%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ COMPIEGNE\medskip }
{\Large CONCOURS\ D'ADMISSION 1990\medskip }
{\Large Option économique et technologique\medskip }
{\Large MATHEMATIQUES\ I\vspace{2cm}}
\end{center}
\section*{PREMIERE\ PARTIE}
Pour $\lambda $ élément de $\mathbb{R},$ on note $f_{\lambda }$ la fonction
numérique de la variable réelle $x$ définie par :%
\begin{equation*}
f_{\lambda }(x)=(\lambda -1)3^{-x}+1
\end{equation*}%
$\mathcal{C}_{\lambda }$ est sa courbe représentative (repère orthonormé).
\begin{enumerate}
\item Etudier suivant les valeurs de $\lambda ,$ les variations de $f.$
\item Représenter sur le même graphique : $C_{0},$ $C_{1}$ et $C_{2}.$%
\newline
Pour $\lambda \neq 1$ et $n$ fixé, on pose $v_{n}=f_{\lambda }(n).$
\item Démontrer l'existence d'un réel $a$ tel que :%
\begin{equation*}
n1.$
\item En déduire que la suite $u$ est convergente.
\item Quelle est sa limite ?
\end{enumerate}
\item Pour $k$ élément de $\mathbb{N},$ écrire $u_{n+k}$ en fonction de $n$,
$k$ et $u_{n}.$
\item En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $u_{0}$ et $n.$
\end{enumerate}
\subsection*{TROISIEME\ PARTIE}
On donne les matrices
\begin{equation*}
A=%
\begin{pmatrix}
9 & -5 & -4 \\
-7 & 7 & 4 \\
21 & -15 & -10%
\end{pmatrix}%
\qquad \text{et}\qquad M=%
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
1 & -3 & -2%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}%
On définit la suite matricielle $A$ par la relation de récurrence :%
\begin{equation*}
3A_{n+1}-A_{n}=2I
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer $A_{1}$ et $A_{2}.$
\item Exprimer $A_{n}$ en fonction de $A_{0},$ $I$ et $n.$
\item Calculer $A_{0}.M$
\item En déduire que $A_{n}.M=t_{n}.M$ où $t_{n}$ est un réel à déterminer
en fonction de $n.$
\item Calculer : $[3^{n}A_{n}-(1+3^{n})I]^{2}.$
\end{enumerate}
\section*{QUATRIEME\ PARTIE}
$(X,P(X))$ est une loi de probabilité.\newline
On note $P(X=n)$ la probabilité d'avoir $X=n$, $n\in \mathbb{N}.$\newline
On pose : $P(X=n)=u_{n}-1.$
\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur de $u_{0}$ ?
\item Expliciter la loi de probabilité $(X,P(X)).$
\item Calculer $E(X).$
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}