<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st


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\begin{document}


\begin{center}
{\small CHAMBRE DE\ COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS}

\textbf{DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT}

Direction des Admissions et concours

\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip

{\Large ECOLE DES\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES}

{\Large E.S.C.P.-E.A.P.}

{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ LYON}{\large \bigskip }

CONCOURS D'ADMISSION\ SUR\ CLASSES\ PREPARATOIRES

\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip

\textbf{TOUTES\ OPTIONS\bigskip }

{\Large MATHEMATIQUES II\bigskip }

\textbf{Année 1984\bigskip }

\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\end{center}

\begin{quotation}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}

\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document :
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}

\noindent \textsl{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\noindent \textsl{\hrulefill \bigskip }
\end{quotation}

\section*{PROBLEME\ I}

Les deux réels $a$ et $b,$ avec $a&lt;b$, et l'entier naturel non nul $n$ sont
donnés; soit $\mathbb{R}_{n}[X]$ l'espace vectoriel des polynômes à
coefficients réels de degré au plus égal à $n.$\newline
On désigne par $f$ l'application :%
\begin{equation*}
f:\left. 
\begin{array}{ccl}
\mathbb{R}_{n}[X]\times \mathbb{R}_{n}[X] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{R} \\ 
(P,Q) &amp; \mapsto &amp; \int\limits_{a}^{b}P(x)Q(x)dx%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
et par $M_{q,r}$ le polynôme défini pour $q$ et $r$ entiers naturels tels
que :%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{lll}
&amp; M_{0,r}(X)=(X-a)^{r}(X-b)^{r}, &amp; r&gt;0 \\ 
\text{et} &amp; M_{0,0}(X)=1 &amp;  \\ 
\text{et si }q&gt;0 &amp; M_{q,r}(X)=\dfrac{d^{q}}{dX^{q}}\left[ (X-a)^{r}(X-b)^{r}%
\right] &amp; 
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Enfin, $p$ et $q$ étant deux entiers naturels, on pose :%
\begin{equation*}
I_{p,q}=\int\limits_{a}^{b}M_{q,q}(x)x^{p}dx
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la forme quadratique associée à $f$ ? Est-elle définie
positive ?

\item Montrer que $M_{q,q}$ est un polynôme de degré $q$ et que $%
(M_{0,0},M_{1,1},...,M_{n,n})$ est une base de $\mathbb{R}_{n}[X]$

\item Pour $0\leqslant p&lt;q,$ montrer que $a$ et $b$ sont racines d'ordre $%
q-p $ de $M_{p,q}$

\item Etablir la relation pour $q\geqslant 1$%
\begin{equation*}
I_{p,q}=-p\int\limits_{a}^{b}x^{p-1}M_{q-1,q}(x)dx
\end{equation*}%
En déduire que pour $q\geqslant p,$ $I_{p,q}=K_{p}\int%
\limits_{a}^{b}M_{q-p,p}(x)dx,$ où $K_{p}$ est un entier relatif, ne dé%
pendant que de $p,$ que l'on déterminera.

\item Prouver que $I_{p,q}=0$ si $p&gt;q.$

\item Calculer, pour $0\leqslant r&lt;q,$ $\int%
\limits_{a}^{b}M_{q,q}(x)M_{r,r}(x)dx$

\item On pose $A_{q}=\int\limits_{a}^{b}M_{q,q}^{2}(x)dx$\newline
Déterminer en fonction des $A_{q}$ (que l'on ne calculera pas) la matrice de 
$f$ dans la base $(M_{0,0},M_{1,1},...,M_{n,n})$ de $\mathbb{R}_{n}[X]$
\end{enumerate}

\section*{PROBLEME\ II}

(Les questions 1 et 2\ sont indépendantes)\bigskip \newline
L'entier naturel $n&gt;1$ et le réel $p\in ]0,1[$ sont donnés : on note $q=1-p.$%
\newline
On considère une suite de $2n$ épreuves de Bernouill, indépendantes; chacune
d'elles conduit soit au succès, avec la probabilité $p,$ soit à l'échec,
avec la probabilité $q.$

\begin{enumerate}
\item \thinspace

\begin{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui prend la valeur $0$ si aucun succès
n'est obtenu et la valeur $i$ si le premier succès est enregistré à la $i^{%
\text{ème}}$ épreuve. Déterminer la loi de probabilité de $X;$ calculer son
espérance.

\item Soit $Y$ la variable aléatoire qui prend la valeur $j$ si, pour la
première fois, on obtient 2 résultats identiques consécutifs aux épreuves de
rangs $j-1$ et $j$ et la valeur $0$ si l'on a pas deux résultats consécutifs
et identiques. Déterminer la loi de probabilité de $Y.$ \newline
On pourra distinguer 2 cas, suivant que $j$ est pair ou impair.
\end{enumerate}

\item On prend $n=5000$, $p=0,51.$ Evaluer la probabilité de l'évènement "
le nombre des succès est compris strictement entre 4950 et 5200 "
\end{enumerate}

Insérer une table de loi normale

\label{fin}

\end{document}
</pre></body></html>