%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\noindent \underline{Concours National des E.S.C.A.E.}\bigskip \newline
Option Générale
\begin{center}
\textbf{Concours National d'admission 1979}\bigskip
{\Large MATHEMATIQUES I}\bigskip
{\Large Algèbre et analyse}\bigskip
\underline{\hspace{3cm}}
\end{center}
\section*{EXERCICE I - APPLICATION\ SIMPLE}
Soit $\mathfrak{M}_{3}$ l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre 3.%
\newline
On note $I=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{pmatrix}%
$ la matrice unité de $\mathfrak{M}_{3}.$
\begin{enumerate}
\item On considère la matrice $A=%
\begin{pmatrix}
0 & 1 & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\medskip \\
-1 & 0 & \dfrac{1}{2}\medskip \\
-\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0%
\end{pmatrix}%
.$\newline
Calculer $A^{2},$ $A^{3}$ et $A^{4}.$
\item Soit $f\left\vert
\begin{array}{ccl}
\mathbb{R} & \rightarrow & \mathfrak{M}_{3} \\
x & \mapsto & I+xA+\dfrac{x^{2}}{2}A^{2}%
\end{array}%
\right. $
\begin{enumerate}
\item Montrer que :%
\begin{equation*}
\forall (x,y)\in \mathbb{R}^{2},\quad f(x+y)=f(x)\times f(y)
\end{equation*}
\item En déduire que, pour tout réel $x,$
\begin{equation*}
f(x)\times f(-x)=f(-x)\times f(x)=I
\end{equation*}%
puis que la matrice $I+xA+\dfrac{x^{2}}{2}A^{2}$ est inversible.\newline
Exprimer l'inverse de cette matrice en fonction de $x,$ $I,$ $A$ et $A^{2}.$
\item \textit{Application numérique} :\newline
Soit la matrice $B=I+4A+8A^{2}.$\newline
Déterminer la matrice $B^{-1}$ inverse de $B.$\newline
La réponse à cette question sera donnée sous la forme $B^{-1}=%
\begin{pmatrix}
a & b & c \\
a^{\prime } & b^{\prime } & c^{\prime } \\
a^{\prime \prime } & b^{\prime \prime } & c^{\prime \prime }%
\end{pmatrix}%
$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE\ II - CALCUL\ NUMERIQUE}
A l'oral d'un examen, chaque candidat est interrogé en 1ère langue où il
obtient la note $x$ et en 2ème langue où il obtient la note $y$ (notes sur
20).\newline
Les résultats obtenus par les 100 candidats sont donnés dans le tableau
ci-dessous :%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
$_{y}\diagdown ^{x}$ & $[0,4[$ & $[4,8[$ & $[8,12[$ & $[12,16[$ & $[16,20[$
\\ \hline
$\lbrack 0,4[$ & 2 & 5 & 2 & & \\ \hline
$\lbrack 4,8[$ & 1 & 12 & 10 & 3 & \\ \hline
$\lbrack 8,12[$ & & 3 & 28 & 12 & 1 \\ \hline
$\lbrack 12,16[$ & & 1 & 5 & 10 & 2 \\ \hline
$\lbrack 16,20[$ & & & & 1 & 2 \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
\emph{Pour effectuer les calculs demandés} : \newline
\begin{equation*}
\left\Vert
\begin{tabular}{l}
$\circ $ On supposera que chaque candidat a obtenu la note égale à au centre
de la classe correspondante \\
$\circ $ On utilisera impérativement les variables $u=\dfrac{x-10}{4}$ et $v=%
\dfrac{y-10}{4}$%
\end{tabular}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne arithmétique $\overline{x}$ et l'écart-type $%
\sigma (x)$ des notes obtenues en 1ère langue.\newline
Calculer la moyenne arithmétique $\overline{y}$ et l'écart-type $\sigma (y)$
des notes obtenues en 2ème langue.
\item Calculer la coefficient de corrélation linéaire entre les notes
obtenues en 1ère langue et en 2ème langue.
\end{enumerate}
\section*{PROBLEME}
\emph{N.B. Dans la deuxième partie de ce problème}%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{l}
\emph{Effectuer un tirage consiste à extraire simultanément deux boules de
l'urne;} \\
\emph{On fait l'hypothèse d'équiprobabilité à chaque tirage}%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\subsection*{Première partie}
Soit la fonction $f\left\vert
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x & \mapsto & \sqrt{\dfrac{14x^{2}+4}{5}}%
\end{array}%
\right. $
\begin{enumerate}
\item Etudier la parité de $f.$
\item Déterminer les équations des deux asymptotes obliques à la courbe $(C)$
représentative de $f$ et étudier la position de la courbe par rapport à
chacune de ses asymptotes.
\item Etudier la fonction $f$ et tracer sa courbe représentative $(C)$ dans
un repère orthonormé (unité : 2 cm).
\item Soit $G\left\vert
\begin{array}{ccl}
\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x & \mapsto & \dfrac{x}{2}\sqrt{7x^{2}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{7}}\ln (x\sqrt{7}+%
\sqrt{7x^{2}+2})%
\end{array}%
\right. $
\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition de $G$ et calculer la fonction dé%
rivée de la fonction $G.$
\item En déduire une primitive de la fonction $f.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Deuxième partie}
%TCIMACRO{%
%\TeXButton{TeX field}{\renewcommand\theenumi{\Roman{enumi}}
%\renewcommand\theenumii{\arabic{enumii}}
%\renewcommand\theenumiii{\alph{enumiii}}
%\renewcommand\labelenumi{\theenumi .}
%\renewcommand\labelenumii{\theenumii°}
%\renewcommand\labelenumiii{\theenumiii )}}}%
%BeginExpansion
\renewcommand\theenumi{\Roman{enumi}}
\renewcommand\theenumii{\arabic{enumii}}
\renewcommand\theenumiii{\alph{enumiii}}
\renewcommand\labelenumi{\theenumi .}
\renewcommand\labelenumii{\theenumii°}
\renewcommand\labelenumiii{\theenumiii )}%
%EndExpansion
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Deux joueurs A et B sont en présence.\newline
Une urne contient 6 boules; $k$ boules sont noires $(2\leqslant k\leqslant
4) $ et les autres sont blanches.\newline
Le joueur extrait simultanément deux boules.
\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $k,$ la probabilité qu'il tire deux boules
noires.
\item Le joueur B lance deux fois de suite un dé parfaitement équilibré, les
deux épreuves étant indépendantes.\newline
Calculer la probabilité que B obtiennent deux nombres dont le produit est sup%
érieur ou égal à 9.
\end{enumerate}
\item A et B conviennent de jouer de la manière suivante :\newline
A extrait deux boules de l'urne. S'il obtient deux boules noires, il gagne
et la partie cesse.\newline
Dans tous les autres cas, B lance deux fois le dé. S'il obtient deux nombres
dont le produit est supérieur ou égal à 9, il gagne et le jeu cesse. Dans le
cas contraire, le tour revient au joueur A dans les conditions indentiques à
son premier essai, les boules tirées à chaque essai étant remise dans l'urne.
\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $k,$ les probabilités $p_{1},$ $p_{2}$ et $%
p_{3}$ que la joueur A gagne à son premier, deuxième ou troisième essai.
\item Calculer, en fonction de $k$ et de $n,$ la probabilité $p_{n}$ que le
joueur A gagne à son $n^{i\grave{e}me}$ essai.
\item Calculer, en fonction de $k$ et de $n,$ la probabilité $S_{n}$ que le
joueur A gagne à l'un quelconque de ses $n$ premiers essais.
\item On suppose que $k=4.$\newline
Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $S_{n}>0,54.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item L'urne contenant 4 boules noires et deux boules blanches, le joueur A
participe au jeu suivant :
\begin{itemize}
\item Si, à son premier essai, il tire deux boules noires, il perd $x$
francs ($x\geqslant 0);$
\item Si, à son premier essai, il tire deux boules blanches, il gagne $6x$
francs ($x\geqslant 0);$
\item Si, à son premier essai, il tire une boule blanche et une boule noire,
il procède à un second tirage après avoir remis dans l'urne les boules tiré%
es.
\end{itemize}
\noindent A l'issue de ce second tirage, il gagne $a$ francs s'il tire deux
boules noires. Dans les autres cas, la partie cesse et il perd 1 franc.%
\newline
On désigne par $Y$ la variable aléatoire dont les valeurs sont égales aux
gains (positifs ou négatifs) du joueur A.
\begin{enumerate}
\item Donner la loi de probabilité de la variable $Y.$
\item Calculer, en fonction de $a,$ l'espérance mathématique de la variable
aléatoire $Y$ et déterminer $a$ pour que le jeu soit mathématiquement é%
quitable.
\item $a$ ayant la valeur obtenue dans la question précédente, calculer, en
fonction de $x,$ l'écart-type $\sigma (Y)$ de la variable aléatoire $Y.$
\item En utilisant la courbe $(C)$ de la première partie, déterminer
GRAPHIQUEMENT l'entier naturel $x$ pour que l'écart-type $\sigma (Y)$ soit
compris entre 3 et 4.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}