%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\noindent \underline{Concours National des E.S.C.A.E.}\bigskip \newline
Option Générale
\begin{center}
\textbf{Concours National d'admission 1980}\bigskip
{\Large MATHEMATIQUES I}\bigskip
{\Large Algèbre et analyse}\bigskip
\underline{\hspace{3cm}}\bigskip
\end{center}
\textbf{Cette épreuve est constituée d'un problème unique comprenant trois
parties}
\section*{Première partie}
Soit la fonction $\varphi \left\vert
\begin{array}{ccl}
\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x & \mapsto & \left\{
\begin{array}{ll}
1+x-x\ln \left\vert x\right\vert & \text{si }x\neq 0 \\
1 & \text{si }x=0%
\end{array}%
\right.
\end{array}%
\right. $\newline
Les notations $\ln $ et $\left\vert {}\right\vert $ désignent respectivement
le logarithme népérien et la valeur absolue.\newline
Soit $(C)$ la représentation graphique de cette fonction dans un repère
orthonormé $\{O,(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\}.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $\varphi $ est continue sur $\mathbb{R}.$
\item Etudier la dérivabilité de cette fonction sur $\mathbb{R}.$\newline
Quand elle existe, définir la fonction dérivée de $\varphi .$\newline
Préciser la tangente à la courbe $(C)$ au point $\Omega (0,1).$
\item Montrer que $\Omega $ est centre de symétrie de $(C).$
\item Etudier les branches infinies de $(C)$ et dresser le tableau de
variations de $\varphi .$
\item Montrer que la courbe $(C)$ coupe l'axe de repère $\{O,\overrightarrow{%
i}\}$ en un point d'abscisse $x_{0}$ ($x_{0}>1).$\newline
Déterminer la valeur approchée de $x_{0}$ à $0,01$ près par défaut.
\item Construire la courbe $(C).$
\item Soit la droite $(D)$ d'équation $y=x+1.$
\begin{enumerate}
\item Déterminer, par leurs coordonnées, les points d'intersection de $(C)$
et $(D).$
\item Pour tout réel $t,$ on pose $\gamma (t)=t+1.$\newline
Prouver, pour tout réel $x,$ l'existence de l'intégrale%
\begin{equation*}
\Phi (x)=\int\limits_{0}^{x}[\varphi (t)-\gamma (t)]dt
\end{equation*}%
et calculer cette intégrale.
\item Résoudre dans $\mathbb{R},$ l'équation $\Phi (x)=0.$ Interpréter
graphiquement ce résultat.
\item Calculer l'aire du domaine $\Delta $ ensemble des points $M(x,y)$ tels
que :%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
-1\leqslant x\leqslant 0 \\
0\leqslant y\leqslant \varphi (x)%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Deuxième partie}
On rappelle que l'ensemble $\mathcal{F}$ des fonctions numériques continues
sur $\mathbb{R},$ muni de l'addition usuelle des fonctions et de la
multiplication par un réel est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}.$\newline
On considère les fonctions
\begin{equation*}
\varphi _{1}\left\vert
\begin{array}{ccl}
\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x & \mapsto & 1%
\end{array}%
\right. \qquad \varphi _{2}\left\vert
\begin{array}{ccl}
\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x & \mapsto & x%
\end{array}%
\right. \qquad \varphi _{3}\left\vert
\begin{array}{ccl}
\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x & \mapsto & \left\{
\begin{array}{cc}
x\ln \left\vert x\right\vert & \text{si }x\neq 0 \\
0 & \text{si }x=0%
\end{array}%
\right.
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal{B}=(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3})$ est
une famille libre de $\mathcal{F}.$\newline
Soit $E$ le sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}$ engendré par $\mathcal{B}.
$\newline
Montrer que la fonction $\varphi $ définie dans la première partie est un élé%
ment de $E$ et donner ses coordonnées dans la base $\mathcal{B}.$
\item Soit $f$ l'endomorphisme de $E$ dont la matrice relativement à la base
$\mathcal{B}$ est :%
\begin{equation*}
M=%
\begin{pmatrix}
2 & -2 & 1 \\
2 & -3 & 2 \\
-1 & 2 & 0%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Soit $U$ de coordonnées $(a,b,c)$ dans la base $\mathcal{B}.$\newline
Quelles sont, dans cette base, les coordonnées de $f(U)$ ?
\item Montrer que l'endomorphisme $f$ est bijectif et déterminer,
relativement à $\mathcal{B},$ la matrice de l'endomorphisme récirpoque $%
f^{-1}.$
\item Résoudre dans $E,$ l'équation $f(U)=\varphi ,$ $\varphi $ étant la
fonction définie dans la première partie.
\end{enumerate}
\item On pose $M^{\prime }=M-I,$ $I$ étant la matrice unité d'ordre 3.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $M^{\prime }$ n'est pas inversible.
\item Soit $g$ l'endomorphisme de $E$ dont la matrice relativement à $%
\mathcal{B}$ est $M^{\prime }.$\newline
Déterminer une base de $\func{Im}(g).$\newline
En déduire le rang de $g$ et la dimension de $\ker (g).$
\end{enumerate}
\item Vérifier la relation $(M-I)(M+3I)=0$ où $0$ désigne la matrice nulle
d'ordre 3.\newline
Montrer que cette relation permet de retrouver les résultats des questions 2$%
°$b et 3$°$a.
\end{enumerate}
\section*{Troisième partie}
\begin{enumerate}
\item On pose :$\left\{
\begin{array}{l}
M^{0}=I \\
\text{et} \\
\forall n\in \mathbb{N},\quad M^{n+1}=M^{n}\times M%
\end{array}%
\right. $
\begin{enumerate}
\item Exprimer $M^{2}$ en fonction de $M$ et $I.$\newline
Montrer par récurrence que $\forall n\in \mathbb{N},\quad
M^{n}=u_{n}M+v_{n}I,$ où $u_{n}$ et $v_{n}$ vérifient les relations
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
u_{0}=0\quad v_{0}=1 \\
\text{et} \\
\forall n\in \mathbb{N}\quad \left\{
\begin{array}{l}
u_{n+1}=-2u_{n}+v_{n} \\
v_{n+1}=3u_{n}%
\end{array}%
\right.
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\item Vérifier la relation :
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n+1}+v_{n+1}=u_{n}+v_{n}=1
\end{equation*}%
En déduire que :%
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n+1}=-3u_{n}+1
\end{equation*}%
Exprimer $u_{n}$, $v_{n}$ et $M^{n}$ en fonction de $n.$
\end{enumerate}
\item On se propose de déterminer $u_{n}$ et $v_{n}$ par une autre méthode.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice $A$ telle que, pour tout entier naturel $n$ :
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
u_{n+1} \\
v_{n+1}%
\end{pmatrix}%
=A%
\begin{pmatrix}
u_{n} \\
v_{n}%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{tabular}{l}
La méthode étudiée dans cette question consiste à déterminer $A^{n}$ \\
puisque, pour tout entier nature $n$ : $%
\begin{pmatrix}
u_{n} \\
v_{n}%
\end{pmatrix}%
=A^{n}\times
\begin{pmatrix}
u_{0} \\
v_{0}%
\end{pmatrix}%
$%
\end{tabular}%
\right.
\end{equation*}
\item On considère la matrice $P=%
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
3 & -1%
\end{pmatrix}%
.$\newline
Calculer $P^{2}.$ En déduire $P^{-1}$ puis $P^{n}$ pour tout entier naturel $%
n.$
\item Calculer $A^{\prime }=P^{-1}\times A\times P.$\newline
En déduire $(A^{\prime })^{n}$ puis $A^{n}$ pour tout entier naturel $n.$%
\newline
Retrouver ainsi les valeurs respectives de $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de
$n.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}