%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{color}
\usepackage{fancyhdr}
\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{Created=Tuesday, February 08, 2005 13:45:55}
%TCIDATA{LastRevised=Tuesday, February 08, 2005 14:08:54}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
\geometry{margin={1cm,2cm}}
\pagestyle{fancy}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\begin{center}
{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ COMPIEGNE\medskip }
{\Large CONCOURS\ D'ADMISSION 1991\medskip }
{\Large Option économique et technologique\medskip }
{\Large MATHEMATIQUES\ I\vspace{2cm}}
\end{center}
\section*{EXERCICE\ N$°$ 1}
La fonction numérique $f$ de la variable réelle $t$ est définie par son é%
quation :%
\begin{equation*}
f(t)=\dfrac{1}{t^{2}+2+2}
\end{equation*}%
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\subsection*{PARTIE\ 1}
\begin{enumerate}
\item Quel est le domaine de définition de $f$ ?
\item Calculer $f(-2-t)-f(t).$\newline
Conclusion pour $\mathcal{C}$.
\item Montrer que, pour $x\in \mathbb{R}$ :%
\begin{equation*}
\int\limits_{-2-x}^{x}f(t)dt=2\int\limits_{-1}^{x}f(t)dt
\end{equation*}
\item Calculer les dérivées première et seconde de $f,$ notées $f^{\prime }$
et $f^{\prime \prime }.$
\item Calculer :
\begin{equation*}
(t^{2}+t+2)f^{\prime \prime }(t)+4(t+1)f^{\prime }(t)+2f(t)
\end{equation*}
\end{enumerate}
\subsection*{PARTIE\ 2}
\begin{enumerate}
\item Donner les trois premiers termes du développement limité de $f,$ pour $%
t$ voisin de $0.$
\item Soit $M$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $t=0.$ Donner l'équation
de la tangente en $M$ à $\mathcal{C}$ et la position de $\mathcal{C}$ par
rapport à celle-ci.
\item Etudier les variations de $f$ et représenter graphiquement $\mathcal{C}%
.$
\item Soit $\varphi $ la restriction de $f$ à $D=[-1,+\infty \lbrack .$%
\newline
Quel est l'espace-image $\varphi (D)$ correspondant ?
\item Montrer que l'application $\varphi $ de $D$ dans $\varphi (D)$ est une
bijection.
\item Donner l'expression de la fonction réciproque.
\end{enumerate}
\subsection*{PARTIE\ 3}
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $\dfrac{t^{3/2}}{t^{2}+2t+2}$ lorsque $t$ tend
vers $+\infty .$
\item En déduire qu'il existe un réel $A>0$ tel que pour tout $t>A$ :%
\begin{equation*}
\dfrac{1}{t^{2}+2t+2}<\dfrac{1}{t^{3/2}}
\end{equation*}
\item On note : $F(x)=\int\limits_{A}^{x}f(t)dt.$\newline
Démontrer que, pour $x\geqslant A,$ $F(x)\leqslant \dfrac{2}{\sqrt{A}}.$
\item Montrer que $F$ est une fonction croissante de $x.$
\item En déduire que $F(x)$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $%
+\infty .$
\end{enumerate}
\subsection*{PARTIE\ 4}
\begin{equation*}
I=\int\limits_{-1}^{+\infty }f(t)dt\qquad \text{et}\qquad
J=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }f(t)dt
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les intégrales $I$ et $J$ sont convergentes.
\item Calculer $I$ et $J.$\newline
On rappelle que $\int\limits_{0}^{+\infty }\dfrac{dt}{1+t^{2}}=\dfrac{\pi }{2%
}.$
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE\ N$°$ 2}
\subsection*{PARTIE\ 1}
Pour $n$ entier naturel
\begin{enumerate}
\item Développer $f(x)=(x+1)^{n}$ en utilisant la formule du binôme de
Newton.
\item En déduire l'expression de : $\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}.$
\item Utiliser la dérivée première de $f$ pour calculer : $%
\sum\limits_{k=0}^{n}kC_{n}^{k}.$
\item Utiliser la dérivée seconde $f^{\prime \prime }$ de $f$ pour calculer
: $\sum\limits_{k=0}^{n}k(k-1)C_{n}^{k}$
\item Déduire des troisième et quatrième question la somme : $%
\sum\limits_{k=0}^{n}k^{2}C_{n}^{k}.$\newline
Rappel : $C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$
\end{enumerate}
\subsection*{PARTIE\ 2}
Pour $n$ et $k$ entiers naturels, les coefficients $u_{n,k}$ sont définis
par :%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{lll}
$u_{n,0}=\dfrac{1}{2^{n}}$ & $u_{n,k}=\dfrac{n}{2k}.u_{n-1,k-1}$ & pour $%
0n$%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer les coefficients $u_{n,k}$ pour $n=0,$ $1,$ $2,$ et $3.$%
\newline
Les présenter dans un tableau.
\item Exprimer $u_{n,k}$ en fonction de $n,$ $k$ et $u_{n-k,0}.$
\item En déduire l'expression de $u_{n,k}.$
\end{enumerate}
\subsection*{PARTIE\ 3}
Pour $x$ réel et $n$ entier naturel, la suite de polynômes $P$ est définie
par :%
\begin{equation*}
P_{0}(x)=1,\qquad P_{n}(0)=\dfrac{1}{2^{n}}\qquad \text{et}\qquad
P_{n+1}^{\prime }(x)=\dfrac{n+1}{2}.P_{n}(x)
\end{equation*}%
où $P_{n+1}^{\prime }$ est le polynôme dérivée de $P_{n+1}(x).$
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P_{1}(x)$, $P_{2}(x)$ et $P_{3}(x).$
\item Démontrer que $P_{n}(x)$ est défini, unique et de degré $n.$
\item En écrivant : $P_{n}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},$ exprimer
les coefficients de $P_{n+1}(x)$ en fonction des coefficients de $P_{n}(x).$
\item Expliciter $P_{n}(x).$
\end{enumerate}
\subsection*{PARTIE\ 4}
Etude d'une loi de probabilité pour $n$ entier naturel.\newline
On donne $X(\Omega )=\{0,1,...,n\}$ et pour $k\in X(\Omega ):P(X=k)=\dfrac{%
C_{n}^{k}}{2^{n}}.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(X,P(X))$ est une loi de probabilité.
\item Calculer l'espérance mathématique et la variance de $X.$
\item La fonction génératrice de $X,$ notée $G_{X}$ est définie par :%
\begin{equation*}
x\in \mathbb{R},\qquad G_{X}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}x^{k}.P(X=k)
\end{equation*}%
Donner l'expression de $G_{X}(x).$
\end{enumerate}
\subsection*{PARTIE\ 5}
\subsubsection*{Des primes}
La société ABC emploie 10\ agents dont 4\ cadres. Elle se propose de
distribuer, d'une manière aléatoire, une prime à un nombre quelconque de ses
agents (de 0 à 10\ primes)
\begin{enumerate}
\item Déterminer le référentiel $\Omega $ correspondant à cette distribution
et son cardinal.
\item Quelle est la probabilité que cette prime soit distribuée à $n$ agents
? ($n$ variant de 0 à 10)
\item $X$ est le nombre de cadre(s) ayant reçu la prime. ($X$ varie de 0 à 4)%
\newline
Déterminer la loi de probabilité $(X,P(X))$
\item Calculer l'espérance mathématique et la variance de $X.$
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}