%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\LARGE Programme ESC d'E.M.LYON\bigskip }
CONCOURS D'ENTREE 2006
\underline{\hspace*{1cm}}\bigskip
{\Huge MATHEMATIQUES \bigskip }
{\Large 1ère épreuve (option économique)\vspace{1cm}}
\end{center}
\noindent {\small Les candidats ne doivent pas faire usage d'aucun document;
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent {\small Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \hrulefill \bigskip
\section*{Exercice 1}
On considère les trois matrices de $\mathfrak{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right)
$ suivantes :
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 1%
\end{array}%
\right) ,\quad D=\left(
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 1%
\end{array}%
\right) ,\quad U=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs propres de $A$ ?
\item Déterminer une matrice inversible $P$ telle que $A=P\,D\,P^{-1}$
\end{enumerate}
\hspace{-1cm}On note $E$ l'ensemble des matrices carrées $M$ d'ordre $2$
telles que : $A\,M=M\,D$
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $E$ est un sous espace vectoriel de $\mathfrak{M}%
_{2}\left( \mathbb{R}\right) $
\item Soit $M=\left(
\begin{array}{cc}
x & y \\
z & t%
\end{array}%
\right) $ une matrice de $\mathfrak{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) $\newline
Montrer que $M$ appartient à $E$ si et seulement si : $z=0$ et $y=t$
\item Etablir que $\left( U,A\right) $ est une base de $E.$
\item Calculer le produit $UA.$ Est-ce que $UA$ est élément de $E$ ?
\end{enumerate}
\item On note $f:\mathfrak{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) \rightarrow
\mathfrak{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) $ l'application définie , pour tout
$M\in \mathfrak{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) ,$ par : $f\left( M\right)
=A\,M-M\,D.$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ est linéaire.
\item Déterminer le noyau de $f$ et donner sa dimension.
\item Quelle est la dimension de l'image de $f$ ?
\item déterminer les matrice $M$ de $\mathfrak{M}_{2}\left( \mathbb{R}%
\right) $ telles que $f\left( M\right) =M.$\newline
En déduire que $1$ est valeur propre de $f.$\newline
Montrer que $-1$ est aussi valeur propre de $f.$
\item Est-ce que $f$ est diagonalisable ?
\item Montrer que $f\circ f\circ f=f$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 2}
On note $F:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ l'application définie pour
tout $\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}$ par :
\begin{equation*}
F\left( x,y\right) =\left( x-1\right) \left( y-2\right) \left( x+y-6\right)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left( 4,2\right) $ et $\left( 2,3\right) $ sont des
points critiques de $F.$
\item Est-ce que $F$ présente un extremum local au point $\left( 4,2\right) $
?
\item Est-ce que $F$ présente un extremum local au point $\left( 2,3\right) $
?
\end{enumerate}
\item On note $\varphi :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ l'application dé%
finie, pour tout $x\in \mathbb{R},$ par :
\begin{equation*}
\varphi \left( x\right) =x\left( x-2\right) \left( 2x-5\right)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer : $\forall x\in \left[ 4;+\infty \right[ ,\quad \left(
x-2\right) \left( 2x-5\right) \geqslant 4$
\item En déduire : $\forall x\in \left[ 4;+\infty \right[ ,\quad \varphi
\left( x\right) \geqslant 4x$ et $\varphi \left( x\right) \in \left[
4,+\infty .\right[ $
\end{enumerate}
\item On considère la suite réelle $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ d%
éfinie par $u_{0}=4$ et :
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n+1}=F\left( 1+u_{n},u_{n}\right)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ à l'aide de la fonction $%
\varphi .$
\item Montrer : $\forall n\in \mathbb{N}:\mathbb{\quad }u_{n}\geqslant
4^{n+1}$\newline
Quelle est la nature de la série de terme général $\dfrac{1}{u_{n}}$ ?
\item Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus
petit entier naturel $n$ tel que $u_{n}\geqslant 10^{10}$
\end{enumerate}
\item On note $g:\left[ 4,+\infty \right[ \rightarrow \mathbb{R}$
l'application définie, pour tout $x\in \left[ 4;+\infty \right[ ,$ par :
\begin{equation*}
g\left( x\right) =\dfrac{10}{\varphi \left( x\right) }
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'intégrale $\int\limits_{4}^{+\infty }g\left( x\right) dx$
converge.
\item Trouver trois réels $a,\;b,\;c$ tels que
\begin{equation*}
\forall x\in \left[ 4;+\infty \right[ ,\quad g\left( x\right) =\dfrac{a}{x}+%
\dfrac{b}{x-2}+\dfrac{c}{2x-5}
\end{equation*}
\item Calculer $\int\limits_{4}^{+\infty }g\left( x\right) \,dx$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 3}
\subsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Soit $U$ une variable aléatoire à densité suivant une loi normale d'esp%
érance nulle et de variance $\dfrac{1}{2}$
\begin{enumerate}
\item Rappeler une densité de $U$
\item En utilisant la définition de la variance de $U,$ montrer que l'inté%
grale $\int\limits_{0}^{+\infty }x^{2}e^{-x^{2}}dx$ est convergente et que $%
\int\limits_{0}^{+\infty }x^{2}e^{-x^{2}}dx=\dfrac{\sqrt{\pi }}{4}$
\end{enumerate}
\hspace{-1cm}Soit $F$ la fonction définie sur \thinspace $\mathbb{R}$ par : $%
\left\{
\begin{array}{cl}
\forall x\leqslant 0, & F\left( x\right) =0 \\
\forall x>0, & F\left( x\right) =1-e^{-x^{2}}%
\end{array}%
\right. $
\item Montrer que la fonction $F$ définit une fonction de répartition de
variable aléatoire dont on déterminera une densité $f.$
\item Soit $X$ une variable aléatoire admettant $f$ pour densité.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $X$ admet une espérance $E\left( X\right) $ et que $%
E\left( X\right) =\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}.$
\item Déterminer, pour tout réel $y,$ la probabilité $P\left( X^{2}\leqslant
y\right) .$ \emph{On distinguera les cas }$y\leqslant 0$ \emph{et }$y>0.$
\item Montrer que la variable aléatoire $X^{2}$ suit une loi exponentielle
dont on précisera le paramètre.\newline
En déduire que $X$ admet une variance $V\left( X\right) $ et calculer $%
V\left( X\right) $
\end{enumerate}
\end{enumerate}
{\Large Partie B}
\begin{enumerate}
\item Soit $Z$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramè%
tre $p.$\newline
Ainsi, pour tout $k\in \mathbb{N}^{\times },\quad P\left( Z=k\right)
=p\left( 1-p\right) ^{k-1}$\newline
Rappeler la valeur de l'espérance $E\left( Z\right) $ et celle de la
variance $V\left( Z\right) $ de la variable aléatoire $Z.$
\item Soient un entier $n$ supérieur ou égal à $2,$ et $n$ variables alé%
atoires indépendantes $Z_{1},Z_{2},...,Z_{n}$, suivant toutes le loi géomé%
trique de paramètre $p.$\newline
on considère la variable aléatoire $M_{n}=\dfrac{1}{n}\left(
Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}\right) .$
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'espérance $m$ et l'écart-type $\sigma _{n}$ de $M_{n}$
\item Montrer que $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }P\left( 0\leqslant
M_{n}-m\leqslant \sigma _{n}\right) $ existe et exprimer sa valeur à l'aide
de $\int\limits_{0}^{1}e^{-\tfrac{x^{2}}{2}}dx$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}