%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D'INDUSTRIE }%
\medskip
\rule{4cm}{1pt}\bigskip
\textbf{\Large EPREUVES ESC}\bigskip
\textbf{\large CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES}
\rule{2cm}{1pt}\bigskip
\textbf{{\large \textit{MATHEMATIQUES}}}\bigskip
{\large OPTION SCIENTIFIQUE} \bigskip
\textbf{Année 2005\bigskip }
\rule{2cm}{1pt}
\end{center}
\noindent \textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invité%
s à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ;} \medskip
\textbf{L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est
interdit pendant cette épreuve. }\medskip
\textit{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}\bigskip
\begin{center}
\rule{2cm}{1pt}\bigskip
\end{center}
\newpage
\section*{EXERCICE 1}
Pour tout triplet de réels $(a,b,c)$ on pose $M_{a,b,c}={{%
\begin{pmatrix}
a & c & b \\
c & a+b & c \\
b & c & a%
\end{pmatrix}%
}}$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout triplet de réels $(a,b,c)$ la matrice $%
M_{a,b,c}$ est diagonalisable.
\item On pose $E=\left\{ {\,}M_{a,b,c}\quad ,\quad (a,b,c){\in }\mathbb{R}{%
^{3}\,}\right\} $.\newline
Montrer que $E$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel dont on déterminera une
base et la dimension.
\item On pose $C=M_{0,0,1}$ et $h$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ de
matrice $C$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^{3}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $C^{2}$ et $C^{3}$. Donner un polynôme annulateur de $C$.
\item En déduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de $h$.
\item Donner une base de $\mathbb{R}^{3}$ formée de vecteurs propres pour $h$
, et orthonormée pour le produit scalaire canonique de $\mathbb{R}^{3}$.
\end{enumerate}
\item On pose $B=M_{0,1,0}$ et $g$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ de
matrice $B$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^{3}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $g$ et $h$ commutent.
\item Montrer que tout vecteur propre de $h$ est un vecteur propre de $g$.
\item En déduire que $g$ et $h$ sont diagonalisables dans une même base et
donner les valeurs propres de $g$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Exprimer $M_{a,b,c}$ en fonction de $I\,,\,B\,,\,C$ et des réels $a$ ,
$b$ et $c$.
\item En déduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de $%
M_{a,b,c}$.
\end{enumerate}
\item Soit $c$ un réel fixé.\newline
On considère l'application $\phi _{c}:\mathbb{R}^{3}\times \mathbb{R}%
^{3}\rightarrow \mathbb{R}$ telle que pour tous triplets de réels $(x,y,z)$
et $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ :%
\begin{equation*}
\phi _{c}((x,y,z)\,,\,(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime
}))=\,^{t}X\,M_{2,1,c}X^{\prime }
\end{equation*}%
où $X={{%
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z%
\end{pmatrix}%
}}$ et $X^{\prime }={{%
\begin{pmatrix}
x^{\prime } \\
y^{\prime } \\
z^{\prime }%
\end{pmatrix}%
}}$.\newline
On pose $u_{1}=(-1,0,1)\,\,,\,\,u_{2}=(1,\sqrt{2},1)\,\,,\,\,u_{3}=(1,-\sqrt{%
2},1)$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\phi _{c}$ est une forme bilinéaire symétrique de $%
\mathbb{R}^{3}$.
\item Calculer les 6 valeurs $\phi _{c}(u_{i},u_{j})$ pour $1\leqslant
i\leqslant j\leqslant 3$.
\item Etablir : $\left[ \phi _{c}(u_{2},u_{2})>0\quad \text{et}\quad \,\phi
_{c}(u_{3},u_{3})>0\right] \Leftrightarrow c\in \left] \dfrac{-3}{\sqrt{2}};%
\dfrac{3}{\sqrt{2}}\right] $.
\item Déterminer l'ensemble des réels $c$ tels que $\phi _{c}$ définisse un
produit scalaire sur $\mathbb{R}^{3}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 2}
On considère, en admettant pour l'instant son existence, la fonction $f$ dé%
finie sur $\mathbb{R}^{3}$par :%
\begin{equation*}
f((a,b,c))=\dint\limits_{-\infty }^{+\infty }{\dfrac{\left( a+2bt^{2}+\dfrac{%
4c}{3}t^{4}\right) }{\sqrt{\pi }}\,e^{-abc-t^{2}}dt}.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'intégrale $\dint\limits_{-\infty }^{+\infty }{%
t^{k}e^{-t^{2}}dt}$ converge pour tout entier naturel $k$. On la note $I_{k}$%
.
\item Montrer que pour tout entier naturel $k$ , $I_{2k+1}=0$.
\item A l'aide du changement de variable $u=t^{2}$ montrer que pour tout
entier naturel $k$ : $I_{2k}=\Gamma (k+\dfrac{1}{2}).$ En déduire les
valeurs de $I_{2}$ et $I_{4}$ en fonction de $\Gamma (\dfrac{1}{2})$.
\item En utilisant la densité d'une loi normale $\mathcal{N}(0,\sigma ^{2})$
avec $\sigma =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , calculer $I_{0}$.\newline
En déduire $\Gamma (\dfrac{1}{2})$ , puis $I_{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\pi }$ et
$I_{4}=\dfrac{3}{4}\sqrt{\pi }$.
\item En déduire que pour tous réels $a$ , $b$ , $c$ , $f((a,b,c))$ existe
et $f((a,b,c))=(a+b+c)e^{-abc}$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une fonction de classe $C^{2}$sur $\mathbb{R}^{3}$.
\item Donner les dérivées partielles d'ordre 1 de $f$.
\item Donner les dérivées partielles d'ordre 2 de $f$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item On suppose que $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ est un point critique de $f$.%
\newline
Montrer que $\alpha \beta \gamma \neq 0$ et que $\dfrac{1}{\alpha \beta }=%
\dfrac{1}{\alpha \gamma }=\dfrac{1}{\beta \gamma }$. En déduire que $\alpha
=\beta =\gamma =\left( {\dfrac{1}{3}}\right) \,^{\dfrac{1}{3}}$.\newline
Réciproquement, vérifier que le point $A=\left( {\left( {\dfrac{1}{3}}%
\right) \,^{\dfrac{1}{3}},\left( {\dfrac{1}{3}}\right) \,^{\dfrac{1}{3}%
},\left( {\dfrac{1}{3}}\right) \,^{\dfrac{1}{3}}}\right) $ est bien un point
critique de $f$.
\item Donner la hessienne de $f$ au point critique $A$.
\end{enumerate}
\item Soit $h$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$de matrice $H={{%
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 4 \\
4 & 1 & 4 \\
4 & 4 & 1%
\end{pmatrix}%
}}$ relativement à la base canonique de $\mathbb{R}^{3}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la famille $F=((1,1,1),(-1,0,1),(1,-2,1))$ a les propriété%
s suivantes :
\begin{itemize}
\item $F$ est formée de vecteurs propres de $h$.
\item $F$ est orthogonale pour le produit scalaire canonique de $\mathbb{R}%
^{3}$.
\item $F$ est une base de $\mathbb{R}^{3}$.
\end{itemize}
\item Montrer que si $X={{%
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z%
\end{pmatrix}%
}}$ , alors $^{t}XHX=3(x+y+z)^{2}-\dfrac{3}{2}(z-x)^{2}-\dfrac{1}{2}%
(x-2y+z)^{2}$.
\item En déduire que le point $A$ est un point col de $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE 3}
Dans tout l"énoncé $S$ désigne un entier naturel non nul fixé.\newline
Une urne contient initialement $4S$ boules indiscernables au toucher, dont :%
\newline
$S$ boules rouges , $S$ boules vertes et 2$S$ boules bleues.\newline
On effectue des tirages successifs d'une boule , au hasard , avec le
protocole suivant :\newline
Si la boule tirée est rouge on ne la remet pas dans l'urne , mais on remet
dans l'urne une boule bleue.\newline
Si la boule tirée est verte on la remet dans l'urne.\newline
Si la boule tirée est bleue on ne la remet pas dans l'urne , mais on remet
dans l'urne une boule rouge.\newline
On note pour tout entier naturel non nul $n$ ,$X_{n}$ la variable aléatoire é%
gale au nombre de boules rouges présentes dans l'urne après le $n$ - ième
tirage , et on note $X_{0}$ la variable aléatoire certaine égale à $S$.%
\newline
On rappelle que si $A$ désigne un événement de probabilité non nulle et $X$
une variable aléatoire discrète , $E(X/A)$ est l'espérance de $X$ pour la
probabilité conditionnelle $P_{A}$ : $E(X/A)=\dsum\limits_{x\in X(\Omega )}{%
xP_{A}(X=x)}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X_{1}$ et calculer son espérance.
\item Déterminer la loi de $X_{2}$ et calculer son espérance.\newline
On suppose désormais que $n$ est un entier supérieur ou égal à $2S$ , de
sorte que $X_{n}(\Omega )=\left\{ 0,...,3S\right\} $.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Soit $k$ un entier appartenant à $\left\{ 1,...,3S-1\right\} $.\newline
Quelle est la composition de l'urne lorsque l'événement $(X_{n}=k)$ se ré%
alise ?\newline
En déduire la loi de $X_{n+1}$ conditionnellement à l'événement $(X_{n}=k)$.
\item Montrer alors que $E(X_{n+1}/X_{n}=k)=(\,1-\dfrac{1}{2S})k+\dfrac{3}{4}
$.\newline
Cette formule est-elle encore vraie lorsque $k=0$ ? lorsque $k=3S$ ?
\item En déduire par la formule de l'espérance totale que $E(X_{n+1})=(1-%
\dfrac{1}{2S})E(X_{n})+\dfrac{3}{4}$.
\end{enumerate}
\item On note pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2S$ : $%
u_{n}=E(X_{n})$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le réel $\alpha $ tel que $\alpha =(1-\dfrac{1}{2S})\alpha +%
\dfrac{3}{4}$
\item Montrer que la suite $(u_{n}-\alpha )_{n\geqslant 2S}$ est géométrique.
\item En déduire l' expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ , $S$ , et $%
u_{2S}$.
\item Montrer que $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }E(X_{n})=\dfrac{3S}{2}$%
.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}