%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%TCIDATA{Created=Saturday, November 06, 2004 09:25:14}
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\begin{document}
\begin{center}
{\Huge EDHEC}
\textbf{School of management\vspace{3cm}}
{\large ECOLE DE\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES\ DU\ NORD\medskip }
{\large Concours d'admission sur classes préparatoires}
\underline{\hspace{3cm}}\bigskip
{\LARGE MATHEMATIQUES\medskip }
{\large Option économique\bigskip }
\textbf{Année 2004}{\large \bigskip }
\end{center}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : seule
l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\vspace{1cm}}
\noindent \textbf{L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel é%
lectronique est interdite.}\vspace{1cm}
\section*{Exercice 1}
Le but de cet exercice est de calculer $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}\int\limits_{0}^{+\infty }\dfrac{1}{1+t+t^{n}}dt$. \newline
Pour tout n de $\mathbb{N}$, on pose $u_{n}=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{1}{%
1+t+t^{n}}dt$ et on a, en particulier, $u_{0}=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{1}{%
2+t}dt$
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, justifier l'existence de $u_{n}$.
\item Calculer $u_{0}$ et $u_{1}$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_{n})$ est croissante.
\item Montrer que : $\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n}\leqslant \ln 2$.
\item En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, écrire $\ln 2-u_{n}$ sous la forme
d'une intégrale.
\item En déduire que : $\forall n\in \mathbb{N},\quad \ln 2-u_{n}\leqslant
\dfrac{1}{n+1}$.
\item Donner la limite de la suite $(u_{n})$.
\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on pose $%
v_{n}=\int\limits_{1}^{+\infty }\dfrac{1}{1+t+t^{n}}dt$.
\begin{enumerate}
\item Justifier la convergence de l'intégrale défnissant $v_{n}$.
\item Montrer que : $\forall n\geqslant 2,\quad 0\leqslant v_{n}\leqslant
\dfrac{1}{n-1}$.
\item En déduire $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }v_{n}$, puis donner la
valeur de $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\int\limits_{0}^{+\infty }%
\dfrac{1}{1+t+t^{n}}dt$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 2}
On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degré
inférieur ou égal à 2. \newline
On note $e_{0},e_{1},e_{2}$ les fonctions définies, pour tout réel $x$ par
\begin{equation*}
e_{0}(x)=1,\quad e_{1}(x)=x\quad \text{et}\quad e_{2}(x)=x^{2}
\end{equation*}
et on rappelle que $B=(e_{0},e_{1},e_{2})$ est une base de $E$.\newline
Soit $f$ l'application qui à toute fonction polynomiale $P$ de $E$ associe
la fonction $Q=f(P)$, où $Q$ est la dérivée seconde de l'application qui à
tout réel $x$ associe $(x^{2}-x)P(x)$.
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$.
\item Déterminer $f(e_{0}),$ $f(e_{1})$ et $f(e_{2})$ en fonction de $e_{0},$
$e_{1}$ et $e_{2}$.
\item En déduire que la matrice de $f$ dans la base $B$ est $A=\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -2 & 0 \\
0 & 6 & -6 \\
0 & 0 & 12%
\end{array}%
\right) $
\item Montrer sans calcul que $f$ est un automorphisme de $E$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs propres de $f$ , puis en déduire que $f$ est
diagonalisable.
\item Déterminer les sous-espaces propres de $f$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence d'une matrice P inversible dont la première
ligne ne contient que des \textquotedblleft 1\textquotedblright\ telle que$%
A=PDP^{-1}$, où $D=\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 0 \\
0 & 0 & 12%
\end{array}%
\right) .$
\item Montrer que : $\forall n\in \mathbb{N},\quad A^{n}=PD^{n}P^{-1}$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice $P^{-1}$.
\item En déduire explicitement, en fonction de $n$, la matrice $A^{n}$.
\item On dit qu'une suite de matrices $(M_{n})$ tend vers la matrice $M$,
lorsque $n$ tend vers $+\infty $ , si chaque coefficient de $M_{n}$ tend
vers le coefficient situé à la même place dans $M$. \newline
On pose $B=\dfrac{1}{12}A$ . Montrer que la suite $(B^{n})$ tend vers une
matrice $J$ vérifiant $J^{2}=J$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 3}
On désigne par $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.\newline
On lance n fois une pièce équilibrée (c'est-à-dire donnant \textquotedblleft
pile\textquotedblright\ avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ et
\textquotedblleft face\textquotedblright\ également avec la probabilité $%
\dfrac{1}{2}$), les lancers étant supposés indépendants. \newline
On note $Z$ la variable aléatoire qui vaut 0 si l'on n'obtient aucun
\textquotedblleft pile\textquotedblright\ pendant ces $n$ lancers et qui,
dans le cas contraire, prend pour valeur le rang du premier
\textquotedblleft pile\textquotedblright .
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en argumentant soigneusement, l'ensemble $Z(\Omega )$.
\item Pour tout $k$ de $Z(\Omega )$, calculer $P(Z=k)$. On distinguera les
cas $k=0$ et $k\geqslant 1$.
\item Vérifier que $\sum\limits_{k\in Z(\Omega )}P(Z=k)=1.$
\item On rappelle que l'instruction \textquotedblleft
random(2)\textquotedblright\ renvoie un nombre au hasard parmi les nombres 0
et 1. Recopier et compléter le programme suivant pour qu'il simule \newline
l'expérience décrite ci-dessus, l'entier n étant entré au clavier par
l'utilisateur (\textquotedblleft pile\textquotedblright\ sera codé par le
nombre 1 et \textquotedblleft face\textquotedblright\ par 0).\bigskip
\texttt{Program EDHEC2004 ;}
\texttt{var k, n, z, lancer : integer ;}
\texttt{Begin}
\texttt{Randomize ;}
\texttt{Readln(n) ; k : = 0 ; z : = 0 ;}
\texttt{Repeat }
\texttt{k : = k + 1 ; lancer : = random(2) ; }
\texttt{If (lancer = 1) then ..................;}
\texttt{until (lancer = 1 or..........) ;}
\texttt{Writeln (z) ; }
\texttt{end.}
\noindent On dispose de $n+1$ urnes $U_{0},U_{1},...,U_{n}$ telles que pour
tout $k$ de $\{0,1,...,n\}$, l'urne $U_{k}$ contient $k$ boules blanches et $%
n-k$ boules noires.\newline
On effectue des tirages d'une boule, au hasard et avec remise dans ces urnes
de la façon suivante : \newline
si après les lancers de la pièce décrits dans la première question, la
variable $Z$ prend la valeur $k$ (avec $k\geqslant 1$), alors on tire une
par une et avec remise, $k$ boules dans l'urne $U_{k}$ et l'on note $X$ la
variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues à l'issue de
ces tirages. \newline
Si la variable $Z$ a pris la valeur 0, aucun tirage n'est effectué et $X$
prend la valeur 0.
\end{enumerate}
\item Déterminer $X(\Omega )$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en distinguant les cas $i=0$ et $1\leqslant i\leqslant n$,
la probabilité $P(X=i/Z=0)$.
\item Déterminer, en distinguant les cas $i=n$ et $0\leqslant i\leqslant n-1$%
, la probabilité $P(X=i/Z=n)$.
\item Pour tout $k$ de $\{1,2,...,n-1\}$ déterminer, en distinguant les cas $%
0\leqslant i\leqslant k$ et $k