%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\LARGE Programme ESC d'E.M.LYON\bigskip }
CONCOURS D'ENTREE 2001
\underline{\hspace*{1cm}}\bigskip
{\Huge MATHEMATIQUES\bigskip }
{\Large 1ère épreuve (option économique)\vspace{1cm}}
\end{center}
\noindent {\small Les candidats ne doivent pas faire usage d'aucun document;
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent {\small Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \hrulefill
\section*{Exercice 1}
\noindent On considère la matrice carrée réelle d'ordre quatre :
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
et l'endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^{4}$ dont la matrice dans la base
canonique $\mathcal{B}=(e_{1},e_{2},e_{3},e_{4})$ de $\mathbb{R}^{4}$ est $A$%
.
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Montrer que $A$ n'est pas inversible. En déduire que $0$
est valeur propre de $A$.
\item[\textbf{2.}]
\begin{enumerate}
\item Calculer $A^{2}$, $A^{3}$, $A^{4}$.
\item Etablir que $0$ est la seule valeur propre de $f$.
\item Déterminer la dimension du noyau de $f$.
\item Est-ce que $f$ est diagonalisable ?
\end{enumerate}
\item[\textbf{3.}] On note $\varepsilon _{1}=e_{1}$, $\varepsilon
_{2}=f(\varepsilon _{1}),\varepsilon _{3}=f(\varepsilon _{2}),\varepsilon
_{4}=f(\varepsilon _{3})$, et $\mathcal{C}=(\varepsilon _{1},\varepsilon
_{2},\varepsilon _{3},\varepsilon _{4})$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal{C}$ est une base de $\mathbb{R}^{4}$.
\item Déterminer la matrice $N$ de $f$ relativement à la base $\mathcal{C}$
de $\mathbb{R}^{4}$.
\end{enumerate}
\item[\textbf{4.}] Existe-t-il un automorphisme $g$ de l'espace vectoriel $%
\mathbb{R}^{4}$ tel que $g\circ f\circ g^{-1}=f^{2}$ ?
\end{enumerate}
\section*{Exercice 2}
\noindent On considère l'application $f\ :[0;+\infty \lbrack \longrightarrow
\mathbb{R}$, définie, pour tout $x$ de $[0;+\infty \lbrack $, par :
\begin{equation*}
f(x)=\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{x}{e^{x}-1} & \text{si }x>0 \\
1 & \text{si }x=0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue sur $[0;+\infty \lbrack $.
\item Montrer que $f$ est de classe $C^{1}$ sur $]0;+\infty \lbrack $. Pour
tout $x\in ]0,+\infty \lbrack $, calculer $f^{\prime }(x)$.
\item Montrer que $f^{\prime }(x)$ tend vers $-\dfrac{1}{2}$ lorsque $x$
tend vers $0$.
\item En déduire que $f$ est $C^{1}$ sur $[0;+\infty \lbrack $.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est de classe $C^{2}$ sur $]0;+\infty \lbrack $ et
que: $\forall x\in ]0;+\infty \lbrack \qquad f^{\prime \prime }(x)=\dfrac{%
e^{x}}{(e^{x}-1)^{3}}(xe^{x}-2e^{x}+x+2)$
\item Etudier les variations de la fonction $g\ :[0;+\infty \lbrack
\longrightarrow \mathbb{R}$, définie, pour tout $x$ de $[0;+\infty \lbrack $%
, par:
\begin{equation*}
g(x)=xe^{x}-2e^{x}+x+2
\end{equation*}%
En déduire : \qquad $\forall x\in ]0;+\infty \lbrack ,\quad f^{\prime \prime
}(x)>0$.
\item En déduire le sens de variation de $f$. On précisera la limite de $f$
en $+\infty $. Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}
\item[\textbf{3.}] On considère la suite $(u_{n})_{n\geqslant 0}$ définie par $%
u_{0}=0$ et : $\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n+1}=f(u_{n})$.
\begin{enumerate}
\item Montrer :
\begin{equation*}
\forall x\in \lbrack 0;+\infty \lbrack ,\quad |f^{\prime }(x)|\leqslant \dfrac{1}{%
2}\quad \text{et}\quad 0\leqslant f(x)\leqslant 1
\end{equation*}
\item Résoudre l'équation $f(x)=x$, d'inconnue $x\in ]0;+\infty \lbrack $.
\item Montrer :
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N}\quad |u_{n+1}-\ln 2|\leqslant
\dfrac{1}{2}|u_{n}-\ln 2|
\end{equation*}
\item Etablir que la suite $(u_{n})_{n\geqslant 0}$ converge et
déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 3}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $%
f_{n}\ :\ \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ définie par :
\begin{equation*}
\forall t\in \mathbb{R},\quad f_{n}(t)=\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{e^{-t}t^{n}}{n!} & \text{si }t>0 \\
0 & \text{si }t\leqslant 0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Soit $n\in \mathbb{N}$. Montrer que $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty
}t^{2}f_{n}(t)=0$.\newline
En déduire que l'intégrale $\int\limits_{0}^{+\infty }f_{n}(t)\ dt$ est
convergente.
\item Montrer : \qquad $\forall n\in \mathbb{N}^{\ast },\quad \forall x\in
\lbrack 0;+\infty \lbrack ,\qquad \int\limits_{0}^{x}f_{n}(t)\ dt=-\dfrac{%
e^{-x}x^{n}}{n!}+\int\limits_{0}^{x}f_{n-1}(t)\ dt$.
\item En déduire : \qquad $\forall n\in \mathbb{N},\qquad
\int\limits_{0}^{x}f_{n}(t)\ dt=1$
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_{n}$ est la
densité de probabilité d'une variable aléatoire.
\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on définit la variable aléatoire $X_{n}$
admettant $f_{n}$ pour densité de probabilité.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, l'espérance $E(X_{n})$ et
la variance $V(X_{n})$ vérifient:
\begin{equation*}
E(X_{n})=n+1\qquad V(X_{n})=n+1
\end{equation*}
\item Dans cette question, on suppose que $n=4$. On donne les valeurs approch%
ées à $10^{-2}$ suivantes:
\begin{equation*}
\int\limits_{0}^{4}f_{4}(t)\ dt\simeq 0,37\qquad
\int\limits_{0}^{6}f_{4}(t)\ dt\simeq 0,71\qquad
\int\limits_{0}^{8}f_{4}(t)\ dt\simeq 0,90
\end{equation*}%
Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction de
répartition de $X_{4}$.\newline Déterminer une valeur décimale
approchée de la probabilité $P(X_{4}>4)$ et une valeur décimale
approchée de la probabilité $P(40$, on définit la variable aléatoire $%
Y_{t}$ égale au nombre de voitures arrivant à un péage d'autoroute de
l'instant $0$ à l'instant $t$.\newline
On suppose que la variable aléatoire $Y_{t}$ suit une loi de Poisson de param%
ètre $t$.
\begin{enumerate}
\item Rappeler, pour tout réel $t>0$, les valeurs de l'espérance et de la
variance de $Y_{t}$.\newline
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit la variable aléatoire ré%
elle $Z_{n}$, prenant ses valeurs dans $\mathbb{R}^{+}$, égale à l'instant
d'arrivée de la $n^{i\grave{e}me}$ voiture au péage à partir de l'instant $0$%
.
\item Soient $t\in ]0;+\infty \lbrack $ et $n\in \mathbb{N}^{\ast }$.\newline
Justifier l'égalité de l'événement $(Z_{n}\leqslant t)$ et de l'événement $%
(Y_{t}\geqslant n)$
\item En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, la fonction de ré%
partition de la variable aléatoire réelle $Z_{n}$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, la variable alé%
atoire $Z_{n}$ admet $f_{n-1}$ comme densité de probabilité.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
{- \ FIN \ -}
\end{center}
\label{fin}
\end{document}