%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\LARGE Programme ESC d'E.M.LYON\bigskip }
CONCOURS D'ENTREE 2004
\underline{\hspace*{1cm}}\bigskip
{\Huge MATHEMATIQUES \bigskip }
{\Large 1ère épreuve (option économique)\vspace{1cm}}
\end{center}
\noindent {\small Les candidats ne doivent pas faire usage d'aucun document;
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent {\small Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \hrulefill \bigskip
\section*{PREMIER EXERCICE}
On considère l'application $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ définie,
pour tout $t\in \mathbb{R}$ par :
\begin{equation*}
f\left( t\right) =\dfrac{2e^{t}}{\sqrt{1+t^{2}}}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ comprenant les
limites de $f$ en $-\infty $ et en $+\infty $.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Établir, pour tout $t\in \left[ 0,+\infty \right[ $ :\quad $%
e^{t}-t-t^{2}>0$ $\quad $et$\quad 1+t\geqslant \sqrt{1+t^{2}}$
\item En déduire:
\begin{equation*}
\forall t\in \left[ 0,+\infty \right[ ,\quad f\left( t\right) >t
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item On considère la suite réelle $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant 0}$ dé%
finie par $u_{0}=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :
\begin{equation*}
u_{n+1}=f\left( u_{n}\right)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Établir que $u_{n}$ tend vers $+\infty $ lorsque $n$ tend vers $\infty
$.
\item Écrire un programme en Pascal qui calcule et affiche le plus petit
entier $n$ tel que $u_{n}>10^{6}$
\end{enumerate}
\item On considère l'application $G:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dé%
finie, pour tout $x\in \mathbb{R}$ par :
\begin{equation*}
G\left( x\right) =\int\limits_{-x}^{+x}f\left( t\right) dt
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $G$ est impaire.
\item Montrer que $G$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $%
G^{\prime }\left( x\right) $ pour tout $x\in \mathbb{R}$.
\item Quelle est la limite de $G\left( x\right) $ lorsque $x$ tend vers $%
\infty $ ?
\item Étudier le sens de variation de $G$ et dresser le tableau de variation
de $G$ sur $\mathbb{R}$ comprenant les limites de $G$ en $-\infty $ et en $%
+\infty $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{DEUXIEME EXERCICE}
On note $\mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $ l'espace vectoriel réel
des matrices carrées d'ordre trois à éléments réels, $I$ la matrice identité
de $\mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) ,$ $0$ la matrice nulle de $%
\mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $.
On considère, pour toute matrice $A$ de $\mathfrak{M}_{3}(\mathbb{R})$, les
ensembles $E_{1}(A)$ et $E_{2}(A)$ suivants :%
\begin{eqnarray*}
E_{1}(A) &=&\{M\in \mathfrak{M}_{3}(\mathbb{R});A\,M=M\} \\
E_{2}(A) &=&\{M\in \mathfrak{M}_{3}(\mathbb{R});A^{2}M=AM\}
\end{eqnarray*}
\subsection*{Partie I}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E_{1}\left( A\right) $ est un sous-espace vectoriel de $%
\mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $
On admettra que $E_{2}\left( A\right) $ est aussi un sous-espace vectoriel
de $\mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Établir :\quad $E_{1}\left( A\right) \subset E_{2}\left( A\right) $
\item Montrer que, si $A$ est inversible, alors $E_{1}\left( A\right)
=E_{2}\left( A\right) $
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Établir que, si $A-I$ est inversible, alors $E_{1}\left( A\right)
=\left\{ 0\right\} $
\item Un exemple : Soit $B=\left(
\begin{array}{rrr}
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 2%
\end{array}%
\right) .$ Déterminer $E_{1}\left( B\right) $ et $E_{2}\left( B\right) $
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie II}
On considère la matrice $C=\left(
\begin{array}{rrr}
3 & -2 & -1 \\
1 & 0 & -1 \\
2 & -2 & 0%
\end{array}
\right) $
\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $C$.
\item En déduire une matrice diagonale $D$, dont les termes diagonaux sont
dans l'ordre croissant, et une matrice inversible $P$, dont les éléments de
la première ligne sont égaux à 1, telles que $C=P\,D\,P^{-1}$.
\item Soit $M\in \mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $. On note $%
N=P^{-1}M.$
Montrer : $M\in E_{1}\left( C\right) \Longleftrightarrow N\in E_{1}\left(
D\right) $.
\item Montrer que $N\in E_{1}\left( D\right) $ si et seulement s'il existe
trois réels $a,\,b,\,c$ tels que $N=\left(
\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 0 \\
a & b & c \\
0 & 0 & 0%
\end{array}
\right) $.
\item En déduire l'expression générale des matrices de $_{1}\left( C\right) $
et déterminer une base et la dimension de $_{1}\left( C\right) $.
\item Donner l'expression générale des matrices de $E_{2}\left( C\right) $
et déterminer une base et la dimension de $E_{2}\left( C\right) $.
Est-ce que $E_{1}\left( C\right) =E_{2}\left( C\right) $ ?
\end{enumerate}
\section*{TROISIÈME EXERCICE}
Une urne contient des boules blanches, des boules rouges et des boules
vertes.
\begin{itemize}
\item La proportion de boules blanches est $b$.
\item La proportion de boules rouges est $r$.
\item La proportion de boules vertes est $v$.
\end{itemize}
Ainsi, on a.: $0