%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\LARGE ENSAE\bigskip }
CONCOURS D'ENTREE 1995
\underline{\hspace*{1cm}}\bigskip
{\Huge MATHEMATIQUES \bigskip }
{\Large 1ère épreuve (option économique)\vspace{1cm}}
\end{center}
\noindent {\small La clarté et la rigueur des raisonnements, ainsi que la
qualité de la rédaction (présentation, lisibilité, orthographe) seront des él%
éments importants d'appréciation des copies.}\newline
{\small Il est notamment demandé aux candidats d'encadrer les résultats
obtenus et de faire apparaître clairement les théorèmes utilisés et les
points clés de leurs réponses. En particulier pour les questions dont l'énonc%
é fournit la réponse, le détail des calculs ou des justifications doit
figurer explicitement sur la copie.}
\noindent \hrulefill \bigskip
\section*{PROBLEME I}
On note $\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})$ l'espace vectoriel des matrices carré%
es d'ordre $n$ à coefficients réels.\newline
Pour un vecteur $x\neq 0$ de $\mathbb{R}^{n},$ on notera $\func{Vect}(x)$ le
sous-espace vectoriel engendré par $x.$\newline
Soit $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ une matrice à coefficients ré%
els. On appelle \emph{trace} de $A$ le scalaire
\begin{equation*}
\func{tr}(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i,i}.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $A$ et $B$ sont deux éléments de $\mathfrak{M}_{n}(%
\mathbb{R}),$ on a $\func{tr}(AB)=\func{tr}(BA).$
\item Montrer que deux matrices semblables ont la même trace.\newline
$u$ étant un endomorphisme de $\mathbb{R}^{n},$ ceci permet de définir la
trace de $u,$ que l'on note $\func{tr}u,$ comme la trace de la matrice associ%
ée à $u$ dans n'importe quelle base de $\mathbb{R}^{n}.$
\end{enumerate}
\item Montrer que si pour tout $x\in \mathbb{R}^{n},$ $x$ et $u(x)$ sont lié%
s alors $u$ est une homothétie (on pourra introduire une base de $\mathbb{R}%
^{n})$\newline
Dans toute la suite du problème, $u$ désignera un endomorphisme non nul de
trace nulle.
\item Justifier l'existence d'un vecteur $x\in \mathbb{R}^{n}$ tel que $x$
et $u(x)$ soient indépendants, ainsi que celle d'un supplémentaire $F$ de $%
\func{Vect}(x)$ contenant le vecteur $u(x).$\newline
On désigne par $p$ la projection sur $F$ parallèlement à $\func{Vect}(x)$
\item Montrer que la restriction à $F$ de $p\circ u$ est un endomorphisme de
$F$ de trace nulle.
\item Montrons qu'il existe une base de $\mathbb{R}^{n}$ dans laquelle la
matrice de $u$ a tous ses coefficients diagonaux nuls (on pourra procéder
par récurrence sur $n).$
\item Soit $D$ une matrice diagonale de $\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})$%
\begin{equation*}
D=%
\begin{pmatrix}
\alpha _{1} & & & (0) \\
& \alpha _{2} & & \\
& & \ddots & \\
(0) & & & \alpha _{n}%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}%
telle que $i\neq j\Rightarrow \alpha _{i}\neq \alpha _{j}.$\newline
Montrer que l'application $\varphi :M\mapsto DM-MD$ est un endomorphisme de $%
\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})$ et en déterminer le noyau. Calculer $\dim \ker
\varphi $
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Soit $\mathcal{G}$ un supplémentaire de $\ker \varphi $ dans $%
\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R}).$ Montrer que la restriction de $\varphi $ à $%
\mathcal{G}$ est une bijection de $\mathcal{G}$ sur $\func{Im}\varphi .$
\item Que vaut $\dim \func{Im}\varphi $ ?
\item En déduire que $\func{Im}\varphi $ est l'ensemble des matrices dont
les coefficients diagonaux sont nuls.
\end{enumerate}
\item Montrer que si $A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})$ est une matrice de
trace nulle, alors il existe deux matrices $B$ et $C$ de $\mathfrak{M}_{n}(%
\mathbb{R})$ telles que $A=BC-CB.$
\end{enumerate}
\section*{PROBLEME\ II}
Toutes les suites et fonctions intervenant dans ce problème sont à valeurs ré%
elles.\newline
A toute fonction $f,$ continue sur $[0,1],$ on associe la suite $%
(a_{k}(f))_{k\in \mathbb{N}}$ définie par
\begin{equation*}
a_{k}(f)=\int\limits_{0}^{1}x^{k}f(x)dx
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour toute fonction $f$ la suite $a_{k}(f)$ tend vers $0.$
\item Soit $\alpha $ et $\beta $ deux réels vérifiant $0\leqslant \alpha
<\beta \leqslant 1.$ Démontrer qu'il existe un polynôme $P$ du second degré
satisfaisant aux conditions suivantes :
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\forall x\in ]\alpha ,\beta \lbrack ,\quad P(x)>1$
\item[(ii)] $\forall x\in ]0,\alpha ]\cup \lbrack \beta ,1],\quad 0\leqslant
P(x)\leqslant 1$
\end{enumerate}
\noindent Un tel $P$ étant choisi, calculer
\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\int\limits_{\alpha }^{\beta }P^{n}(x)dx
\end{equation*}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une application continue sur $[0,1].$ On suppose qu'il existe
trois constantes $\varepsilon ,$ $\alpha ,$ $\beta $, avec $\varepsilon >0$
et $0\leqslant \alpha <\beta \leqslant 1,$ telles que l'on ait
\begin{equation*}
\forall x\in \lbrack \alpha ,\beta ],\quad f(x)\geqslant \varepsilon
\end{equation*}%
Soit alors $P$ un polynôme satisfaisant aux conditions imposées dans la
question précédente. Calculer
\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\int\limits_{0}^{1}f(x)P^{n}(x)dx
\end{equation*}
\item En déduire que si $f$ est une application continue sur $[0,1]$ telle
que pour tout $k\in \mathbb{N},$ $a_{k}(f)=0$ alors $f=0$. (On pourra
raisonner par l'absurde).
\end{enumerate}
\item Soit $f$ une application continue sur $[0,1].$
\begin{enumerate}
\item Calculer $a_{k}(F)$ où $F(x)=-\int\limits_{x}^{1}f(t)dt.$
\item On suppose qu'il existe un entier $p\in \mathbb{N}$ tel que pour tout $%
k\geqslant p$ on ait $a_{k}(f)=0.$ Montrer que $f=0.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}