%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D'INDUSTRIE }%
\medskip
\rule{4cm}{1pt}\bigskip
\textbf{\Large EPREUVES ESC}\bigskip
\textbf{\large CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES}
\rule{2cm}{1pt}\bigskip
\textbf{{\large \textit{MATHEMATIQUES}}}\bigskip
{\large OPTION ECONOMIQUE} \bigskip
\textbf{Année 1998\bigskip }
\rule{2cm}{1pt}
\end{center}
\noindent \textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invité%
s à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ;} \medskip
\textbf{L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est
interdit pendant cette épreuve. }\medskip
\textit{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}\bigskip
\begin{center}
\rule{2cm}{1pt}\bigskip
\end{center}
\newpage
\section*{Exercice 1}
On considére les matrices de $\mathfrak{M}_{3}(\mathbb{R})$ :
\begin{equation*}
I=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) \qquad A=\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0%
\end{array}%
\right) \qquad B=\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \qquad O=\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \qquad
\end{equation*}%
Soit $E$ l'ensemble des matrices $M$ de $\mathfrak{M}_{3}(\mathbb{R})$
telles que $A\ M=M\ A$.
\subsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $B$ appartient à $E$.
\item Soit $n$ un entier naturel, montrer que $A^{n}$ appartient à $E$.
\end{enumerate}
\item Déterminer les réels $x,\ y,\ ,z$ tels que $x\ I+y\ A+z\ B=O$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E$ est l'ensemble des matrices de la forme $\left(
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
b & a+c & b \\
c & b & a%
\end{array}%
\right) $ avec $a,\ b$ et $c$ réels.
\item En déduire que toute matrice de $E$ est combinaison linéaire de $I$, $%
A $ et $B$ et que $E$ est un sous espace vectoriel de $\mathfrak{M}_{3}(%
\mathbb{R})$.
\item A l'aide des résultats précédents, montrer que $\mathcal{B}=(I,A,B)$
est une base de $E$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie B}
\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs propres de $A$, en déduire que $A$ est
diagonalisable.
\item Soient $P=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
-\sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\
1 & 1 & 1%
\end{array}%
\right) $ et $Q=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & -\sqrt{2} & 1 \\
-2 & 0 & 2 \\
1 & \sqrt{2} & 1%
\end{array}%
\right) $.
\begin{enumerate}
\item Calculer le produit $PQ$. En déduire que $P$ est inversible et
exprimer son inverse en fonction de $Q$.
\item Calculer la matrice $D=P^{-1}AP$ et montrer que :\quad $\forall n\in
\mathbb{N}^{\ast }\qquad A^{n}=PD^{n}P^{-1}$.
\item En déduire les coordonnées de la matrice $A^{n}$, $n\in \mathbb{N}%
^{\ast }$, dans la base $\mathcal{B}$ de $E$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 2}
Soit $I_{n}=\int\limits_{0}^{1}x^{n}\ln (1+x)dx\quad ,\quad n\in \mathbb{N}$
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_{0}$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $I_{n}\geqslant 0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
\item Etablir que la suite $(I_{n})$ est décroissante.
\item En déduire que la suite $(I_{n})$ est convergnente.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Justifier l'égalité : $x^{n}\ln (1+x)\leqslant x^{n}$ pour tout $x\in
\lbrack 0,1]$.
\item En déduire que, pour tout $n\in \mathbb{N}\qquad I_{n}\leqslant \dfrac{%
1}{n+1}$.
\item Calculer $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }I_{n}$
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item En utilisant une intégration par parties, montrer que:
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N}\qquad I_{n}=\dfrac{\ln 2}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}%
\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^{n+1}}{1+x}dx
\end{equation*}
\item Montrer que
\begin{equation*}
0\leqslant \int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^{n+1}}{1+x}dx\leqslant \dfrac{1}{n+2}
\end{equation*}%
et en déduire un encadrement de $I_{n}$.
\item En déduire $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }nI_{n}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 3}
\subsection*{Partie A: étude d'une fonction.}
Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par $u(t)={\dfrac{3}{2}}%
e^{-t/2}(1-e^{-t/2})^{2}$. On désigne par $C$ sa courbe représentative dans
un repére du plan.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $u(2\ln 3)=\dfrac{2}{9}$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $u^{\prime }(t)={\dfrac{3}{4}}%
e^{-t/2}(1-e^{-t/2})(3e^{-t/2}-1)$ pour $t\in \mathbb{R}^{+}$.\newline
En déduire les variations de $u$ sur $\mathbb{R}^{+}$.
\item Calculer $\lim\limits_{+\infty }u$
\item Donner une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point d'abscisse $%
0 $.
\end{enumerate}
\item Construire $(C)$ ainsi que $(T)$. On prendra comme unités : 2cm en
abscisses et 20 cm en ordonnées. \newline
On donne : $\ln 3\simeq 1,1$.
\end{enumerate}
\subsection*{Partie B: étude d'une variable aléatoire.}
Le fonctionnement d'une machine est perturbé par des pannes.\newline
On considére les variables aléatoires $X_{1}$, $X_{2}$ et $X_{3}$ définies
par:\newline
$X_{1}$ est le temps, exprimé en heures, écoulé entre la mise en route de la
machine et la premiére panne;\newline
$X_{2}$ (resp. $X_{3}$) est le temps, en heures, écoulé entre la remise en
route de la machine aprés la premiére (resp. deuxiéme) panne et la panne
suivante. \newline
Aprés la troisiéme panne, l'utilisation de la machine est suspendue. \newline
On suppose que les variables $X_{1}$, $X_{2}$ et $X_{3}$ sont indépendantes
et suivent toutes la mÍme loi exponentielle de paramétre ${\dfrac{1}{2}}$.%
\newline
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Donner une densité de cette loi exponentielle ainsi que la fonction de
répartition.
\item Quelle est la durée moyenne de fonctionnement entre deux pannes consé%
cutives ?
\end{enumerate}
\item Exprimer, à l'aide des événements $(X_{i}\geqslant 2)$ pour $i\in
\{1,2,3\}$, l'événement $E$ : \textquotedblleft chacune des 3 périodes de
fonctionnement de la machine dure plus de 2 heures". En déduire sa probabilit%
é $P(E)$\newline
On done : $e^{-3}\simeq 0,05$.
\item Soit $Y$ la variable aléatoire égale à la plus grande des 3 durées de
fonctionnement de la machine sans interruption.
\begin{enumerate}
\item Que vaut $P(Y\leqslant t)$ pour $t\in \mathbb{R}^{-}$ ?
\item Soit $t$ un réel positif. Justifier l'égalité: $(Y\leqslant
t)=(X_{1}\leqslant t)\cap (X_{2}\leqslant t)\cap (X_{3}\leqslant t)$
\item En déduire $P(Y\leqslant t)$ en fonction de $t$ pour $t\in \mathbb{R}%
^{+}$.
\item Montrer alors qu'une densité de $Y$ sur $\mathbb{R}^{+}$ est la
fonction $u$ définie dans la partie $A$.
\end{enumerate}
\item Soit $a$ un réel strictement négatif.
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$, calculer $\int\limits_{0}^{x}te^{at}dt$
\item En déduire que l'intégrale $\int\limits_{0}^{+\infty }te^{at}dt$
converge et donner sa valeur en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\item A l'aide des résultats précédents, montrer que la variable aléatoire $%
Y $ a une espérance et calculer sa valeur. Exprimer le résultat en heures et
minutes.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}