%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D'INDUSTRIE }%
\medskip
\rule{4cm}{1pt}\bigskip
\textbf{\Large EPREUVES ESC}\bigskip
\textbf{\large CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES}
\rule{2cm}{1pt}\bigskip
\textbf{{\large \textit{MATHEMATIQUES}}}\bigskip
{\large OPTION SCIENTIFIQUE} \bigskip
\textbf{Année 2000\bigskip }
\rule{2cm}{1pt}
\end{center}
\noindent \textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invité%
s à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ;} \medskip
\textbf{L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est
interdit pendant cette épreuve. }\medskip
\textit{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}\bigskip
\begin{center}
\rule{2cm}{1pt}\bigskip
\end{center}
\newpage
\section*{Exercice 1}
\subsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Soit $\Phi $ la fonction définie sur $\mathbb{R}_{+}^{\times }$ par: $%
\Phi (x)=\ln x$.\newline
Vérifier que :
\begin{equation*}
\forall k\in \mathbb{N}^{\times },\quad \forall x\in \mathbb{R}_{+}^{\times
},\quad \Phi ^{(k)}(x)=\dfrac{(-1)^{k-1}.(k-1)!}{x^{k}}.
\end{equation*}
\item Montrer alors que :%
\begin{equation*}
\forall t\in \lbrack 0,1],\;\forall n\in \mathbb{N}^{\times },\quad
\left\vert \ln (1+t)+\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{k}t^{k}\right\vert
\leqslant \dfrac{t^{n+1}}{n+1}.
\end{equation*}
\item En déduire que la série de terme général $\dfrac{(-1)^{n}}{n}$ (avec $%
n\geqslant 1$) converge et donner sa somme.
\end{enumerate}
\subsection*{Partie B}
On définit sur $\mathbb{R}$ la fonction numérique réelle $f$ par :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{tabular}{l}
$f$ est périodique de période $2$ \\
pour tout $x\in ]-1,1[,\;f(x)=x.(1-\left\vert x\right\vert $%
\end{tabular}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et dérivable sur $[-1,1]$%
.
\item Donner les variations de $f$ sur $[-1,1]$.
\item Vérifier que: $\forall n\in \mathbb{N},\;\forall x\in \lbrack
0,1],\;f(x+n)=(-1)^{n}f(x)$.
\item On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un
repère orthonormé d'unité $2$ cm. Représenter les points de $\mathcal{C}$
d'abscisse comprise entre $-2$ et $3$.
\end{enumerate}
\subsection*{Partie C}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{tabular}{ll}
$g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ & si $x\not=0$ \\
$g(0)=1$ &
\end{tabular}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $g$ est continue sur $\mathbb{R}$.
\item Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose: $u_{n}=\int\limits_{n}^{n+1}g(x)dx$.%
\newline
En utilisant le changement de variable $t=x-n$ et la question 3. de la
partie B, montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}:$%
\begin{equation*}
u_{n}=(-1)^{n}.\int\limits_{0}^{1}\dfrac{f(t)}{t+n}dt.
\end{equation*}
\item En déduire que :
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N}^{\times },\quad \dfrac{1}{6(n+1)}\leqslant
\left\vert u_{n}\right\vert \leqslant \dfrac{1}{6n}.\newline
\end{equation*}%
La série de terme général $u_{n}$ est-elle absolument convergente ?
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Vérifier que :%
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}^{+},\;\forall n\in \mathbb{N}^{\times },\quad \dfrac{%
x(1-x)}{x+n}=-x+(n+1)-\dfrac{n^{2}+n}{x+n}.
\end{equation*}
\item En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item En utilisant un développement limité de $u_{n}$ en $\dfrac{1}{n}$,
donner la nature de la série de terme général $u_{n}$.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 2}
Pour $n\in \mathbb{N}$, $\mathbb{R}_{n}[X]$ désigne l'espace vectoriel des
polynômes à coefficients réels, de degré au plus $n$. Soit $f$ l'application
qui, à tout polynôme $P$ de $\mathbb{R}_{n}[X]$, associé le polynôme $Q$ dé%
fini par:
\begin{equation*}
Q(X)=P(X+1)+XP^{\prime }(X)
\end{equation*}
\subsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_{n}[X]$.
\item Donner la matrice $M$ de $f$ dans la base canonique de $\mathbb{R}%
_{n}[X]$.
\item $f$ est-il un automorphisme de $\mathbb{R}_{n}[X]$?
\end{enumerate}
\subsection*{Partie B}
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs propres de $f$ ? L'endomorphisme $f$ est-il
diagonalisable?
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un polynôme $P_{n}$ non nul de $\mathbb{R}_{n}[X]$
tel que: $f(P_{n})=(n+1)P_{n}$.
\item Vérifier que $P_{n}$ est de degré $n$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que: $\forall k\in \lbrack \hspace{-0.15em}[0,n]\hspace{-0.13em%
}],\;f(P_{n}^{(k)})=(n+1-k)P_{n}^{(k)}$.
\item En déduire que$\left( P_{n}^{(k)}\right) _{0\leqslant k\leqslant n}$
est une base de $\mathbb{R}_{n}[X]$ constituée de vecteurs propres de $f$.
\item Donner la matrice $D$ de $f$ dans cette base.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie C}
Dans cette partie, $n=2$. On définit les polynômes $E_{0},\;E_{1}$ et $E_{2}$
par
\begin{equation*}
\left\{
\begin{tabular}{lll}
$E_{0}=1$ & & \\
$E_{1}^{\prime }=E_{0}$ & et & $E_{1}(1)=2E_{1}(0)$ \\
$E_{2}^{\prime }=E_{1}$ & et & $E_{2}(1)=3E_{2}(0)$%
\end{tabular}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Expliciter les polynômes $E_{1}$ et $E_{2}$.
\item Montrer que $(E_{0},E_{1},E_{2})$ est une base $\mathcal{B}$ de $%
\mathbb{R}_{2}[X]$ formée de vecteurs propres de $f$.
\item Calculer les coordonnées du polynôme $Q(X)=X^{2}+X+1$ dans la base $%
\mathcal{B}$.
\item Déterminer le polynôme $P$ de $\mathbb{R}_{2}[X]$ tel que: $%
P(X+1)+XP^{\prime }(X)=X^{2}+X+1$.
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Exercice 3}
$p$ et $q$ désignent deux réels avec $p\in ]0,1[$ et $q=1-p$.\newline
On considère une variable aléatoire réelle $X$ ayant pour loi:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{tabular}{ll}
$X(\Omega )=\mathbb{N}$ & \\
$P(X=k)=pq^{k}$, & $\forall k\in \mathbb{N}.$%
\end{tabular}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
\item On pose $Y=\dfrac{1}{X+1}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $Y$.
\item Justifier l'égalité :
\begin{equation*}
\forall x\in \lbrack 0,1[,\quad \forall n\in \mathbb{N},\quad
\sum\limits_{i=0}^{n}x^{i}=\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{x^{n+1}}{1-x}.
\end{equation*}%
En déduire que :
\begin{equation*}
\forall t\in \lbrack 0,1[,\quad \forall n\in \mathbb{N}^{\times
},\;\sum\limits_{k=1}^{n+1}\dfrac{t^{k}}{k}+\ln (1-t)=\int\limits_{0}^{t}%
\dfrac{x^{n+1}}{x-1}dx.
\end{equation*}
\item Montrer que :
\begin{equation*}
\forall t\in \lbrack 0,1[,\quad \forall n\in \mathbb{N}^{\times
},\;\left\vert \int\limits_{0}^{t}\dfrac{x^{n+1}}{x-1}dx\right\vert
\leqslant \dfrac{1}{1-t}.\dfrac{t^{n+2}}{n+2}.
\end{equation*}%
Prouver alors que :
\begin{equation*}
\forall t\in \lbrack 0,1[,\;\sum\limits_{k=1}^{+\infty }\dfrac{t^{k}}{k}%
=-\ln (1-t).
\end{equation*}
\item Calculer $E(Y)$.
\end{enumerate}
\item Soit $Z$ une variable aléatoire réelle à valeurs dans $\mathbb{N}$
telle que, pour tout $k\in \mathbb{N}$, la loi conditionnelle de $Z$ sachant
$(X=k)$ est uniforme sur $[\hspace{-0.15em}[0,k]\hspace{-0.13em}]$.
\begin{enumerate}
\item Pour $z\in \mathbb{N}$ et $k\in \mathbb{N}$, donner la valeur de $%
P(Z=z/X=k)$.
\item Déterminer la loi de $Z$ \textit{(chaque probabilité sera laissée sous
forme d'une somme)}.
\item Calculer $E(Z)$.
\end{enumerate}
\item Soit $T$ une variable aléatoire absolument continue à valeurs dans $%
R_{+}$ telle que, pour tout $k\in \mathbb{N}$, la loi conditionnelle de $T$
sachant $(X=k)$ est exponentielle de paramètre $k+1$.
\begin{enumerate}
\item Pour $t\in \mathbb{R}_{+}$ et $k\in \mathbb{N}$, exprimer $%
P(T\leqslant t/X=k)$.
\item En déduire la fonction de répartition de $T$.
\item Donner alors une densité de $T$.
\item A l'aide d'une intégration par parties, calculer $E(T)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}