%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\small CHAMBRE DE\ COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE PARIS}
\textbf{DIRECTION DE L'ENSEIGNEMENT}
Direction des Admissions et concours
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
{\Large ECOLE DES\ HAUTES\ ETUDES\ COMMERCIALES}
{\Large E.S.C.P.-E.A.P.}
{\Large ECOLE\ SUPERIEURE\ DE\ COMMERCE\ DE\ LYON}{\large \bigskip }
CONCOURS D'ADMISSION\ SUR\ CLASSES\ PREPARATOIRES
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\textbf{OPTION ECONOMIQUE\bigskip }
{\Large MATHEMATIQUES III\bigskip }
\textbf{Année 1998\bigskip }
\underline{\hspace*{3cm}}\bigskip
\end{center}
\begin{quotation}
\noindent \textsl{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.}
\noindent \textsl{Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}
\noindent \textsl{Ils ne doivent faire usage d'aucun document :
l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est
interdite.}
\noindent \textsl{Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}
\noindent \textsl{\hrulefill \bigskip }
\end{quotation}
\section*{\textbf{EXERCICE I}}
Dans tout l'exercice $n$ désignera un entier naturel supérieur ou égal à $2$%
.\medskip
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Etudier, suivant la parité de $n$, le tableau de variations de la
fonction $f_{n}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto x^{n+1}+x^{n}$.
\item Montrer que dans tous les cas $f_{n}\left( -\dfrac{n}{n+1}\right) <2$.
\item En déduire, suivant la parité de $n$, le nombre de solutions de l'é%
quation d'inconnue $x$ :
\begin{equation*}
x^{n+1}+x^{n}=2.
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item On note $A$ la matrice $%
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1%
\end{pmatrix}%
$. Montrer qu'il existe une matrice inversible $P\in \mathfrak{M}_{2}(%
\mathbb{R})$ telle que
\begin{equation*}
A=P%
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 2%
\end{pmatrix}%
P^{-1}.
\end{equation*}
\item On considère l'équation matricielle d'inconnue $X\in \mathfrak{M}_{2}(%
\mathbb{R})$ :
\begin{equation*}
(E_{n})\qquad X^{n+1}+X^{n}=A.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la résolution de cette équation peut se ramener à la ré%
solution de l'équation d'inconnue $Y\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ :
\begin{equation*}
(E_{n}^{\prime })\qquad Y^{n+1}+Y^{n}=%
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 2%
\end{pmatrix}%
.
\end{equation*}
\item Soit $Y$ une solution de $(E_{n}^{\prime })$. On pose $Y=%
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d%
\end{pmatrix}%
$ et $D=%
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 2%
\end{pmatrix}%
$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $DY=YD$.
\item En déduire que $b=c=0$.
\item Quelles sont les valeurs possibles de $a$ ?
\item Discuter, suivant les valeurs de $n$, le nombre de solutions de l'é%
quation $(E_{n})$.
\end{enumerate}
\item On note $\mu $ la solution négative de l'équation numérique $%
x^{4}+x^{3}=2$. Déterminer les solutions de l'équation $(E_{3})$ à l'aide de
$\mu $.\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{{\textbf{EXERCICE II}}}
On désigne par $\lambda $ un paramètre réel strictement supérieur à $1$.
Soit $H$ l'ensemble des points $(x,y)$ de $\mathbb{R}^{2}$ tels que $x>0$ et
soit $D$ l'ensemble des points de $H$ tels que $\,y\neq 0$. L'objet de
l'exercice est l'étude des extremums de la fonction $f$ définie sur $H$ par
\begin{equation*}
f(x,y)=x^{\lambda }\,y-y^{2}-y\,\ln (x+1)+1.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Soit $\phi$ la fonction d\'efinie sur $]0, +\infty[$ par $\phi(x) =
x^\lambda - \ln(x+1)$ et $\phi^{\prime}$ sa d\'eriv\'ee.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'\'equation $\phi^{\prime}(x) = 0$ admet une racine et
une seule dans $]0, +\infty[$.
On note $b$ cette racine et on pose $\phi(b) = 2c$. Montrer que $c < 0$.
\item Montrer que l'\'equation $\phi(x) = 0$ admet une racine et une seule,
not\'ee $a$, dans $]0, +\infty[$ et que $a > b$.
\end{enumerate}
\item Calculer les dérivées partielles $\,f_{x}^{\prime }$ et $%
\,f_{y}^{\prime }$ de la fonction $f$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des points $(x,y)\in H$ vérifiant $f_{x}^{\prime
}(x,y)=0$.
\item Déterminer les points $(x,y)\in H$ vérifiant $f_{x}^{\prime }(x,y)=0$
et $f_{y}^{\prime }(x,y)=0$. On exprimera les solutions $(x,y)$ trouvées à
l'aide des nombres $\,a$, $\,b$ et $\,c$ définis à la question \textbf{1}.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Calculer les dérivées partielles secondes de $f$.
\item Montrer que $f$ admet dans $D$ un extremum en un unique point $%
(x_{\lambda },y_{\lambda })$ que l'on précisera.\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{\textbf{EXERCICE III}}
Toutes les variables aléatoires considérées dans cet exercice sont supposées
définies sur un même espace probabilisé, muni de la probabilité $P$.\newline
Pour tout entier $n\geqslant 1$, soit $X_{n}$ une variable aléatoire réelle v%
érifiant $P(X_{n}=k)=\dfrac{1}{n}$ pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant
k\leqslant n-1$. On pose $Y_{n}=\dfrac{X_{n}}{n}.$\newline
D'autre part, soit $Z$ une variable aléatoire de loi uniforme sur
l'intervalle $[0,1]$.
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'espérance $E(Z)$ et la variance $V(Z)$ de la variable alé%
atoire $Z$.
\item Calculer, pour tout $n\geqslant 1$, l'espérance et la variance de $%
Y_{n}$.
\noindent Déterminer les limites des suites $(E(Y_{n}))_{n\geqslant 1}$ et $%
(V(Y_{n}))_{n\geqslant 1}$.
\item Montrer que, pour toute fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $%
[0,1]$, à valeurs réelles, strictement monotone, on a $\,\lim\limits_{n%
\rightarrow +\infty }E(f(Y_{n}))=E(f(Z)).$
\end{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ on note $\mathrm{Ent}(x)$ la partie entière de $x$,
c'est-à-dire le plus grand nombre entier relatif inférieur ou égal à $x$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$, $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }%
\dfrac{\mathrm{Ent}(nx)}{n}\,=\,x.$
\item Soit $a$ et $b$ deux réels vérifiant $0\leqslant a\leqslant b\leqslant
1$ et soit $I_{n}(a,b)$ le nombre d'entiers $k$ vérifiant $a<\dfrac{k}{n}%
\leqslant b$. Montrer que $\,I_{n}(a,b)=\mathrm{Ent}(nb)-\mathrm{Ent}(na).$
\item Montrer que, si $0\leqslant a\leqslant b\leqslant 1$, $%
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }P(a