%BECHATA Abdellah
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\begin{document}
\begin{center}
{\small CHAMBRE DE\ COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS}
\textbf{DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT}
Direction des Admissions et concours
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
{\Large ECOLE DES\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES}
{\Large E.S.C.P.-E.A.P.}
{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ LYON}{\large \bigskip }
CONCOURS D'ADMISSION\ SUR\ CLASSES\ PREPARATOIRES
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\textbf{OPTION ECONOMIQUE\bigskip }
{\Large MATHEMATIQUES III\bigskip }
\textbf{Année 1997\bigskip }
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document :
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent \textsl{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \textsl{\hrulefill \bigskip }
\end{quotation}
\section*{EXERCICE I}
On note $\mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $ l'ensemble des matrices
carrées d'ordre 3 à coefficients réels, $u$ l'application identique de
l'espace vectoriel $\mathbb{R}^{3}$dans lui même et $I$ la matrice identité
de $\mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $ représentant $u$ dans la base
canonique de $\mathbb{R}^{3}$.\newline
On considère la matrice
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
et on note $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ représenté par $A$ dans
la base canonique de $\mathbb{R}^{3}$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs propres de $f$. L'endomorphisme $f$ est-il
diagonalisable ?
\item Etant donné un couple $\left( a,b\right) $ de réels, déterminer les
valeurs propres de l'endomorphisme $af+bu$ de $\mathbb{R}^{3}.$ Pour quelles
valeurs de $\left( a,b\right) $ cet endomorphisme est-il diagonalisable ?
\item Quelles relations le couple $\left( a,b\right) $ doit-il vérifier pour
que l'endomorphisme $af+bu$ soit inversible? Montrer que l'inverse de $af+bu$%
, quand il existe, est de la forme $\lambda f+\mu u$ où $\lambda $ et $\mu $
sont des réels dont on donnera l'expression en fonction de $a$ et $b$.
On considère maintenant l'ensemble $\mathcal{E}$ des matrices $T$ de $%
\mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right) $ qui commutent avec $A$ c'est à
dire qui vérifient $AT=TA$.
\item Montrer que $\mathcal{E}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathfrak{M}%
_{3}\left( \mathbb{R}\right) $
\item Pour une matrice $T$ de la forme $T=$ $\left(
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i%
\end{array}
\right) ,$ calculer $AT-TA$. En déduire une base de $\mathcal{E}$ et sa
dimension.
\item Soit $\Phi $ l'application de $\mathfrak{M}_{3}\left( \mathbb{R}%
\right) $ dans lui même qui fait correspondre à la matrice $T$ la matrice $%
AT-TA$. Montrer que $\Phi $ est un endomorphisme de $\mathfrak{M}_{3}\left(
\mathbb{R}\right) $. Donner une base du noyau et une base de l'image de $%
\Phi $
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE II}
Dans tout l'exercice $\lambda $ désignera un réel strictement positif et $\
f_{\lambda }$ sera la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_{\lambda
}=e^{-\lambda x^{2}}$, pour tout réel $x$.\newline
Le but de l'exercice est l'étude de la suite $\left( u_{n}\right) _{n\in
\mathbb{N}}$ définie par $u_{0}=0$ et $u_{n+1}=$ $f_{\lambda }\left(
u_{n}\right) $ pour tout $n\in \mathbb{N}$
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f_{\lambda }\left( x\right) $ $=x$, d'inconnue
$x$, admet une seule racine dans $\mathbb{R}$ et que cette racine appartient
à $]0,1[$. On note $\ell _{\lambda }$ cette racine.
\item Montrer que, si $\lambda >\dfrac{e}{2}$ , alors $\ell _{\lambda }>%
\dfrac{1}{\sqrt{2\lambda }}$
\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $\lambda $ $\leqslant \dfrac{1}{2}$
.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\max\limits_{x\in \left[ 0,1\right] }\left\vert
f_{\lambda }^{\prime }\left( x\right) \right\vert <1$
\item Montrer que la suite $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ admet
pour limite $\ell _{\lambda }$.
\end{enumerate}
On revient au cas général, c'est à dire $\lambda \in \mathbb{R}_{+}^{\times
} $.
\item On pose $g_{\lambda }=f_{\lambda }\circ f_{\lambda }$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $g_{\lambda }$ est strictement croissante sur $\left[
0,+\infty \right[ $.
\item Montrer que les deux suites $\left( u_{2n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$
et $\left( u_{2n+1}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ sont monotones et
convergentes.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que les racines éventuelles de l'équation $g_{\lambda }\left(
x\right) =x$ appartiennent à $]0,1[$. Vérifier que $\ell _{\lambda }$ est
une racine de cette dernière équation.
\item Soit $x\in \left] 0,1\right[ $. Montrer que $g_{\lambda }\left(
x\right) =x$ si et seulement si $\ln \left( -\ln \left( x\right) \right)
+2\lambda x^{2}-\ln \left( \lambda \right) =0$
\item Pour tout $x\in \left] 0,1\right[ $, on pose $h_{\lambda }\left(
x\right) =\ln \left( -\ln \left( x\right) \right) +2\lambda x^{2}-\ln \left(
\lambda \right) $
Montrer que la fonction $h_{\lambda }$ est dérivable sur $]0,1[$ et que $%
h_{\lambda }^{\prime }\left( x\right) $ a le signe opposé de celui de $%
1+4\lambda x^{2}\ln \left( x\right) $
\item Pour tout $x\in \left] 0,1\right[ $, on pose $k_{\lambda }\left(
x\right) =1+4\lambda x^{2}\ln \left( x\right) $. Dresser le tableau de
variation de la fonction $k_{\lambda }$.
\item On se place désormais dans le cas où $\lambda >\dfrac{e}{2}$
\begin{itemize}
\item Montrer que, dans ce cas, $k_{\lambda }\left( \ell _{\lambda }\right)
<0$
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $h_{\lambda }$ et en dé%
duire que l'équation $h_{\lambda }\left( x\right) =x$ admet trois racines $%
\mu _{\lambda },\;\ell _{\lambda },\,\nu _{\lambda }$ vérifiant $0<\mu
_{\lambda }<\ell _{\lambda }<\nu _{\lambda }<1$
\item Montrer que les suites $\left( u_{2n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ et $%
\left( u_{2n+1}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ convergent vers $\mu _{\lambda }$
et $\,\nu _{\lambda }$ respectivement.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE III}
On note $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturels. Soit $a$ et $b$ deux ré%
els tels que $0k)$.
\item On s'intéresse au nombre d'expériences qu'il faut réaliser avant que
l'une au moins des pièces donne face pour la première fois. Pour cela on
note $M$ la variable aléatoire définie par $M=\min \left( X,Y\right) .$
Calculer, pour tout entier naturel $k$, la probabilité $\mathbf{P}\left(
M\geqslant k\right) $. En déduire la loi de probabilité de $M$.
\item Déterminer la probabilité que la pièce $B$ ne donne pas face avant la
pièce $A$, c'est-à-dire $\mathbf{P}(Y\ge X)$.
\end{enumerate}
\item On note $U=X+Y.$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $U$. (On distinguera les cas $a=b$
et $a\ne b$).
\item Calculer, pour tout couple $(j,k)$ d'entiers naturels, \newline
les probabilités conditionnelles $\mathbf{P}\left( Y=k/U=j\right) $
\end{enumerate}
\item On suppose désormais que $a=b$. On note $V=Y-X$.
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour tout entier naturel $k$ et tout entier relatif $r$, la
probabilité de l'événement $\left( M=k\text{ et }V=r\right) $. (On
distinguera le cas $r\geqslant 0$ et le cas $r<0$ ).
\item Trouver la loi de probabilité de $V$. Les variables aléatoires $M$ et $%
V$ sont-elles indépendantes ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}