%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\noindent \underline{Concours National des E.S.C.A.E.}\bigskip \newline
Option générale
\begin{center}
\textbf{Concours National d'admission 1990}\bigskip
{\Large MATHEMATIQUES I}\bigskip
{\Large Algèbre et analyse}\bigskip
\underline{\hspace{3cm}}\medskip
\end{center}
\textit{De nombreuses questions sont indépendantes ou s'appuient sur des ré%
sultats donnés dans l'énoncé}
\begin{enumerate}
\item Pour $x$ réel, on considère l'intégrale $\int\limits_{0}^{+\infty }%
\dfrac{e^{-xt}}{1+t}dt$ que l'on ne cherchera pas à calculer.\newline
Déterminer l'intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, ensemble des valeurs de $x$
pour lesquelles l'intégrale est convergente.
\item Soit : $\varphi :\left.
\begin{array}[t]{ccl}
I & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x & \mapsto & \varphi (x)=\int\limits_{0}^{+\infty }\dfrac{e^{-xt}}{1+t}dt%
\end{array}%
\right. $
\begin{enumerate}
\item Montrer que : $\forall x\in I,\quad \varphi (x)\geqslant 0$
\item Etablir que $\varphi $ est décroissante sur $I$ (sans chercher à
calculer $\varphi ^{\prime }).$
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Prouver que :
\begin{enumerate}
\item $\forall x\in \mathbb{R}_{+},\quad 0\leqslant
\int\limits_{0}^{x}(x-u)e^{-u}du\leqslant \dfrac{x^{2}}{2}$
\item $\forall x\in \mathbb{R}_{-},\quad 0\leqslant
\int\limits_{0}^{x}(x-u)e^{-u}du\leqslant \dfrac{x^{2}}{2}e^{-x}$
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Pour $x\in \mathbb{R},$ calculer $\int\limits_{0}^{x}(x-u)e^{-u}du.$
\item En déduire que :%
\begin{equation*}
\forall t\in \mathbb{R}_{+},\quad \forall h\in \mathbb{R},\quad
e^{-th}-1=-th+J(th)
\end{equation*}%
où $J(th)$ est une intégrale que l'on explicitera.
\item Montrer que pour tout $t$ de $\mathbb{R}_{+}$ :%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{cc}
\forall h\in \mathbb{R}_{+}, & 0\leqslant J(th)\leqslant \dfrac{(th)^{2}}{2}
\\
\forall h\in \mathbb{R}_{+}, & 0\leqslant J(th)\leqslant \dfrac{(th)^{2}}{2}%
e^{-th}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que :%
\begin{equation*}
\forall x\in I,\quad \forall h\in ]-x,+\infty \lbrack ,\quad \varphi
(x+h)-\varphi (x)=\int\limits_{0}^{+\infty }\dfrac{e^{-tx}(-th+J(th))}{1+t}dt
\end{equation*}
\item Pour $x\in I$ et $h\in ]-x,0[\cup ]0,+\infty \lbrack $ donner une
expression sous forme d'intégrale de :%
\begin{equation*}
\dfrac{\varphi (x+h)-\varphi (x)}{h}-\int\limits_{0}^{+\infty }\dfrac{%
-te^{-xt}}{1+t}dt
\end{equation*}
\item En déduire qu'en tout point $x$ de $I,$ $\varphi $ est dérivable à
droite.
\item Démontrer que :%
\begin{equation*}
\forall x\in I,\quad \forall h\in ]-\dfrac{x}{2},0[,\quad \left\vert \dfrac{%
\varphi (x+h)-\varphi (x)}{h}-\int\limits_{0}^{+\infty }\dfrac{-te^{-xt}}{1+t%
}dt\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2}\left\vert h\right\vert
\int\limits_{0}^{+\infty }\dfrac{t^{2}}{1+t}e^{-tx/2}dt
\end{equation*}
\item En déduire que $\varphi $ est dérivable en tout point $x$ de $I$ et
que sa dérivée est :%
\begin{equation*}
\varphi ^{\prime }:\left.
\begin{array}[t]{ccl}
I & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x & \mapsto & \int\limits_{0}^{+\infty }\dfrac{-te^{-xt}}{1+t}dt%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\item Etudier le sens de variation de $\varphi ^{\prime }$. En déduire que $%
\varphi $ est convexe.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que :%
\begin{equation*}
\forall x\in I,\quad \varphi (x)-\varphi ^{\prime }(x)=\dfrac{1}{x}.
\end{equation*}
\item En déduire que $\varphi $ est de classe $C^{\infty }$ sur $I.$\newline
(On pourra, par exemple, utiliser une récurrence).
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $\varphi $ en $+\infty $
\item En déduire la limite de $\varphi ^{\prime }$ en $+\infty $
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Pour $x\in I$ et $k\in \mathbb{N}^{\times },$ exprimer $\varphi
(x)-\varphi ^{(k)}(x)$ sous la forme d'une somme ($\varphi ^{(k)}$ désigne
la dérivée d'ordre $k$ de $\varphi )$
\item En déduire la limite de $\varphi ^{(k)}$ en $+\infty .$
\end{enumerate}
\item Pour $A\in \mathbb{R}_{+},$ on considère :%
\begin{equation*}
R_{A}(x)=\int\limits_{A}^{+\infty }\dfrac{e^{-xt}}{1+t}dt\qquad (\text{avec }%
x\in I)
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que :
\begin{equation*}
0\leqslant R_{A}(x)\leqslant \dfrac{1}{(1+A)x}
\end{equation*}
\item En déduire en fonction de $x$ $(x\in I)$ une valeur de $A$ telle que $%
\int\limits_{0}^{A}\dfrac{e^{-xt}}{1+t}dt$ soit une valeur approchée à $%
10^{-2}$ près de $\varphi (x).$
\item A l'aide d'une calculatrice donner une valeur approchée à $10^{-2}$ prè%
s de $\varphi (1)$ et $\varphi (2).$ (On prendra, si le programme de la
calculatrice le demande, une subdivision en 200\ intervalles et on supposera
que l'erreur de calcul due à la machine est nulle)
\item Tracer la courbe représentative $\phi $ de $\varphi $ sur $[1,+\infty
\lbrack $ dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i%
},\overrightarrow{j})$ (Unité : 10 cm).\newline
On tracera les tangentes à $\phi $ aux points $M_{1}(1,\varphi (1))$ et $%
M_{2}(2,\varphi (2))$
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Etablir que :%
\begin{equation*}
\forall x\in I,\quad \varphi (x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}%
\int\limits_{0}^{+\infty }\dfrac{e^{-xt}}{(1+t)^{2}}dt
\end{equation*}
\item Prouver que :%
\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\int\limits_{0}^{+\infty }\dfrac{e^{-xt}}{%
(1+t)^{2}}dt=0
\end{equation*}
\item En déduire un équivalent de $\varphi (x)$ au voisinage de $+\infty .$
\item Montrer plus généralement que $\varphi (\dfrac{1}{X})$ admet en zéro
un développement limité d'ordre $3$ que l'on précisera.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Etablir que :%
\begin{equation*}
\forall x\in I,\quad \varphi (x)=e^{x}\int\limits_{x}^{+\infty }\dfrac{e^{-t}%
}{t}dt
\end{equation*}
\item En déduire que $\varphi (x)$ est équivalent à $-\ln x$ au voisinage de
$0.$
\item Compléter la représentation graphique de $\varphi $ sur $]0,1]$ (dans
le même repère qu'au 8. d))
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}