%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
\noindent \underline{Concours National des E.S.C.A.E.}\bigskip \newline
Option générale
\begin{center}
\textbf{Concours National d'admission 1983}\bigskip
{\Large MATHEMATIQUES II}\bigskip
{\Large Statistiques et probabilités}\bigskip
\underline{\hspace{3cm}}
\end{center}
\section*{EXERCICE}
Dans le tableau ci-dessous, $y$ représente, en milliers de tonneaux de jauge
brute, la capacité totale des navires marchands mis en service dans le monde
(à l'exclusion de l'URSS, la Roumanie et la Chine), au cours des années 1969
à 1975.%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1969 & 1970 & 1971 & 1972 & 1973 & 1974 & 1975 \\ \cline{2-8}
& & & & & & & \\
Rang de l'année $t_{i}$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
& & & & & & & \\
$y_{i}$ & 18 738 & 20 979 & 24 387 & 26 748 & 30 408 & 33 541 & 34 202 \\
& & & & & & & \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Source : Llyod's Register of Shipping
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage des points $M_{i}(t_{i},y_{i})$ sur papier
semi-logarithmique.\newline
Qu'en concluez-vous ?
\item On pose $v_{i}=\log y_{i}$ ($\log =$ logarithme décimal).\newline
N.B. Les valeurs des $v_{i}$ seront arrondies au plus proche, à $10^{-3}$ prè%
s.\newline
Reproduire et compléter le tableau suivant%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$t_{i}$ & $y_{i}$ & $v_{i}$ & ...... \\ \hline
1 & & & \\
$\vdots $ & & & \\
7 & & & \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
en faisant apparaitre tous les résultats permettant le calcul des
coefficients $a$ et $b$ de l'équation demandée ci-dessous.\newline
Donner, sous la forme $v=at+b,$ l'équation de la droite de régression de $v$
en $t.$\newline
($a$ et $b$ seront arrondis, au plus proche, à $10^{-3}$ près et le candidat
rappellera les formules qu'il utilise pour ces calculs).
\item A quel couple $(t,y)$ correspond le point moyen $G$ du nuage de points
? ($y$ sera donné à une unité près).\newline
Placer ce point sur le graphique précédent et tracer la droite de régression
de $v$ en $t.$\newline
(Le candidat devra préciser les deux points qu'il a choisi pour tracer cette
droite)
\item En déduire, entre $y$ et $t,$ une relation de la forme $y=kd^{t}$
\newline
($k$ sera arrondi à une unité près et $d$ arrondi à $10^{-3}$ près).
\end{enumerate}
\section*{PROBLEME}
Ce problème comprend trois parties indépendantes
%TCIMACRO{%
%\TeXButton{TeX field}{\renewcommand\theenumi{\Roman{enumi}}
%\renewcommand\theenumii{\arabic{enumii}}
%\renewcommand\theenumiii{\alph{enumiii}}
%\renewcommand\labelenumi{\theenumi .}
%\renewcommand\labelenumii{\theenumii°}
%\renewcommand\labelenumiii{\theenumiii )}}}%
%BeginExpansion
\renewcommand\theenumi{\Roman{enumi}}
\renewcommand\theenumii{\arabic{enumii}}
\renewcommand\theenumiii{\alph{enumiii}}
\renewcommand\labelenumi{\theenumi .}
\renewcommand\labelenumii{\theenumii°}
\renewcommand\labelenumiii{\theenumiii )}%
%EndExpansion
\begin{enumerate}
\item Dans une banque, on a relevé les montants des retraits en espèces
effectués par 1 000 clients sur une période de un mois. On a obtenu les ré%
sultats suivants :%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
& \\
Montant des retraits (en F) & Nombre de clients \\
$x_{i}$ & $n_{i}$ \\
& \\ \hline
& \\
Moins de 500 & 5 \\
\lbrack 500 à 1 000[ & 12 \\
\lbrack 1 000 à 1 500[ & 33 \\
\lbrack 1\ 500 à 2 000[ & 71 \\
\lbrack 2 000 à 2 500[ & 119 \\
\lbrack 2 500 à 3 000[ & 175 \\
\lbrack 3 000 à 3 500[ & 185 \\
\lbrack 3 500 à 4 000[ & 158 \\
\lbrack 4 000 à 4 500[ & 122 \\
\lbrack 4 500 à 5\ 000[ & 69 \\
\lbrack 5\ 000 à 5\ 500[ & 35 \\
\lbrack 5\ 500 à 6\ 000[ & 11 \\
6\ 000 et plus & 5 \\
& \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer, à l'aide de la droite d'Henry, que cette distribution peut ê%
tre approchée en utilisant une loi normale.\newline
En déduire graphiquement votre estimation personnelle de la moyenne et de l'é%
cart-type de cette distribution.
\item Le total des retraits en espèces effectués par un client quelconque
sur une période de un mois définit une variable aléatoire $X.$\newline
On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 3 250 et d'écart-type 1 050.%
\newline
N.B. Pour les calculs suivants, les valeurs de la variable centrée réduite
seront arrondies, au plus proche à 0,01 près et les probabilités demandées
seront arrondies, au plus proche à 0,0001 près.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le montant total des retraits effectués en
un mois par un client soit supérieur ou égal à 3 800 F.
\item Calculer la probabilité que le montant total des retraits effectués en
un mois par un client soit au moins égal à 2 400 F et au plus égal à 4 500 F.
\item Calculer la probabilité que le montant total des retraits effectués en
un mois par client soit au moins de 2\ 800\ F sachant qu'il est au plus de
5\ 300\ F.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item La banque dispose également d'un distributeur automatique d'où les
clients peuvent retirer des billets de 500 F à l'aide d'une carte magné%
tique. Chaque client ne peut retirer plus de 4\ billets par semaine.\newline
Dans cette partie du problème, on ne s'intéresse qu'aux utilisateurs de ce
distributeur.
\begin{enumerate}
\item Le nombre de billets retirés par un client pendant une semaine définit
une variable aléatoire $B.$ On suppose que sa loi de probabilité est donnée
par le tableau%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$b_{i}$ & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
& & & & \\
$P(B=b_{i})$ & 0,1 & 0,4 & 0,3 & 0,2 \\
& & & & \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de $B$ (ce dernier sera
arrondi, au plus proche, à 0,001 près)
\item La somme totale retirée par deux clients au cours d'une semaine dé%
finit une variable aléatoire $Y$. (Les retraits effectués par les deux
clients sont évidemment indépendants).
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $Y.$
\item Calculer son espérance et son écart-type (ce dernier sera arrondi, au
plus proche, à 0,01 près)
\end{enumerate}
\item La banque a constaté que le nombre d'utilisateurs de ce distributeur
dans un intervalle de une heure est en moyenne égal à 5 et que la variable al%
éatoire $Z$ définie par ce nombre d'utilisateurs suit une loi de Poisson.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la variance de $Z\ ?$
\item Calculer, à 0,001 près, la probabilité que le nombre de clients
utilisant le distributeur au cours d'une heure soit :
\begin{description}
\item[$\protect\alpha )$] égal à 4;
\item[$\protect\beta )$] strictement supérieur à 2.
\end{description}
\item Calculer, à 0,001 près, la probabilité que le nombre d'utilisateurs au
cours d'une heure soit égal à 4 et que 2 d'entre eux (exactement) retirent
chacun 2\ 000 F.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item La banque a procédé à une étude statistique sur un échantillon de
clients salariés. Pour chacune de ces personnes concernées, on relevé, sur
une période fixée, d'une part d'une estimation du revenu mensuel moyen R (en
milliers de F), d'autre part la valeur S (en milliers de F), du solde moyen
du compte courant.\newline
A partir de cette étude, on admet que la loi de probabilité conjointe du
couple $(R,S)$ est la suivante :%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& R (classes) & [3,5[ & [5,7[ & [7,9[ & [9,11[ & [11,13[ \\ \hline
S (classes) & $_{\text{centres }s_{i}}\diagdown ^{\text{centres }r_{j}}$ & 4
& 6 & 8 & 10 & 12 \\ \hline
\lbrack 0,1[ & 0,5 & 0,06 & 0,07 & 0,08 & 0,04 & 0,01 \\ \hline
\lbrack 1,2[ & 1,5 & 0,03 & 0,10 & 0,10 & 0,06 & 0,02 \\ \hline
\lbrack 2,3[ & 2,5 & 0,01 & 0,02 & 0,15 & 0,09 & 0,05 \\ \hline
\lbrack 3,4[ & 3,5 & 0 & 0,01 & 0,02 & 0,05 & 0,01 \\ \hline
\lbrack 4,5[ & 4,5 & 0 & 0 & 0 & 0,01 & 0,01 \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Les variables $R$ et $S$ sont-elles indépendantes ?
\item Calculer l'espérance mathématique et la variance de chaque variable.
\item Calculer la covariance du couple $(R,S).$\newline
Calculer le coefficient de corrélation linéaire du couple $(R,S).$\newline
(Le résultat sera arrondi, au plus proche, à 0,001 près et le candidat
citera la formule utilisée).
\item Sachant que le revenu mensuel moyen d'un client est supérieur ou égal à
7\ 000 F, quelle est la probabilité que le solde moyen de son compte courant
soit supérieur ou égal à 2\ 000 F et strictement inférieur à 4\ 000\ F ? (Ce
résultat sera arrondi, au plus proche, à 0,001 près).
\item Donner la loi de probabilité de $S$ sachant l'évènement $(0\leqslant
R\leqslant 7)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}