%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\noindent \underline{Concours National des E.S.C.A.E.}\bigskip \newline
Option générale prime
\begin{center}
\textbf{Concours National d'admission 1989}\bigskip
{\Large MATHEMATIQUES I}\bigskip
{\Large Algèbre et analyse}\bigskip
\underline{\hspace{3cm}}
\end{center}
\section*{EXERCICE}
Soient $f$ et $id$ les endomorphismes de $\mathbb{R}^{3}$ de matrices
respectives $M$ et $I$ dans la base canonique%
\begin{equation*}
M=%
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0%
\end{pmatrix}%
;\qquad I=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
%TCIMACRO{%
%\TeXButton{TeX field}{\renewcommand\theenumi{\Roman{enumi}}
%\renewcommand\theenumii{\arabic{enumii}}
%\renewcommand\theenumiii{\alph{enumiii}}
%\renewcommand\labelenumi{\theenumi .}
%\renewcommand\labelenumii{\theenumii°}
%\renewcommand\labelenumiii{\theenumiii )}}}%
%BeginExpansion
\renewcommand\theenumi{\Roman{enumi}}
\renewcommand\theenumii{\arabic{enumii}}
\renewcommand\theenumiii{\alph{enumiii}}
\renewcommand\labelenumi{\theenumi .}
\renewcommand\labelenumii{\theenumii°}
\renewcommand\labelenumiii{\theenumiii )}%
%EndExpansion
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Calculer $M^{-1}$ par la méthode du pivot de Gauss.
\item Calculer $M^{2}$ et $M^{3}.$
\item En déduire que $M^{4}=I$
\end{enumerate}
\item Soit $n\in \mathbb{N},$ déterminer la matrice $M^{n}$ en fonction de $%
I,$ $M$, $M^{2},$ $M^{3}.$
\item Montrer que $M-I$ est régulière. En déduire la relation $%
M^{3}+M^{2}+M+I=0$
\end{enumerate}
\item Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ et $E_{\lambda }=\{\overrightarrow{x}\in
\mathbb{R}^{3},\quad f(\overrightarrow{x})=\lambda \overrightarrow{x}\}$
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E_{\lambda }$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}%
^{3}.$
\item Montrer que si $E_{\lambda }\neq \{\overrightarrow{0}\}$ alors $%
\lambda ^{3}+\lambda ^{2}+\lambda +1=0$
\end{enumerate}
\item Déterminer les sous-espaces vectoriels $E_{\lambda }$ non réduits au
vecteur nul. Préciser leur dimension. En donner une base.
\end{enumerate}
\item Soit $E$ l'ensemble des suite réelles $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ vé%
rifiant :%
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n+3}+u_{n+2}+u_{n+1}+u_{n}=0
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des
suites réelles.
\item Soit $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ un élément de $E$ et $X_{n}=%
\begin{pmatrix}
u_{n+2} \\
u_{n+1} \\
u_{n}%
\end{pmatrix}%
$
\begin{enumerate}
\item Montrer que : $\forall n\in \mathbb{N},\quad X_{n+1}=MX_{n}$
\item En déduire que : $\forall n\in \mathbb{N},\quad X_{n}=M^{n}X_{0}$
\item Déterminer $u_{n}$ en fonction de $n,$ $u_{0}$, $u_{1}$ et $u_{2}.$
\end{enumerate}
\item Démontrer qu'il existe trois éléments $(\alpha _{n})_{n\in \mathbb{N}},
$ $(\beta _{n})_{n\in \mathbb{N}}$ et $(\gamma _{n})_{n\in \mathbb{N}}$ de $E
$ tels que :%
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\quad M^{n}=\alpha _{n}M^{2}+\beta _{n}M+\gamma _{n}I
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{PROBLEME}
Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},%
\overrightarrow{j}),$ $\left\Vert \overrightarrow{i}\right\Vert =\left\Vert
\overrightarrow{j}\right\Vert =$10 cm.\newline
Pour tout entier naturel $n$ strictement positif, soit $f_{n}$ la fonction dé%
finie par : $f_{n}(x)=x^{n}e^{n(1-x)}$\newline
$C_{n}$ désigne la représentation graphique de $f_{n}$ dans le repère $(O,%
\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Démontrer que : $\forall x\in \mathbb{R},\quad xe^{-x+1}-1\leqslant 0$
\item En déduire la position relative des courbes $C_{n}$ et $C_{n+1}.$
\item Déterminer les points communs à toutes les courbes $C_{n}.$
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Etudier le sens de variation de $f_{n}.$ On distinguera les cas $n=1,$
et pour $n>1,$ $n$ pair et $n$ impair.
\item Déterminer la nature des branches infinies de $C_{n}.$
\item Déterminer les points de $C_{n}$ d'abscisse non nulle en lesquels la
tangente passe par l'origine $O$ des axes.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Etudier la concavité et déterminer le nombre de points d'inflexion de $%
C_{n}.$
\item Pour $n>1,$ soit $P_{n}(x_{n},u_{n})$ et $Q_{n}(y_{n},v_{n})$ les
points d'inflexion de $C_{n}$ d'abscisses strictement positives $%
(x_{n}