%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\LARGE Programme ESC d'E.M.LYON\bigskip }
CONCOURS D'ENTREE 1993
\underline{\hspace*{1cm}}\bigskip
{\Huge MATHEMATIQUES \bigskip }
{\Large 1ère épreuve (option économique)\vspace{1cm}}
\end{center}
\noindent {\small Les candidats ne doivent pas faire usage d'aucun document;
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent {\small Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \hrulefill \bigskip
\section*{EXERCICE 1}
$f$ est l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ dont la matrice dans la base
canonique de $\mathbb{R}^{3},$ notée$\left( \vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) $
est $A$ :
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 2 & 1%
\end{array}
\right)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs propres de $f$
On les notrera $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ de sorte que $%
\lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}$
\item En déduire, sans autre calcul, les réponses aux questions suivantes :%
\newline
$A$ est-elle diagonalisable ?\newline
$A$ est-elle inversible ?
\end{enumerate}
\item Pour tout $p\in \left\{ 1,2,3\right\} ,$ montrer qu'il existe un
vecteur popre $\overrightarrow{e_{p}}$ de $f$ associé à la valeur porpre $%
\lambda _{p}$ dont la $p^{i\grave{e}me}$ coordonnée dans la base canonique $%
\left( \vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) $ est $1.$ Donner les coordonnées de $%
\overrightarrow{e_{p}}$ dans cette base.
\item Soit $P$ la matrice de passage de $\left( \vec{i},\vec{j},\vec{k}%
\right) $ à la base $\left( \overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},%
\overrightarrow{e_{3}}\right) .$ Ecrire $P.$ Calculer $P^{-1}:$ les calculs
devront figurer sur la copie.
\item Pour $n\in \mathbb{N}^{\times },$ calculer $A^{n}:$ on donnera de faç%
on explicite les neufs coefficients de la matrice $A^{n}.$
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 2}
Soit $f:%
\begin{array}[t]{lll}
\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x & \mapsto & f\left( x\right) ={\dfrac{x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}}-1%
\end{array}%
$
\subsection*{I. Etude de f.}
\begin{enumerate}
\item Former le tableau de variation de $f$
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f\left( x\right) =x$, d'inconnue $x\in \mathbb{R}$
\item Résoudre l'équation $f\left( x\right) \leqslant x$, d'inconnue $x\in
\mathbb{R}$
\end{enumerate}
\item Tracer la courbe représentative $\left( C\right) $ de $f$ dans un repè%
re orthonormé d'unité 5cm, et préciser la position relative de $\left(
C\right) $ et de la première bissectrice (on ne cherchera pas d'éventuels
points d'inflexion)
\end{enumerate}
\subsection*{II. Etude d'une suite récurrente.}
On considère la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ définie par: $u_{0}\in
\mathbb{R}$ et pour tout entier $n,$ $u_{n+1}=f\left( u_{n}\right) $
\begin{enumerate}
\item Que dire de $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ si $u_{0}=-1$ ou $u_{0}=0$ ?
\item On suppose ici $u_{0}<-1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n}<-1$
\item En déduire que $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ est croissante.
\item Montrer que $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers un réel que l'on
déterminera.
\end{enumerate}
\item On suppose ici $-10$.
Sans en donner de démonstration, quel résultat obtiendrait-on concernant la
convergence de $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ dans ce cas?
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 3}
\subsection*{Question préliminaire}
Soient $k$ et $n$ deux entiers naturels tels que $0<3k\leqslant n$
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démonter que\newline
pour tout $i$ tel que $0\leqslant i\leqslant k-1,C_{n}^{i}\leqslant \frac{1}{%
2}C_{n}^{i+1}$\newline
puis que\newline
pour tout $i$ tel que $0\leqslant i\leqslant k,$ $C_{n}^{i}\leqslant \frac{1%
}{2^{k-i}}C_{n}^{k}$
\item En déduire que $C_{n}^{k}\leqslant
\sum\limits_{i=0}^{k}C_{n}^{i}\leqslant 2C_{n}^{k}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\noindent Monsieur X vend des journeaux, sur le marché le samedi matin; il
propose au choix, deux quotidiens A et Bet il dispose d'un stock de 40
exemplaires de A et 40 exemplaires de B.\newline
On suppose :
\begin{itemize}
\item qu'aucun client ne demande A et B
\item que si un client demande A (respectivement B) alors que le stock de A
(respectivement B) est épuisé, il part sans demander B (respectivement A)
\item que les demandes des clients sont indépendantes les unes des autres.
\end{itemize}
\noindent Un samedi, 60 clients se rpésentent dans la matiné. chaque client
qui demande soit A soit Bavec la même probabiltié $0,5.$
\begin{enumerate}
\item $Y$ est la variable aléatoire égale au nombre de clients qui demandent
A dans cette matinée.\newline
Détermine la loi de $Y$\newline
Donner son espérance et sa variance.
\item On note $x$ la probabilité de l'événement \textquotedblright Monsieur
X ne satisfait pas toutes les demandes, cette matinée\textquotedblright
\begin{enumerate}
\item Exprimer $x$ à l'aide de la loi de $Y.$
\item Déduire de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev un majorant de $x.$
\item Déduire de la question préliminaire un encadrement de $x.$
\item Comparer , en utilisant des valeurs numériques approchées données en
annexe, les résultats des questions \textbf{b} et \textbf{c}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\noindent Annexe : $C_{60}^{20}\simeq 4,192.10^{15};\quad C_{60}^{19}\simeq
2.045;10^{15};\quad C_{60}^{18}\simeq 9,250.10^{14}$
\section*{EXERCICE 4}
Pour tout entier $n$ on note:
\begin{equation*}
I_{n}=\int\limits_{0}^{1}e^{-x^{2}}(1-x)^{n}dx\qquad \text{et\qquad }%
J_{n}=\int\limits_{0}^{1}xe^{-x^{2}}(1-x)^{n}dx.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Former le tableau de variation sur $[0,1]$ de $x\rightarrow
xe^{-x^{2}} $..
\item En déduire pour tout $n$ de $\mathbb{N}:$%
\begin{equation*}
0\leqslant J_{n}\leqslant \frac{1}{\sqrt{2e}(n+1)}
\end{equation*}
\item Etudier la convergence de la suite $\left( J_{n}\right) _{n\in \mathbb{%
N}}$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item A l'aide d'une intégration par parties, établir pour tout $n$ de $%
\mathbb{N}$:
\begin{equation*}
I_{n}=\frac{1}{n+1}-\frac{2}{n+1}J_{n+1}
\end{equation*}
\item En déduire la limite de $I_{n}$ et celle de $n.I_{n}$ quand $n$ tend
vers $+\infty $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}