour tout $x$ de $\mathbb{R}_{+},$ on pose $g(x)=F(x)-x.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}_{+}$ et que, pour $x>0,$
on peut écrire $g^{\prime }(x)$ sous la forme $g^{\prime }(x)=\dfrac{-xh(x)}{%
1+x^{2}}.$
\item Etudier les variations de $h,$ puis en déduire son signe (on donne $%
\ln \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\simeq -0,48).$
\item En déduire le signe de $g(x).$
\end{enumerate}
\item On définit la suite $(u_{n})$ par la donnée de son premier terme $%
u_{0}=1$ et la relation de récurrence, valable pour tout $n$ de $\mathbb{N}%
:u_{n+1}=F(u_{n}).$
\begin{enumerate}
\item Etablir par récurrence que $:\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n}\in
\lbrack 0;1].$
\item Montrer, en utilisant le résultat de la troisième question, que $%
(u_{n})$ est décroissante.
\item En déduire que la suite $(u_{n})$ converge et donner $\underset{%
n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Problème}
\subsection*{Partie 1 : étude d'un ensemble de matrices.}
On considère les matrices suivantes de $\mathfrak{M}_{4}(\mathbb{R}):$%
\begin{equation*}
I=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1%
\end{pmatrix}%
\quad ;\quad J=%
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0%
\end{pmatrix}%
\quad ;\quad K=%
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0%
\end{pmatrix}%
\quad ;\quad L=%
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0%
\end{pmatrix}%
.
\end{equation*}%
On note $E$ l'ensemble des matrices $M$ s'écrivant $M=aI+bJ+cK+dL,$ où $a,b,c
$ et $d$ décrivent $\mathbb{R}.$
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E$ est un espace vectoriel.
\item Montrer que la famille $(I,J,K,L)$ est libre.
\item Donner la dimension de $E.$
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer, en les calculant explicitement que $J^{2},K^{2},L^{2},J^{3}$
et $K^{3}$ appartiennent à $E.$
\item En déduire, sans aucun calcul matriciel, que $JK,KJ,KL,LK,JL$ et $LJ$
appartiennent aussi à $E.$
\item Etablir enfin que le produit de deux matrices de $E$ est encore une
matrice de $E.$
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $L$ est diagonalisable.
\item Déterminer les valeurs propres de $L$ ainsi que les sous-espaces
propres associés à ces valeurs propres.
\end{enumerate}
\item On considère les vecteurs $:u_{1}=%
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
1%
\end{pmatrix}%
$ $;$ $u_{2}=%
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
1 \\
-1%
\end{pmatrix}%
$ $;$ $u_{3}=%
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
-1 \\
-1%
\end{pmatrix}%
$ $;$ $u_{4}=%
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
-1 \\
1%
\end{pmatrix}%
.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(u_{1},u_{2},u_{3},u_{4})$ est une base de $\mathfrak{M}%
_{4,1}(\mathbb{R}).$
\item Vérifier que $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}$ sont des vecteurs propres de $L$
et de $J+K.${\Large \bigskip }
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie 2 : étude d'un mouvement aléatoire.}
Dans cette partie, $p$ désigne un réel de $]0;1[.$\newline
Les sommets d'un carré sont numérotés $1,2,3$ et $4$ de telle façon que les
cotés du carré relient le sommet $1$ au sommet $2,$ le sommet $2$ au sommet $%
3,$ le sommet $3$ au sommet $4,$ le sommet $4$ au sommet $1,$ les diagonales
reliant elles le sommet $1$ au sommet $3$ ainsi que le sommet $2$ au sommet $%
4.$\newline
Un pion se déplace sur les sommets de ce carré selon le protocole suivant :
\begin{itemize}
\item Le pion est sur le sommet $1$ au départ.
\item Lorsque le pion est à un instant donné sur un sommet du carré, il se dé%
place à l'instant suivant vers un sommet voisin (relié par un coté) avec la
probabilité $p$ ou vers un sommet opposé (relié par une diagonale) avec la
probabilité $1-2p.$
\end{itemize}
\noindent On note $X_{n}$ la variable aléatoire égale au numéro du sommet
sur lequel se trouve le pion à l'instant $n.$ On a donc $X_{0}=1$
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Ecrire la matrice $A,$ carré d'ordre $4,$ dont le terme situé à
l'intersection de la $i^{\grave{e}me}$ ligne et de la $j^{\grave{e}me}$
colonne est égal à la probabilité conditionnelle $P(X_{n+1}=i/X_{n}=j).$
\item Vérifier que $A$ s'écrit comme combinaison linéaire de $J+K$ et $L.$
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item Pour tout $i$ de $\{1,2,3,4\},$ calculer $Au_{i}.$ En déduire qu'il
existe une matrice $D$ diagonale et une matrice $P$ inversible telles que $%
A=PDP^{-1}.\ $Expliciter $D$ et $P.$
\item Calculer $P^{2}$ puis en déduire $P^{-1}.$
\end{enumerate}
\item Pour tout $n$ de $\mathbb{N},$ on pose $C_{n}=%
\begin{pmatrix}
P(X_{n}=1) \\
P(X_{n}=2) \\
P(X_{n}=3) \\
P(X_{n}=4)%
\end{pmatrix}%
.$
\begin{enumerate}
\item Montrer, à l'aide de la formule des probabilités totales que $%
C_{n+1}=AC_{n}.$
\item En déduire que $C_{n}=\dfrac{1}{4}PD^{n}PC_{0},$ puis donner la loi de
$X_{n}$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}