%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\LARGE Programme ESC d'E.M.LYON\bigskip }
CONCOURS D'ENTREE 1992
\underline{\hspace*{1cm}}\bigskip
{\Huge MATHEMATIQUES \bigskip }
{\Large 1ère épreuve (option économique)\vspace{1cm}}
\end{center}
\noindent {\small Les candidats ne doivent pas faire usage d'aucun document;
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent {\small Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \hrulefill \bigskip
\section*{EXERCICE 1}
L'espace vectoriel $\mathbb{R}^{3}$ est muni de sa base canonique $\mathcal{%
B=}\left( \overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}%
}\right) $\newline
Soit $\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}$ tel que $%
a_{1}a_{2}a_{3}\neq 0$;\newline
on considère
\begin{itemize}
\item $\overrightarrow{a}=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) $
\item $A$ la matrice de $\mathcal{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $ dont le
terme situé à la ligne $i$ et colonne $j$ vaut $a_{i}a_{j}$ pour tout $%
\left( i,j\right) $ de$\left\{ 1,2,3\right\} $,
\item $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ de matrice $A$ dans $\mathcal{B%
}$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\overrightarrow{a}$ est vecteur propre de $f$, associé à
une valeur propre que l'on déterminera.
\item Déterminer $\ker \left( f\right) $.
\item Montrer qu'il existe une base de $\mathbb{R}^{3}$ formée de vecteurs
propres de $f$ ; donner une telle base et écrire la matrice de $f$ dans
cette base.
\item Calculer $A^{n}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 2}
On note $f:\left] 1,+\infty \right[ \rightarrow \mathbb{R}$ l'application dé%
finie par :
\begin{equation*}
\forall x\in \left] 1,+\infty \right[ ,\quad f\left( x\right) =\dfrac{1}{%
x\ln \left( x\right) }
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$ et tracer sa courbe représentative.
\item Montrer, pour tout entier $k$ tel que $k\geqslant 3$ :
\begin{equation*}
f\left( k\right) \leqslant \int\limits_{k-1}^{k}f\left( x\right) dx\leqslant
f\left( k-1\right)
\end{equation*}
\hspace{-1cm}Pour tout $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant 2$n, on note $%
S_{n}=\sum\limits_{k=2}^{n}f\left( k\right) $
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer, pour tout $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant 2$ :
\begin{equation*}
S_{n}-\dfrac{1}{2\ln \left( 2\right) }\leqslant \int\limits_{2}^{n}f\left(
x\right) dx\leqslant S_{n}-\dfrac{1}{n\ln \left( n\right) }
\end{equation*}
\item En déduire, pour tout $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant 2$ :
\begin{equation*}
\ln \left( \ln \left( n\right) \right) -\ln \left( \ln \left( 2\right)
\right) \leqslant S_{n}\leqslant \ln \left( \ln \left( n\right) \right) -\ln
\left( \ln \left( 2\right) \right) +\dfrac{1}{2\ln \left( 2\right) }
\end{equation*}
\item Établir : $S_{n}\underset{n\rightarrow +\infty }{\thicksim }\ln \left(
\ln \left( n\right) \right) $\newline
Pour tout $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant 2$, on note
\begin{equation*}
u_{n}=S_{n}-\ln \left( \ln \left( n+1\right) \right) \;\text{et}%
\;v_{n}=S_{n}-\ln \left( \ln \left( n\right) \right)
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item En utilisant le résultat de la question 2., montrer que les suites $%
\left( u_{n}\right) _{n\geqslant 2}$ et $\left( v_{n}\right) _{n\geqslant 2}$
sont adjacentes. On note $\ell $ leur limite commune.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer, pour tout $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant 2$ :
\begin{equation*}
0\leqslant v_{n}-\ell \leqslant \dfrac{1}{n\ln \left( n\right) }
\end{equation*}
\item En déduire une valeur approchée de $\ell $ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 3}
Soit $N$ un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
\begin{enumerate}
\item Montrer les égalités suivantes :
\begin{equation*}
\sum\limits_{k=1}^{N}k=\dfrac{N\left( N+1\right) }{2},\quad
\sum\limits_{k=1}^{N}k^{2}=\dfrac{N\left( N+1\right) \left( 2N+1\right) }{6},
\end{equation*}
\item Une urne contient une boule blanche, une boule verte et $N-2$ boules
rouges. Ces boules sont indiscernables au toucher.\newline
On tire successivement les $N$ boules sans remettre les boules tirées dans
l'urne.\newline
On note $X_{1}$ la variable aléatoire égale au rang du tirage de la boule
blanche et $X_{2}$ la variable aléatoire égale au rang du tirage de la boule
verte.
\begin{enumerate}
\item Soient $i$ et $j$ deux entiers compris entre 1 et $N$ .\newline
Calculer la probabilité $P_{ij}$ pour que $X_{1}=i$ et $X_{2}=j$ .\newline
(On distinguera le cas $i=j$ et le cas $i\neq j$) .
\item Déterminer les lois des variables aléatoires $X_{1}$ et $X_{2}$.%
\newline
Est-ce que les variables aléatoires $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes ?%
\newline
Calculer les espérances et variances des variables aléatoires $X_{1}$ et $%
X_{2}$.
\item On note $X$ la variable aléatoire égale au rang du tirage où l'on
obtient pour la première fois soit la boule blanche soit la boule verte.%
\newline
On note $Y$ la variable aléatoire égale au rang du tirage à partir duquel on
a obtenu la boule blanche et la boule verte.\newline
Remarque : en fait $X=\inf \left( X_{1},X_{2}\right) $ et $Y=\sup \left(
X_{1},X_{2}\right) $\newline
Par exemple, si on a tiré rouge, rouge, verte, rouge, blanche, alors $X_{1}=5
$ et $X_{2}=3$ et $X=3$ et $Y=5$\newline
Déterminer les lois des variables aléatoires $X$ et $Y$.\newline
Calculer les espérances des variables aléatoires $X$ et $Y$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 4}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\left\{
\begin{array}{ccc}
f\left( x\right) =0 & \text{si} & x<0 \\
f\left( x\right) =x & \text{si} & x\geqslant 0%
\end{array}%
\right. $\newline
On se propose d'étudier la suite réelle $\left( u_{n}\right) $ définie par
la donnée de son premier terme $u_{0}$ et la relation de récurrence
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\;u_{n+1}=u_{n}+\int\limits_{0}^{1}f\left(
t-u_{n}\right) dt
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Étude du cas $0\leqslant u_{0}\leqslant 1$\newline
On suppose $0\leqslant u_{0}\leqslant 1$
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left( u_{n}\right) $ est croissante.
\item Montrer que, si $0\leqslant u_{n}\leqslant 1,$ alors $u_{n+1}=\dfrac{1%
}{2}\left( 1+u_{n}^{2}\right) .$\newline
En déduire que, pour tout entier positif ou nul $n$, $u_{n}\leqslant 1$.
\item Montrer que la suite $\left( u_{n}\right) $ est convergente ; dé%
terminer sa limite.
\end{enumerate}
\item Étude des cas $u_{0}<0$ et $u_{0}>1$.
\begin{enumerate}
\item On suppose $u_{0}<0.$\newline
Calculer $u_{1}$. En déduire l'étude de la suite $\left( u_{n}\right) $.
\item On suppose $u_{0}>1$.\newline
Calculer $u_{1}$, puis, pour tout entier positif $n$,$u_{n}$. Que dire de la
suite $\left( u_{n}\right) $ ?
\end{enumerate}
\item Interprétation graphique .\newline
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par
\begin{equation*}
g\left( x\right) =x+\int\limits_{0}^{1}f\left( t-x\right) dt
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer pour tout nombre réel $x$ la valeur de $g\left( x\right) $.%
\newline
Construire le graphe de $g$ dans un repère orthonormé (unité graphique 2 cm).
\item Représenter graphiquement les quatre premiers termes de la suite $%
\left( u_{n}\right) $ dans les cas suivants :
\begin{equation*}
u_{0}=-2;\quad u_{0}=0;\quad u_{0}=2
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}