%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
\noindent \underline{Concours National des E.S.C.A.E.}\bigskip \newline
Option économique
\begin{center}
\textbf{Concours National d'admission 1988}\bigskip
{\Large MATHEMATIQUES I}\bigskip
{\Large Algèbre et analyse}\bigskip
\underline{\hspace{3cm}}
\end{center}
Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants
\section*{PROBLEME I}
On se donne les matrices :%
\begin{equation*}
0=%
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0%
\end{pmatrix}%
,\quad I=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{pmatrix}%
,\quad A=%
\begin{pmatrix}
2 & -1 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
-3 & 3 & 0%
\end{pmatrix}%
,\quad L=%
\begin{pmatrix}
2 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 \\
-2 & 1 & 1%
\end{pmatrix}%
,\quad M=%
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
1 & -2 & 1%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}%
et on pose :
\begin{equation*}
A^{0}=I,\quad \forall n\in \mathbb{N},\quad A^{n+1}=A^{n}.A,\quad
S_{0}=0\quad \text{et}\quad \forall n\in \mathbb{N}^{\times },\quad
S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}A^{k}
\end{equation*}
%TCIMACRO{%
%\TeXButton{TeX field}{\renewcommand\theenumi{\Roman{enumi}}
%\renewcommand\theenumii{\arabic{enumii}}
%\renewcommand\theenumiii{\alph{enumiii}}
%\renewcommand\labelenumi{\theenumi .}
%\renewcommand\labelenumii{\theenumii°}
%\renewcommand\labelenumiii{\theenumiii )}}}%
%BeginExpansion
\renewcommand\theenumi{\Roman{enumi}}
\renewcommand\theenumii{\arabic{enumii}}
\renewcommand\theenumiii{\alph{enumiii}}
\renewcommand\labelenumi{\theenumi .}
\renewcommand\labelenumii{\theenumii°}
\renewcommand\labelenumiii{\theenumiii )}%
%EndExpansion
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Calculer $L.M$ et $M.L$
\item Calculer $L^{2}$ et $M^{2}.$ En déduire $L^{n}$ et $M^{n}$, $n\in
\mathbb{N}\backslash \{0,1\}$
\item En remarquant que $A=L-M,$ démontrer que $A^{n}=3^{n-1}L-(-3)^{n-1}M,%
\quad n\in \mathbb{N}^{\times }.$
\item Exprimer $S_{n}$ en fonction de $I,$ $L,$ $M$ et $n.$
\item On pose $S=I-A.$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $S$ est inversible et calculer $S^{-1}.$
\item En déduire que : $S_{n}=S^{-1}(I-A^{n}).$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item On considère la suite $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ définie par :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{n}=\lambda x_{n-1}+\alpha n^{2},\quad n\in \mathbb{N}^{\times } \\
x_{0}\text{ donné}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
où $\lambda $ est un réel différent de $1$ et $\alpha $ un réel non nul.
\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'il existe une suite $(Q_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ dont le
terme général est un polynôme de degré $2$ vérifiant :%
\begin{equation*}
Q_{n}=\lambda Q_{n-1}+\alpha n^{2},\quad n\in \mathbb{N}^{\times }
\end{equation*}%
(On posera $Q_{n}=an^{2}+bn+c$ et on déterminera $a,b$ et $c$ en fonction de
$\lambda $ et $\alpha ).$
\item On pose : $\forall n\in \mathbb{N}:y_{n}=x_{n}-Q_{n}.$\newline
Démontrer que $(y_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique.\newline
En déduire l'expression de $y_{n},$ puis de $x_{n}$ en fonction de $n,$ $%
\lambda ,$ $\alpha $ et $x_{0}.$
\end{enumerate}
\item $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}},$ $(v_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ et $%
(w_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ étant trois suites de nombres réels, on pose pour
tout entier naturel $n$ :%
\begin{equation*}
X_{n}=%
\begin{pmatrix}
u_{n} \\
v_{n} \\
w_{n}%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}%
On considère alors l'équation matricielle : $\forall n\in \mathbb{N}^{\times
}:X_{n}=AX_{n-1}+B$\newline
où $A$ est la matrice carrée d'ordre 3 définie au début du problème et $B=%
\begin{pmatrix}
\beta _{1} \\
\beta _{2} \\
\beta _{3}%
\end{pmatrix}%
$ une matrice colonne donnée.
\begin{enumerate}
\item On pose $X_{0}=%
\begin{pmatrix}
-1 \\
-4 \\
-1%
\end{pmatrix}%
$ et $B=%
\begin{pmatrix}
3 \\
-5 \\
-4%
\end{pmatrix}%
$
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que : $\forall n\in \mathbb{N}%
:X_{n}=A^{n}X_{0}+S_{n}B$\newline
En déduire, en utilisant les résultats du I, les expressions de $u_{n},$ $%
v_{n}$ et $w_{n}$ en fonction de $n.$
\item Déterminer le terme général de la suite $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ de
nombres réels définie par :%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{n}=ax_{n-1}+b,\quad n\in \mathbb{N}^{\times } \\
x_{0}\text{ donné}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
où $a\in \mathbb{R}\backslash \{1\}$ et $b\in \mathbb{R}$\newline
Cette formule est-elle comparable à celle obtenue précédemment ?
\end{enumerate}
\item On pose $X_{0}=%
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
-3%
\end{pmatrix}%
$ et $B=%
\begin{pmatrix}
2n^{2} \\
n^{2} \\
-2n^{2}%
\end{pmatrix}%
$ et on considère les suites $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}},$ $(b_{n})_{n\in
\mathbb{N}}$ et $(c_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ définies par :%
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\quad \left\{
\begin{array}{c}
a_{n}=u_{n}+v_{n}+w_{n} \\
b_{n}=2u_{n}-v_{n}-w_{n} \\
c_{n}=u_{n}-2v_{n}+w_{n}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
où $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$, $(v_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ et $%
(w_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ sont les trois suites définies au début du III.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $a_{n}=n^{2},\quad n\in \mathbb{N}$
\item Etablir une relation de récurrence entre $b_{n}$ et $b_{n-1}.$\newline
En déduire, en utilisant les résultats du II. l'expression de $b_{n}$ en
fonction de $n.$
\item Etablir de même une relation de récurrence entre $c_{n}$ et $c_{n-1}.$
En déduire l'expression de $c_{n}$ en fonction de $n.$
\item En déduire l'expression de $u_{n},$ $v_{n}$ et $w_{n}$ en fonction de $%
n.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{PROBLEME II}
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction : $h:\left.
\begin{array}[t]{ccc}
]0,+\infty \lbrack & \rightarrow & \mathbb{R}\medskip \\
x & \mapsto & \dfrac{e^{x}}{x}%
\end{array}%
\right. $
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $h.$
\item Etudier les branches infinies de $(C)$ courbe représentative de $h.$
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item $n$ étant un entier supérieur ou égal à $2,$ justifier l'existence et
l'unicité d'un réel $\delta _{n}$ appartenant à $]0,1[$ tel que :%
\begin{equation*}
h(\delta _{n})=h(n)
\end{equation*}
\item Déterminer les entiers naturels $p$ et $q$ tels que : $\dfrac{p}{100}%
\leqslant \delta _{2}<\dfrac{p+1}{100}\qquad \dfrac{q}{100}\leqslant \delta
_{3}<\dfrac{q+1}{100}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2.$ On considère la
fonction $g_{n}:\left.
\begin{array}[t]{ccl}
\lbrack 0,+\infty \lbrack & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x & \mapsto & (n-x)e^{x}-x%
\end{array}%
\right. $
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $g_{n}.$
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item En déduire l'existence d'un unique réel $\alpha _{n}$ vérifiant : $%
\alpha _{n}>0,\quad g_{n}(\alpha _{n})=0.$
\item Démontrer que : $n-1<\alpha _{n}0 \\
0 & \text{si }x=0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
On note $(C_{n})$ la courbe représentative de $f_{n}.$%
\begin{equation*}
\text{{\large A}}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Etudier la continuité de $f_{n}.$
\item Etudier la dérivabilité de $f_{n}.$ Préciser la tangente à $(C_{n})$ à
l'origine.
\item Déterminer la nature des branches infinies de $(C_{n}).$
\item Etudier les variations de $f_{n}.$ On démontrera qu e:%
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}_{+}^{\times },\quad f_{n}^{\prime }(x)=\dfrac{x^{n-1}%
}{e^{x}-1}.g_{n}(x),
\end{equation*}%
où $g_{n}$ désigne la fonction étudiée au II.\newline
Démontrer que $f_{n}(\alpha _{n})=(n-\alpha _{n})\alpha _{n}^{n-1}$
\item Etudier pour $m>n,$ la position relative de $(C_{n})$ et $(C_{m}).$
\item Construire les courbes $(C_{2})$ et $(C_{3})$ dans un repère
orthogonal du plan (unité en abscisses : 2 cm, unité en ordonnées : 10 cm)
\end{enumerate}
\begin{equation*}
\text{{\large B}}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence de la fonction $F$ définie pour $x\geqslant a$
par : $F(x)=\int\limits_{a}^{x}f_{2}(t)dt$ où $a\in \mathbb{R}_{+}^{\times }.
$
\item Démontrer que $F$ est strictement croissante.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $t\geqslant a,$ on a :$\dfrac{1}{e^{t}-1}%
\leqslant \dfrac{1}{e^{a}-1}.$
\item Calculer l'intégrale : $\int\limits_{a}^{x}t^{2}e^{-t}dt.$
\item En remarquant que : $\dfrac{1}{e^{t}-1}=e^{-t}\left( 1+\dfrac{1}{%
e^{t}-1}\right) $ déduire que : $F(x)\leqslant \dfrac{a^{2}+2a+2}{e^{a}-1}$
\item Prouver alors que l'intégrale impropre $\int\limits_{a}^{+\infty
}f_{2}(t)dt$ est convergente.
\item En déduire la convergence de $\int\limits_{0}^{+\infty }f_{2}(t)dt$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}