%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\small CHAMBRE DE\ COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS}
\textbf{DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT}
Direction des Admissions et concours
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
{\Large ECOLE DES\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES}
{\Large E.S.C.P.-E.A.P.}
{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ LYON}{\large \bigskip }
CONCOURS D'ADMISSION\ SUR\ CLASSES\ PREPARATOIRES
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\textbf{TOUTES\ OPTIONS\bigskip }
{\Large MATHEMATIQUES II\bigskip }
\textbf{Année 1984\bigskip }
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document :
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent \textsl{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \textsl{\hrulefill \bigskip }
\end{quotation}
\section*{PROBLEME\ I}
Les deux réels $a$ et $b,$ avec $a0 \\
\text{et} & M_{0,0}(X)=1 & \\
\text{et si }q>0 & M_{q,r}(X)=\dfrac{d^{q}}{dX^{q}}\left[ (X-a)^{r}(X-b)^{r}%
\right] &
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Enfin, $p$ et $q$ étant deux entiers naturels, on pose :%
\begin{equation*}
I_{p,q}=\int\limits_{a}^{b}M_{q,q}(x)x^{p}dx
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Quelle est la forme quadratique associée à $f$ ? Est-elle définie
positive ?
\item Montrer que $M_{q,q}$ est un polynôme de degré $q$ et que $%
(M_{0,0},M_{1,1},...,M_{n,n})$ est une base de $\mathbb{R}_{n}[X]$
\item Pour $0\leqslant pq.$
\item Calculer, pour $0\leqslant r1$ et le réel $p\in ]0,1[$ sont donnés : on note $q=1-p.$%
\newline
On considère une suite de $2n$ épreuves de Bernouill, indépendantes; chacune
d'elles conduit soit au succès, avec la probabilité $p,$ soit à l'échec,
avec la probabilité $q.$
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui prend la valeur $0$ si aucun succès
n'est obtenu et la valeur $i$ si le premier succès est enregistré à la $i^{%
\text{ème}}$ épreuve. Déterminer la loi de probabilité de $X;$ calculer son
espérance.
\item Soit $Y$ la variable aléatoire qui prend la valeur $j$ si, pour la
première fois, on obtient 2 résultats identiques consécutifs aux épreuves de
rangs $j-1$ et $j$ et la valeur $0$ si l'on a pas deux résultats consécutifs
et identiques. Déterminer la loi de probabilité de $Y.$ \newline
On pourra distinguer 2 cas, suivant que $j$ est pair ou impair.
\end{enumerate}
\item On prend $n=5000$, $p=0,51.$ Evaluer la probabilité de l'évènement "
le nombre des succès est compris strictement entre 4950 et 5200 "
\end{enumerate}
Insérer une table de loi normale
\label{fin}
\end{document}